Lineare Abbildungen und Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Ihr,
in meinem ![[]](/images/popup.gif) LinAlg-Skript beginnt auf Seite 65 der Einstieg in die Lineare Abbildungen und Matrizen.
Dort taucht auch unter anderem die Matrix [mm] M_B^B' [/mm] auf bez. der Basen B und B' (vgl. S.67 Skript)
Kennt jemand vielleicht eine gute Internetseite zu diesem Thema? Denn mit diesen ganzen Summenzeichen usw. mache ich es mir immer etwas schwierig  .
Wäre cool, wenn mir jemand entweder eine kurze Einführung in das Thema geben könnte bzw. einen guten Link mir geben könnte.
MfG Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 06.02.2005 | | Autor: | Nam |
Hi Andi,
mir hat das Buch "Lineare Algebra" von Albrecht Beutelspacher sehr geholfen. Ich weiß noch, dass ich dazu damals auch was im Internet gesucht habe, aber nichts gutes gefunden habe.
Mein Vorschlag: leih dir in der Bücherei doch mal ein/zwei Bücher zur Linearen Algebra aus.
Der Beutelspacher ist so der einfachste, allerdings schwafelt er auch etwas. Dann gäbe es da noch den von Gerd Fischer oder den Jänisch.
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Meinen Gruß!
Auf eine ganz ähnliche Frage habe ich kürzlich eine recht ausführliche Antwort gegeben... ich verweise einfach mal darauf. Wenn dann noch Fragen offenbleiben - einfach stellen!
Lars
P.S.: Bevor ich es vergesse: Der andere Artikel
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Hallo Gnometech,
erst einmal danke für deine Antwort mit dem super Beitrag. Es hat mir echt weitergeholfen.
Also fassen wir mal zusammen:
Wir haben z.B. zwei Basen:
[mm] B=\{v_1,v_2,...,v_n \} [/mm] von V und die Basis [mm] B'=\{w_1.w_2,...,w_n\} [/mm] von W
Da ja B eine Basis von V ist und somit durch LK(LinearKombination) jeder mögliche Vektor aus V dargestellt werden kann, gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i v_i [/mm] = v
Diese [mm] \lambda_i [/mm] sind die Koeffizienten der LinearKombination.
Zudem habe ich nun auch folgendes verstanden:
Wenn ich z.B. nun eine lineare Abbildung [mm] M_B^B' [/mm] erstellen will, dann gilt folgendes:
[mm] f(\summe_{i=1}^{n} \lambda_i v_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i f(v_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i w_i
[/mm]
Wobei [mm] w_i \in [/mm] B' und [mm] v_i \in [/mm] B.
Ist das jetzt alles richtig so?
Also meiner Vermutung nach muss zu einer solchen linearen Abbildung [mm] M_B^B' [/mm] eine Matrix mit den Koeffizienten bereitstehen und mit Hilfe dieser Matrix und der linearen Funktion kann ich dann mithilfe der Basis B die Basis B' erzeugen und somit habe ich eine lineare Abbildung f:V [mm] \to [/mm] W, denn wenn ich die Basen darstellen kann, dann kann ich auch durch LK alle möglichen Vektoren [mm] \in [/mm] W bzw. [mm] \in [/mm] V erzeugen.
Ist das nun alles korrekt so?
Wäre schön, wenn jemand darauf antworten könnte.
Noch einen schönen Rosenmontag.
Bis dann,
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Mo 07.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Andi,
da ist schon Vieles richtige mit dabei, ABER es geht in deinem Skript auf Seite 67 um etwas ganz Besonderes.
Ich will dir erstmal an einem Beispiel zeigen, wieso deine Aussagen ein wenig ungenau sind:
> Hallo Gnometech,
>
> erst einmal danke für deine Antwort mit dem super Beitrag.
> Es hat mir echt weitergeholfen.
finde ich übrigens auch echt Klasse !! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> Zudem habe ich nun auch folgendes verstanden:
>
> Wenn ich z.B. nun eine lineare Abbildung [mm]M_B^B'[/mm] erstellen
> will, dann gilt folgendes:
>
> [mm] $f(\summe_{i=1}^{n} \lambda_i v_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i f(v_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i w_i [/mm] $
>
> Wobei [mm]w_i \in[/mm] B' und [mm]v_i \in[/mm] B.
Das stimmt nur in einem ganz besonderem Fall, nämlich wenn du zwei Basen B von V und B' von W gegeben hast und es gilt: $ [mm] f(v_i )=w_i [/mm] $
Dies ist in der Tat etwas ganz besonderes (bei VRs der selben Dimension) , es gibt nämlich nur genau eine solche Abbildung f, die diese Eigenschaft hat.
> Also meiner Vermutung nach muss zu einer solchen linearen
> Abbildung [mm]M_B^B'[/mm] eine Matrix mit den Koeffizienten
> bereitstehen und mit Hilfe dieser Matrix und der linearen
> Funktion kann ich dann mithilfe der Basis B die Basis B'
> erzeugen
eben hier steckt der Haken : die VR V und W müssen ja nichtmal die selbe Dimension haben, oder f muss weder injektiv noch surjektiv sein (nur bei selber Dimension das gleiche).
z.B. könnte f die Nullabbildung sein - dann bekommst du natürlich durch die $ [mm] f(v_i [/mm] ) $ (Bilder der Basisvektoren von V) keine Basis von W (sondern nur ein Erzeugendensystem von f(V) also vom Bild)
Also, ich versuche mal noch ein bischen Klarheit zu stiften:
1) Wenn du B und B' gegeben hast, dann kannst du $ [mm] f(v_i [/mm] ) $ als LinKombi der gegebenen [mm] w_i [/mm] darstellen und erhälstzum Beispiel: $ [mm] f(v_1 )=3w_1 [/mm] + [mm] 0w_2 [/mm] + [mm] 1w_3 [/mm] $ , dann ist die erste SPALTE (=Bild des ersten Basisvektors) deiner Darstellungsmatrix : $ [mm] \vektor{3\\0\\1} [/mm] $ usw...
so bekommst du dann deine Darstellungsmatrix indem du dir die Bilder der Basisvektoren anschaust.
2)angenommen du hast B und f gegeben und sollst B' so wählen, dass die Darstellungsmatrix möglichst einfach aussieht.
2.1)wenn V und W die selbe Dimension haben und f surjektiv(=injektiv hier! ) ist, dann sind die Bilder von B unter f wieder linear unabhängig und du kannst sie als Basis wählen -> du erhälst die einheitsmatrix als Darstellungsmatrix.
2.2)V "ist kleiner" als W und f ist injektiv -> hier kannst du das selbe machen, aber bekommst halt nur eine linear unabhängige Teilfamilie -> musst du noch zu einer Basis ergänzen (nicht eindeutig!) und erhälst eine Rangdefekte Einheitsmatrix.
2.3)sonst: wähle linear unabhängige Bilder und ergänze diese zu einer Basis von W (wenn nötig) -> du erhälst in den ersten r Zeilen einträge, wobei r die Anzahl der linear unabhängigen Bilder ist.
ich hoffe, du konntest auch dies irgendwie gebrauchen, ich empfehle übrigens folgenden Artikel: Darstellungsmatrizen
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,
also ich habe mal versucht eine bestimmte Aufgabe zu lösen:
Die Aufgabe findet ihr auf meinem Aufgabenblatt als Aufgabe 3.
Ich habe meine kurze Lösung (nicht mit jeder Rechnung) als PDF-Datei gespeichert.
HIER RUNTERLADEN
Könnt ihr mir sagen, ob die Endmatrix richtig so ist?
MfG Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mo 07.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi, sorry, aber dein zweiter Link geht nicht.
Weshalb schreibst du nicht einfach alles hier rein?
der Formel-Editor ist sogar LaTeX angelehnt - das sollte fast nur copy&paste sein...
(und soooo viel schreibarbeit ist es wohl auch nicht - zumindest nicht die aufgabenstellung.)
viele Grüße
DaMenge
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[mm] L_A(x_1)=A\*x_1 [/mm] =
[mm] \left(
\begin{array}{*{4}{c}}
\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2}& \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\
\end{array} \right)\left(\begin{array}{*{4}{c}}1\\0\\1\end{array}\right)
[/mm]
[mm] =\left(\begin{array}{*{4}{c}}1\\0\\\frac{1}{2}\end{array}\right)
[/mm]
[mm] L_A(x_2) [/mm] = [mm] \left(
\begin{array}{*{4}{c}}
0\\3\\\frac{3}{2}
\end{array}
\right)
[/mm]
[mm] L_A(x_3) [/mm] = [mm] \left(
\begin{array}{*{4}{c}}
2\\2\\0
\end{array}
\right)
[/mm]
wobei [mm] x_1 [/mm] = [mm] \left(\begin{array}{*{4}{c}} 1\\1\\0\end{array}\right)
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \left(\begin{array}{*{4}{c}}0\\1\\1\end{array}\right)
[/mm]
[mm] x_3 =\left(\begin{array}{*{4}{c}}1\\1\\0\end{array}\right)
[/mm]
Bestimmung der LK's:
[mm] \left(\begin{array}{*{4}{c}}1\\0\\ \frac{1}{2}\end{array}\right) [/mm] = [mm] \frac{3}{4}\left(\begin{array}{*{4}{c}} 1\\0\\1 \end{array}\right) [/mm] + (- [mm] \frac{1}{4})\left(\begin{array}{*{4}{c}} 0\\1\\1\end{array}\right) [/mm] + [mm] \frac{1}{4}\left(\begin{array}{*{4}{c}} 1\\1\\0\end{array}\right)
[/mm]
[mm] \left(\begin{array}{*{4}{c}}0\\3\\ \frac{3}{2}\end{array}\right)= -\frac{3}{4}\left(\begin{array}{*{4}{c}} 1\\0\\1 \end{array}\right) [/mm] + [mm] \frac{9}{4}\left(\begin{array}{*{4}{c}} 0\\1\\1\end{array}\right) [/mm] + [mm] \frac{3}{4}\left(\begin{array}{*{4}{c}} 1\\1\\0\end{array}\right)
[/mm]
[mm] \left(\begin{array}{*{4}{c}}2\\2\\0\end{array}\right) [/mm] = [mm] 0\left(\begin{array}{*{4}{c}} 1\\0\\1 \end{array}\right) [/mm] + [mm] 0\left(\begin{array}{*{4}{c}} 0\\1\\1\end{array}\right) [/mm] + [mm] 2\left(\begin{array}{*{4}{c}} 1\\1\\0\end{array}\right)
[/mm]
Übergangsmatrix:
[mm] \left(\begin{array}{*{4}{c}}\frac{3}{4} & -\frac{3}{4} & 0\\
-\frac{1}{4} & \frac{9}{4} & 0\\
\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 2\end{array}\right)
[/mm]
Wäre schön, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich das so richtig gemacht habe.
MfG
Andi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Di 08.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
deine angegebene Lösung ist zwar vom Prinzip her richtig, aber die Werte stimmen nicht.
Ich hab Derive bemüht und bekomme andere Werte bei der Multiplikation deiner Matrix mit den Basisvektoren.
Es kommen schöne Werte heraus und zum Schluss erhälst du eine Diagonalmatrix.
Aber wie gesagt: das Prinzip ist richtig !
viele Grüße
DaMenge
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Danke DaMenge,
aber es hat sich schon erledigt...ich war einfach zu dumm und habe die ganze Aufgabe mit einer anderen Matrix durchgenommen.
Meine Frage ist nun, wie ich mit dieser Matrix die Bilder bestimmen kann?
Kannst du mir das vielleicht nur kurz erklären oder sonst hier wer im Matheraum?
MfG Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Di 08.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, willst du Das Bild einer linearen Abbildung bestimmen, richtig?
Aber das Bild wird natürlich von den Spaltenvektoren erzeugt.
(Schau dazu mal in die Mathedatenbank - unter HochschulFAQs )
wenn du davon eine Basis willst, musst du noch ein paar rausstreichen...
viele Grüße
DaMenge
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