Lineare Abbildungen (Ellipse) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
| Aufgabe | Hallo,
Wir betrachten die zwei Ellipsen
[mm] E=\left\{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in K^2 | x^2+y^2=1 \right\} [/mm] und [mm]E'=\left\{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in K^2 | x^2+3y^2=1 \right\} [/mm] als Teilmengen im [mm]K^2[/mm]. In welchem der Körper [mm]K \in \left\{ \IR,\IQ,\IF_7, \IF_1_3)\right\}[/mm] gibt es eine lineare Abbildung [mm] \varphi \in GL_2(K) [/mm] mit [mm] \varphi(E)=E' [/mm]. Geben Sie eine solche Abbildung an oder begründen Sie, warum es eine solche Abbildung nicht gibt. |
Weiß einfach nicht,wie ich hier vorgehen soll, deswegen hoffe ich, dass ihr mir einen Tipp geben könnt, wie ich die Aufgabe erledigen kann.
Schon mal vielen lieben Dank im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mi 05.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
welche einfache Abb führt denn von E nach E', schreib die hin, und überlege in welchen körper sie dann ne lin. abb. ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Ok,vielen Dank schon mal.
Das Problem ist,dass ich eben keine Abbildungsvorschrift finde,um von E nach E' zu kommen. Kann ich nicht einfach [mm]x^2+y^2=1[/mm] nach [mm]x^2+3y^2=1[/mm] schicken und dass dann auf Linearität überprüfen?
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Hallo Sujentha,
> Ok,vielen Dank schon mal.
> Das Problem ist,dass ich eben keine Abbildungsvorschrift
> finde,um von E nach E' zu kommen. Kann ich nicht einfach
> [mm]x^2+y^2=1[/mm] nach [mm]x^2+3y^2=1[/mm] schicken und dass dann auf
> Linearität überprüfen?
Schreib das doch mal so:
[mm]\pmat{x & y}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\pmat{x \\ y}=1[/mm]
bzw.
[mm]\pmat{x & y}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 3}\pmat{x \\ y}=1[/mm]
Um die erste Gleichung in die zweite Gleichung zu überführen,
setze an mit
[mm]\pmat{x \\ y }=A\pmat{x' \\ y'}[/mm]
,wobei A eine 2x2-Matrix ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Oh man,irgendwie steh ich heute echt auf dem Schlauch...
> Schreib das doch mal so:
>
> [mm]\pmat{x & y}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\pmat{x \\ y}=1[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\pmat{x & y}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 3}\pmat{x \\ y}=1[/mm]
Das versteh ich noch,dass man die Gleichungen auch so aufschreiben kann.
Hier also noch kein Problem.
$ [mm] \pmat{x \\ y }=A\pmat{x' \\ y'} [/mm] $
Den Ansatz kann ich allerdings nicht genau nachvollziehen.
Um aus Gleichung 1 Gleichung 2 zu erhalten müsste doch
$ [mm] \pmat{x \\ y }= \pmat{x \\ 3y }$ [/mm] gelten,oder? Also:
[mm]\pmat{x & y}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\pmat{x \\ 3y}= \pmat{x & y}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 3}\pmat{x \\ y}=1[/mm]
Aber da hab ich ja jediglich die 3 aus der Matrix in den Vektor rübergezogen, also irgendwie mach ich was falsch.
Nochma danke für die Antworten und sorry falls ich nerv,nur irgendwie bin ich bei der Aufgabe echt verpeilt..
Gruß,Sujentha.
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Hallo Sujentha,
> Oh man,irgendwie steh ich heute echt auf dem Schlauch...
>
> > Schreib das doch mal so:
> >
> > [mm]\pmat{x & y}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\pmat{x \\ y}=1[/mm]
> >
> > bzw.
> >
> > [mm]\pmat{x & y}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 3}\pmat{x \\ y}=1[/mm]
>
> Das versteh ich noch,dass man die Gleichungen auch so
> aufschreiben kann.
> Hier also noch kein Problem.
>
> [mm]\pmat{x \\ y }=A\pmat{x' \\ y'}[/mm]
> Den Ansatz kann ich allerdings nicht genau nachvollziehen.
> Um aus Gleichung 1 Gleichung 2 zu erhalten müsste doch
> [mm]\pmat{x \\ y }= \pmat{x \\ 3y }[/mm] gelten,oder? Also:
Das ist nicht ganz richtig:
[mm]\pmat{x \\ y }= \pmat{x \\ \wurzel{3} y }[/mm]
Schreib ich das jetzt in Matrix-Vektor-Schreibweise,
so erhalte ich:
[mm]\pmat{x \\ y }= \pmat{1 & 0 \\ 0 & \wurzel{3}} \pmat { x \\ y }[/mm]
> [mm]\pmat{x & y}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\pmat{x \\ 3y}= \pmat{x & y}\pmat{1 & 0 \\ 0 & 3}\pmat{x \\ y}=1[/mm]
>
> Aber da hab ich ja jediglich die 3 aus der Matrix in den
> Vektor rübergezogen, also irgendwie mach ich was falsch.
> Nochma danke für die Antworten und sorry falls ich
> nerv,nur irgendwie bin ich bei der Aufgabe echt verpeilt..
Nein, Du nervst nicht.
>
> Gruß,Sujentha.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Ups, jetzt seh ich's auch,klar muss [mm]\vektor{x \\ y}=\vektor{x \\\wurzel{3}y }[/mm] sein... Trotzdem weiß ich jetzt nich weiter. Bis jetzt hatte ich's immer einfach und brauchte nur schon fertig gegebene Abbildungen auf Linearität überprüfen, das soll jetzt natürlich keine Ausrede sein, will damit nur erklären,warum ich so ein Problem beim Finden einer Abbildungsvorschrift habe.Hab's wie gesagt noch nie gemacht.
Gruß,Sujentha.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mi 05.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch jetzt die Abbildung als matrix. ist das ne mögliche matrix in [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] usw?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Also
$ [mm] \pmat{x \\ y }= \pmat{1 & 0 \\ 0 & \wurzel{3}} \pmat [/mm] { x [mm] \\ [/mm] y } $ ist schon meine fertige Abbildung? An der Stelle haperts dann doch noch,wär super wenn ihr mir das doch noch mal erklärt. Also in $ [mm] \IR [/mm] $ wäre das dann eine Abbildung, in $ [mm] \IQ [/mm] $ nicht wegen [mm] \wurzel{3} [/mm] und in $ [mm] \IF_7 [/mm] $ und $ [mm] \IF_1_3 [/mm] $ bin ich mir nicht sicher,würde vom "Gefühl" her sagen auch nicht.
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Hallo Sujentha,
> Also
> [mm]\pmat{x \\ y }= \pmat{1 & 0 \\ 0 & \wurzel{3}} \pmat { x \\ y }[/mm]
> ist schon meine fertige Abbildung? An der Stelle haperts
Ja, für [mm]K=\IR[/mm] bist Du dann fertig.
> dann doch noch,wär super wenn ihr mir das doch noch mal
> erklärt. Also in [mm]\IR[/mm] wäre das dann eine Abbildung, in [mm]\IQ[/mm]
> nicht wegen [mm]\wurzel{3}[/mm] und in [mm]\IF_7[/mm] und [mm]\IF_1_3[/mm] bin ich mir
> nicht sicher,würde vom "Gefühl" her sagen auch nicht.
Im Grunde musst Du in [mm]\IF_{7}[/mm] eine Zahl c finden für die gilt
[mm]c^{2} \equiv 3 \operatorname{mod} 7[/mm]
Dassselbe für [mm]\IF_{13}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Okay,also in $ [mm] \IF_{7} [/mm] $ gibt es keine Zahl,die das erfüllt aber in $ [mm] \IF_{13} [/mm] $ gilt $ [mm] 4^{2} \equiv [/mm] 3 [mm] \operatorname{mod} [/mm] 13 $,deswegen ist es dort wieder eine Abbildung. Stimmt das?
Gruß,Sujentha.
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Hallo Sujentha,
> Okay,also in [mm]\IF_{7}[/mm] gibt es keine Zahl,die das erfüllt
> aber in [mm]\IF_{13}[/mm] gilt [mm]4^{2} \equiv 3 \operatorname{mod} 13 [/mm],deswegen
> ist es dort wieder eine Abbildung. Stimmt das?
Ja.
>
> Gruß,Sujentha.
Gruss
MathePower
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