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| Aufgabe | Sei [mm] V=\IR^{2x2} [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der 2x2-Matrizen mit reellen Einträgen. Für jede Matrix A [mm] \in [/mm] V betrachten wir die Abbildung
[mm] f_A: [/mm] V [mm] \to [/mm] V,B [mm] \mapsto [/mm] AB.
(a) Zeigen Sie, dass [mm] f_A [/mm] eine lineare Abbildung ist
(b) Zeigen Sie, dass [mm] f_A [/mm] genau dann invertierbar ist, wenn dies für A gilt
(c) Zeigen Sie, dass A und [mm] f_A [/mm] die gleichen Eigenwerte haben |
Ich verstehe nicht genau was [mm] f_A:V \to [/mm] V, [mm] B\mapsto [/mm] AB sein soll
zu a)
Die Axiome zur Linearität lauten ja
L1: f(v+w)=f(v)+f(w)
L2: f(λv)=λf(v)
Also A [mm] \in [/mm] V
Sei A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] aber ist B denn auch [mm] \in [/mm] V, wenn ja dann
Sei B= [mm] \pmat{ e & f \\ g & h}
[/mm]
B:= AB [mm] \Rightarrow \pmat{ e & f \\ g & h}:=\pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ e & f \\ g & h}
[/mm]
z.z.: L1: f(x+w) = f(x)+f(w)
Sei X:= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ e & f \\ g & h}
[/mm]
Sei W:= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ i & j \\ k & l}
[/mm]
Stimmt es denn bis zu diesem Punkt. Mir kommt es nämlich ein wenig komisch vor, da ich auch an diesem Punkt nicht mehr voran komme
zu b)
habe ich den Ansatz, dass wenn det(A)=0 ist [mm] \Rightarrow [/mm] det(AB)=0, da det(AB) = det(A) * det(B) = 0 * det(B) = 0 ist
Reicht das denn für b)
und bei c) fehlt mir der Ansatz
Gruß
Jana-Valent
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Jana-Valent,
erstmal eine Teilantwort:
> Sei [mm]V=\IR^{2x2}[/mm] der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der 2x2-Matrizen mit
> reellen Einträgen. Für jede Matrix A [mm]\in[/mm] V betrachten wir
> die Abbildung
>
> [mm]f_A:[/mm] V [mm]\to[/mm] V,B [mm]\mapsto[/mm] AB.
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm]f_A[/mm] eine lineare Abbildung ist
> (b) Zeigen Sie, dass [mm]f_A[/mm] genau dann invertierbar ist, wenn
> dies für A gilt
> (c) Zeigen Sie, dass A und [mm]f_A[/mm] die gleichen Eigenwerte
> haben
> Ich verstehe nicht genau was [mm]f_A:V \to[/mm] V, [mm]B\mapsto[/mm] AB sein
> soll
Nun, [mm]A[/mm] ist fest gewählt, die Abbildung [mm]f_A[/mm] ordnet jedem [mm]B\in V[/mm] das Matrixprodukt [mm]AB[/mm] zu
>
> zu a)
>
> Die Axiome zur Linearität lauten ja
>
> L1: f(v+w)=f(v)+f(w)
> L2: f(λv)=λf(v)
Übertragen auf die Aufgabe:
Für alle [mm]B,C\in V[/mm] gilt: [mm]f_A(B+C)=f_A(B)+f_A(C)[/mm] und
Für alle [mm]\lambda\in\IR[/mm] und alle [mm]B\in V[/mm] gilt: [mm]f_A(\lambda B)=\lambda f_A(B)[/mm]
>
> Also A [mm]\in[/mm] V
>
> Sei A= [mm]\pmat{ a & b \\
c & d }[/mm] aber ist B denn auch [mm]\in[/mm] V,
> wenn ja dann
> Sei B= [mm]\pmat{ e & f \\
g & h}[/mm]
>
> B:= AB [mm]\Rightarrow \pmat{ e & f \\
g & h}:=\pmat{ a & b \\
c & d }\pmat{ e & f \\
g & h}[/mm]
>
> z.z.: L1: f(x+w) = f(x)+f(w)
>
> Sei X:= [mm]\pmat{ a & b \\
c & d }\pmat{ e & f \\
g & h}[/mm]
>
>
> Sei W:= [mm]\pmat{ a & b \\
c & d }\pmat{ i & j \\
k & l}[/mm]
>
>
> Stimmt es denn bis zu diesem Punkt. Mir kommt es nämlich
> ein wenig komisch vor, da ich auch an diesem Punkt nicht
> mehr voran komme
Rechne direkt nach:
[mm]f_A(B+C)=A(B+C)=AB+AC=f_A(B)+f_A(C)[/mm], da die Matrixmult. assoziativ ist
Ähnlich rechne die andere Bed. nach.
>
> zu b)
>
> habe ich den Ansatz, dass wenn det(A)=0 ist [mm]\Rightarrow[/mm]
> det(AB)=0, da det(AB) = det(A) * det(B) = 0 * det(B) = 0
> ist
> Reicht das denn für b)
Was meinst du denn? Was hast du damit gezeigt?
Für die eine Richtung kann man sich doch überlegen:
Ist [mm]A[/mm] invertierbar, so existiert [mm]A^{-1}[/mm]
Wir definieren uns die Abbildung [mm]g:V\to V[/mm] durch [mm]g(B)=A^{-1}B[/mm]
Was ist dann [mm]f_A\circ g(B)[/mm] ?
>
> und bei c) fehlt mir der Ansatz
Wie ist denn "Eigenwert von A$ und "Eigenwert einer linearen Abb." definiert?
Schreibe das mal auf, dann siehst du vllt. schon, wie es läuft ...
>
> Gruß
> Jana-Valent
>
>
Gruß
schachuzipus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 So 17.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]V=\IR^{2x2}[/mm] der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der 2x2-Matrizen mit
> reellen Einträgen. Für jede Matrix A [mm]\in[/mm] V betrachten wir
> die Abbildung
>
> [mm]f_A:[/mm] V [mm]\to[/mm] V,B [mm]\mapsto[/mm] AB.
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm]f_A[/mm] eine lineare Abbildung ist
> (b) Zeigen Sie, dass [mm]f_A[/mm] genau dann invertierbar ist, wenn
> dies für A gilt
> (c) Zeigen Sie, dass A und [mm]f_A[/mm] die gleichen Eigenwerte
> haben
> Ich verstehe nicht genau was [mm]f_A:V \to[/mm] V, [mm]B\mapsto[/mm] AB sein
> soll
> zu b)
>
> habe ich den Ansatz, dass wenn det(A)=0 ist [mm]\Rightarrow[/mm]
> det(AB)=0, da det(AB) = det(A) * det(B) = 0 * det(B) = 0
> ist
> Reicht das denn für b)
da verstehe ich den Zshg. zur Aufgabe nicht ganz. Zerlege solche [mm] $\iff$-Aussagen
[/mm]
am besten immer in ihre Teilaussagen - wir haben ja dann "zwei Teil-Beweise" zu führen:
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Sei $A [mm] \in [/mm] V$ so, dass $V [mm] \ni [/mm] X [mm] \mapsto f_A(X):=A*X \in V\;\;\;\;\;\;\;\;\;(X \in [/mm] V$) invertierbar
ist. Dann existiert eine Abbildung [mm] $g=g_A\colon [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ so, dass
[mm] $f_A \circ g_A=g_A \circ f_A=\text{id}_V\,.$ [/mm] Zeige nun, dass [mm] $g_A$ [/mm] eine lineare Abbildung $V [mm] \to [/mm] V$ ist
und sich schreiben läßt als [mm] $g_A(X)=\tilde{A}*X$ [/mm] mit einer Matrix [mm] $\tilde{A} \in V=\IR^{2 \times 2}$ [/mm] und begründe, dass
[mm] $$\tilde{A}*A=A*\tilde{A}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$$
[/mm]
gilt. Dies zeigt die Invertierbarkeit von [mm] $A\,$ [/mm] sowie [mm] $\tilde{A}=A^{-1}\,.$
[/mm]
(Aus [mm] $\tilde{A}*A=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm] folgt natürlich auch [mm] $\det(\tilde{A}*A)=\det(A)*\det(\tilde{A})=1$ [/mm] (weil die
Determinante einer jeden Einheitsmatrix halt einfach den Wert [mm] $1\,$ [/mm] hat)
und damit könntest Du auch folgern, dass [mm] $A\,$ [/mm] wegen [mm] $\det(A) \not=0$ [/mm]
invertierbar sein muss. Aber sowas wie [mm] $\tilde{A}*A=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm] musst Du dann
dennoch erst beweisen/begründen.)
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] Ist [mm] $A\,$ [/mm] invertierbar, so definiere einfach [mm] $g_A \colon [/mm] V [mm] \to [/mm] V$
durch
$$V [mm] \ni [/mm] X [mm] \mapsto g_A(X):=A^{-1}*X \in V\;\;\;\;\;\;\;\;\;(X \in [/mm] V)$$
und beweise
[mm] $$f_A\circ g_A=g_A \circ f_A=\text{id}_V\,.$$
[/mm]
P.S. Beachte: Allgemein ist eine Abbildung $f [mm] \colon [/mm] R [mm] \to [/mm] S$ genau dann invertierbar,
wenn es eine Abbildung $g [mm] \colon [/mm] S [mm] \to [/mm] R$ so gibt, dass $g [mm] \circ f=\text{id}_R$ [/mm] und zudem
$f [mm] \circ g=\text{id}_S$ [/mm] gilt.
Oben kann ich das nur wegen [mm] $R=S\;\;\;(=V=\IR^{2 \times 2})$ [/mm] in einer Gleichungskette verpacken.
P.P.S. Bedenke übrigens auch, was die Verkettung linearer Abbildungen mit
dem Matrixprodukt der Matrizen, die die linearen Abbildungen
repräsentieren, zu tun hat (das brauchst Du gerade bei [mm] "$\Rightarrow$")... [/mm]
Wenn es ganz unklar ist: Du kannst auch den [mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] mit dem
[mm] $\IR^4$ [/mm] identifizieren (wobei das vermutlich hier eher mehr verwirren
denn helfen wird).
Nebenbei: Schreibe Dir doch vielleicht auch erstmal zwei spezielle
Abbildungen [mm] $f_{A_j}$ [/mm] ($j=1,2$) hin, etwa für
[mm] $$A_1:=\pmat{1 & 2 \\ 3 & 4}$$
[/mm]
und dann für
[mm] $$A_2:=\pmat{4 & 2 \\ 6 & 3}\,.$$
[/mm]
Weiterhin beachte: [mm] $V=\IR^{2 \times 2}\,,$ [/mm] genauer [mm] $(\IR^{2 \times 2},\oplus,\odot)$ [/mm] ist ein [mm] $\IR$-Vektorraum, [/mm] wobei man definiert:
Für
[mm] $$X=\pmat{x_{1,1} & x_{1,2} \\ x_{2,1} & x_{2,2}}$$
[/mm]
und
[mm] $$Y=\pmat{y_{1,1} & y_{1,2} \\ y_{2,1} & y_{2,2}}$$
[/mm]
sei
$$X [mm] \oplus Y:=\pmat{x_{1,1}+y_{1,1} & x_{1,2}+y_{1,2} \\ x_{2,1}+y_{2,1} & x_{2,2}+y_{2,2}}$$
[/mm]
(komponentenweise bzw. eintragsweise Addition - beachte auch: [mm] $\oplus\colon [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$)
sowie für [mm] $\lambda \in \IR$
[/mm]
[mm] $$\lambda \odot X=\pmat{\lambda*x_{1,1} & \lambda*x_{1,2} \\ \lambda*x_{2,1} & \lambda*x_{2,2}}\,.$$
[/mm]
Und man vereinbart nun aufgrund dieser 'naheliegenden' Definition, dass
man anstatt [mm] $\oplus$ [/mm] auch [mm] $+\,$ [/mm] schreibt und anstatt [mm] $\odot$ [/mm] auch [mm] $\cdot$ [/mm] schreibt.
(Beachte: Wenn man anstatt [mm] $\oplus$ [/mm] nur [mm] $+\,$ [/mm] schreibt, verschleiert man
ein wenig, dass man mit Elementen aus [mm] $V\,$ [/mm] rechnet. Ebeneso verschleiert
die Notation [mm] $\cdot\,$ [/mm] für [mm] $\odot\,,$ [/mm] dass es sich eigentlich um eine Abbildung
[mm] $\IR \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ handelt. Nur rechterhand, also in den Komponenten der
Matrizen, ist [mm] $\cdot$ [/mm] die übliche Multiplikation in [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $+\,$ [/mm] die übliche
Addition in [mm] $\IR\,.$)
[/mm]
"Analog" würde man auch im [mm] $\IR^4$ [/mm] rechnen...
Und auch das ganze nur ergänzend: Würdest Du wirklich die Aufgabe lösen
wollen, indem Du [mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] "entsprechend" mit dem [mm] $\IR^4$ [/mm]
identifizierst, so wäre etwa mit
[mm] $$A=\pmat{a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1} & a_{2,2}} \hat=\vektor{a_{1,1}\\a_{1,2}\\a_{2,1}\\a_{2,2}}$$
[/mm]
dann $X [mm] \mapsto f_A(X)=A*X$ [/mm] mit
[mm] $$X=\pmat{x_{1,1} & x_{1,2}\\x_{2,1}&x_{2,2}}\hat=\vektor{x_{1,1}\\x_{1,2}\\x_{2,1}\\x_{2,2}}$$
[/mm]
zu schreiben als
$$X [mm] \hat=\vektor{x_{1,1}\\x_{1,2}\\x_{2,1}\\x_{2,2}} \mapsto \vektor{a_{1,1}*x_{1,1}+a_{1,2}*x_{2,1}\\a_{1,1}*x_{1,2}+a_{1,2}*x_{2,2}\\a_{2,1}*x_{1,1}+a_{2,2}*x_{2,1}\\a_{2,1}*x_{1,2}+a_{2,2}*x_{2,2}} \hat=A*X=f_A(X)\,.$$
[/mm]
Und nochmal ganz ergänzend zum Schluss, ein kleiner Wink mit dem
Zaunpfahl, der durchaus hier auch helfen kann, wenn man sich ein wenig
mit der Theorie über lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen über
einem Körper auskennt:
Kannst Du mir mal eine (möglichst einfache) Basis von [mm] $\IR^{2 \times 2}$
[/mm]
hinschreiben? Tipp: Hier hilft durchaus diese "Identifikation" [mm] ($\hat=$), [/mm] die ich
oben stehen habe, falls Dir das nicht direkt klar ist. Denn eine möglichst
einfache Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] wirst Du mir sicher direkt hinschreiben können...
Und zu c) sage ich nochmal das gleiche wie Schachu: Wie sind denn
Eigenwerte einer linearen Abbildung bzw. Eigenwerte einer Matrix definiert?
Gruß,
Marcel
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