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| Aufgabe | Im Vektorraum R3 sind für t ∈R folgende Vektoren gegeben:
[mm] \vec{a}_{t} = \vektor{1 \\ 1-t \\ -2}, \vec{b}_{t }= \vektor{1 \\ 5 \\ t+2}, \vec{c}_{t} = \vektor{-2t \\ 1 \\ -7}, \vec{d}_{t} = \vektor{-3t \\ 2 \\ -6} [/mm]
a) Zeige, daß die Vektoren [mm] \vec {a}_{-1} [/mm] , [mm] \vec {b}_{-1} [/mm] , [mm] \vec{c}_{-1}
[/mm]
linear abhängig sind.
Bestimme eine Basis für die lineare Hülle [mm] W = [\vec {a}_{-1} , \vec {b}_{-1} , \vec{c}_{-1}] [/mm]
.
b) Für welche t ∈R bilden [mm] \vec{a}_{t}, \vec{b}_{t } [/mm] und [mm] \vec{c}_{t} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] ?
Stelle für diese Werte von t den Vektor [mm] \vec{d}_{t} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vec{a}_{t}, \vec{b}_{t } [/mm] und [mm] \vec{c}_{t} [/mm] dar.
Im affinen Punktraum sind folgende Punktmengen gegeben:
[mm] M_{t}:[/mm] [mm] \vec{x} = \vec{c}_{t} + r * \vec{a}_{t} + s * \vec{b}_{t}, [/mm]
[mm] g_{t}:[/mm] [mm] \vec{x} = \vec{d}_{t} + u * \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, [/mm]
[mm] F_{c}:[/mm] [mm] 4x_{1} - x_{2} + x_{3} = 6c [/mm] mit c [mm] \in \IR
[/mm]
Für welches t stellt [mm] M_{t} [/mm] keine Ebene sondern eine Gerade dar?
Bestimme die Schnittmenge von [mm] M_{t} [/mm] und [mm] g_{t} [/mm] in Abhängigkeit von t.
d) Gib eine Gleichung der Ebene [mm] M_{5} [/mm] in Koordinatenform an.
Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden [mm] h_{c} [/mm] von [mm] M_{5} [/mm] und [mm] F_{c}.
[/mm]
Zeige, daß [mm] h_{c} [/mm] parallel zur [mm] x_{2} x_{3} [/mm] Ebene ist. |
Hallo,
a) Ich habe versucht diese Aufgabe durch triviale Linearkombination zu lösen. Da [mm] r_{1} = r_{2} = r_{3} = 0 [/mm] herauskommt, sind die Vektoren linear unabhängig, so wie ich das verstehe. Aber, wenn ich die Frage angucke, dann scheint es so, dass es Werte geben sollte, bei denen die Vektoren abhängig sind. Ist das ein Versuch die Abiturienten zu verwirren (das ist eine Aufgaben vom Abi 1992)?
Mich interessiert auch, wie soll man richtig die Antwort der zweiten Frage in der Aufgabe a schreiben. Ich habe das so geschrieben: W = [(1/2/-2), (1/5/1), (2/1/-7)]. Bitte korrigiert mich.
b) Also, wenn die Vektoren schon linear unabhängig sind, dann bilden sie eine Basis. Hier, wenn ich richtig denke, sollte man den Determinanten dieser drei Vektoren gleich null setzen und t ausrechnen. Bei mir kommt aber eine Gleichung dritten Grades heraus: [mm] -2t^{3} + 2t^{2} - 32t - 32 = 0 [/mm], die ich nicht lösen kann! Wenn man t = -1 aus der Aufgabe a einsetzt, dann stimmt die Gleichung: 0 = 0. Wenn man t = 1 nimmt, stimmt das auch (0 = 0). Aber wie rechnet man das t aus? Ich hab die Gleichung mit Hilfe der Polynomdivision durch t+1 geteilt. Dann kommt [mm] -2t^{2} + 4t - 36 + \bruch{4}{t+1} [/mm] heraus und ich weiss wieder nicht, wie man t ausrechnet...![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") . Oder soll man die Werte so einfach erkennen und überhaupt nichts rechnen?
Mit der weiteren Aufgabe von b hätte ich dann keine Probleme.
c) Damit die [mm] M_{t} [/mm] keine Ebene sondern eine Gerade darstellt, sollen die beiden Richtungsvektoren linear kobinierbar, d.h. unabhängig, sein und damit einen Vektor erzeugen, der dann zum Richtungsvektor der Gerade wird. Wenn man wieder t = - 1 oder t = 1 einsetzt, dann kann man so einen Richtungsvektor bilden. Aber mich interessiert wieder: wie rechnet man die t aus ?
Ich bin mir wieder nicht sicher, ob ich die letzte Frage der c richtig verstanden habe: ist die Schnittmenge ein Punkt in dem sich die [mm] M_{t} [/mm] und [mm] g_{t} [/mm] schneiden? Ich habe versucht ihn auszurechnen: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-2t \\ 2t - 3 \\ 2t - 11} [/mm] . Bitte wieder um Überprüfung und möglicherweise um Korrektur .
d) Die Koordinatenform von [mm] M_{5} [/mm] sieht nach meiner Rechnung so aus:
[mm] 2x_{1} + 10x_{2} - 9x_{3} = 174 [/mm]. Aber ab hier komm ich nicht weiter... Ich habe versucht die Gleichung der Schnittgerade durch Rechnung in Parameterform auszurechnen aber dann sind solche komplizierte Gleichungen enstanden, dass überhaupt nicht mehr weiß, wie man weitergeht. Gibt es irgendeinen nicht zu komplizierten Weg zur Ausrechnung der [mm] h_{c} [/mm] ?
Bei der zweiten Frage hätte ich dann auch keine Probleme. Wenn der Richtungsvektor der aus den Ebenen enstandenen Gerade zum Vektor [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] linear abhängig ist, dann ist die Gerade zur [mm] x_{2} x_{3}-Ebene [/mm] paralell.
Also, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt und wäre herzlich dankbar, wenn jemand mich korriegiern und meine Fragen beantworten könnte. Nur noch 6 Wochen sind bis zum Abi übrig geblieben!
Viele Grüße
Emilis (Tevulytis)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 So 12.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Emilis
> Im Vektorraum R3 sind für t ∈R folgende Vektoren
> gegeben:
>
> [mm]\vec{a}_{t} = \vektor{1 \\ 1-t \\ -2}, \vec{b}_{t }= \vektor{1 \\ 5 \\ t+2}, \vec{c}_{t} = \vektor{-2t \\ 1 \\ -7}, \vec{d}_{t} = \vektor{-3t \\ 2 \\ -6}[/mm]
>
> a) Zeige, daß die Vektoren [mm]\vec {a}_{-1}[/mm] , [mm]\vec {b}_{-1}[/mm] ,
> [mm]\vec{c}_{-1}[/mm]
> linear abhängig sind.
> Bestimme eine Basis für die lineare Hülle [mm]W = [\vec {a}_{-1} , \vec {b}_{-1} , \vec{c}_{-1}][/mm]
>
> .
> b) Für welche t ∈R bilden [mm]\vec{a}_{t}, \vec{b}_{t }[/mm]
> und [mm]\vec{c}_{t}[/mm] eine Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] ?
> Stelle für diese Werte von t den Vektor [mm]\vec{d}_{t}[/mm] als
> Linearkombination von [mm]\vec{a}_{t}, \vec{b}_{t }[/mm] und
> [mm]\vec{c}_{t}[/mm] dar.
>
> Im affinen Punktraum sind folgende Punktmengen gegeben:
>
> [mm]M_{t}:[/mm] [mm]\vec{x} = \vec{c}_{t} + r * \vec{a}_{t} + s * \vec{b}_{t},[/mm]
>
> [mm]g_{t}:[/mm] [mm]\vec{x} = \vec{d}_{t} + u * \vektor{0 \\ 1 \\ 1},[/mm]
>
> [mm]F_{c}:[/mm] [mm]4x_{1} - x_{2} + x_{3} = 6c [/mm] mit c [mm]\in \IR[/mm]
>
> Für welches t stellt [mm]M_{t}[/mm] keine Ebene sondern eine Gerade
> dar?
> Bestimme die Schnittmenge von [mm]M_{t}[/mm] und [mm]g_{t}[/mm] in
> Abhängigkeit von t.
>
> d) Gib eine Gleichung der Ebene [mm]M_{5}[/mm] in Koordinatenform
> an.
> Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden [mm]h_{c}[/mm] von [mm]M_{5}[/mm]
> und [mm]F_{c}.[/mm]
> Zeige, daß [mm]h_{c}[/mm] parallel zur [mm]x_{2} x_{3}[/mm] Ebene ist.
> Hallo,
>
> a) Ich habe versucht diese Aufgabe durch triviale
> Linearkombination zu lösen. Da [mm]r_{1} = r_{2} = r_{3} = 0[/mm]
> herauskommt, sind die Vektoren linear unabhängig, so wie
> ich das verstehe. Aber, wenn ich die Frage angucke, dann
> scheint es so, dass es Werte geben sollte, bei denen die
> Vektoren abhängig sind. Ist das ein Versuch die
> Abiturienten zu verwirren (das ist eine Aufgaben vom Abi
> 1992)?
Nein, die Vektoren sind wirklich lin abhängig.
Wenn du t=-1 einsetzest hast du doch, die vektoren alsSpalten der matrix geschrieben:
1 1 2
2 5 1
-2 1 -7
Wenn du die erste Zeile 2mal von der 2. abziehst und 2 mal zu der dritten addierst hast du
1 1 2
0 3 -3
0 3 -3
also kannst du die Gleichung nichttrivial lösen!z. Bsp. r2=r3=1, r1=-3
Dass man homogene Gl. IMMER mit r1=r2=r3=0 lösen kann ist doch klar, egal, ob sie abh. oder unabh. sind!
jetzt suchst du 2 lin. unabhängige unter den 3 en oder zwei linearkomb. der 3 so dass du 3 Unabh. hast, dann hast du die lineare Hülle.
> Mich interessiert auch, wie soll man richtig die Antwort
> der zweiten Frage in der Aufgabe a schreiben. Ich habe das
> so geschrieben: W = [(1/2/-2), (1/5/1), (2/1/-7)]. Bitte
> korrigiert mich.
Wie bist du denn auf die gekommen? s.0. sie sind falsch!
> b) Also, wenn die Vektoren schon linear unabhängig sind,
> dann bilden sie eine Basis. Hier, wenn ich richtig denke,
> sollte man den Determinanten dieser drei Vektoren gleich
> null setzen und t ausrechnen. Bei mir kommt aber eine
> Gleichung dritten Grades heraus: [mm]-2t^{3} + 2t^{2} - 32t - 32 = 0 [/mm],
Vielleicht überprüfst du das nochmal, besser mit Gauss 2 Nullen erzeugen, die 2 letzten Zeilen dürfen nicht prop. sein.
Die Det darf NICHT 0 sein, d,h. du musst die Werte für 0 ausschließen. da du eine Lösg, der Gl. 3. Grades hast x=-1 kannst du durch x+1 dividieren!
> die ich nicht lösen kann! Wenn man t = -1 aus der Aufgabe a
> einsetzt, dann stimmt die Gleichung: 0 = 0. Wenn man t = 1
> nimmt, stimmt das auch (0 = 0). Aber wie rechnet man das t
> aus? Ich hab die Gleichung mit Hilfe der Polynomdivision
> durch t+1 geteilt. Dann kommt [mm]-2t^{2} + 4t - 36 + \bruch{4}{t+1}[/mm]
> heraus und ich weiss wieder nicht, wie man t
> ausrechnet.... Oder soll man die Werte so einfach
> erkennen und überhaupt nichts rechnen?
Ne quadratische Gleichung wirst du doch lösen können?
erst mal so weit, vielleicht hab ich später noch mal Zeit.
Gruss leduart
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