Lineare Abhängigkeit. < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Haiza |
| Aufgabe | Prüfen sie ob die Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] linear Abhängig sind.
[mm] $\vec{a}=\vektor{2 \\ -1 \\ 3}$
[/mm]
[mm] $\vec{b}=\vektor{-6 \\ 3 \\ -9}$ [/mm] |
Hallo Gemeintschaft!
Ich tuh mich etwas schwer mit diesem Thema bzw. im allgemeinen mit Mathe.
Ich sehe zwar sofort, dass die Vektoren linear abhängig sind, da [mm] $\vec{a}$ [/mm] ein vielfaches ( [mm] $\cdot [/mm] -3$ ) von [mm] $\vec{b}$ [/mm] ist, weiß aber nicht so recht wie ich das nachweise/prüfe, wenn es nicht so offensichtlich ist.
Ich meine man prüft dies mit einem Gleichungssystem. Dies hatte ich auch vor und habe dann ein Gleichungssystem der beiden Vektoren mit [mm] $\lambda$ [/mm] gebaut.
Fazit: Egal was ich mache, es fällt immer alles weg im System.
Was sagt mir das? Was mache ich nun?
Gruß und Danke!
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> Prüfen sie ob die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] linear
> Abhängig sind.
> [mm]\vec{a}=\vektor{2 \\ -1 \\ 3}[/mm]
> [mm]\vec{b}=\vektor{-6 \\ 3 \\ -9}[/mm]
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> Hallo Gemeintschaft!
>
> Ich tuh mich etwas schwer mit diesem Thema bzw. im
> allgemeinen mit Mathe.
>
> Ich sehe zwar sofort, dass die Vektoren linear abhängig
> sind, da [mm]\vec{a}[/mm] ein vielfaches ( [mm]\cdot -3[/mm] ) von [mm]\vec{b}[/mm]
> ist, weiß aber nicht so recht wie ich das
> nachweise/prüfe, wenn es nicht so offensichtlich ist.
> Ich meine man prüft dies mit einem Gleichungssystem. Dies
> hatte ich auch vor und habe dann ein Gleichungssystem der
> beiden Vektoren mit [mm]\lambda[/mm] gebaut.
> Fazit: Egal was ich mache, es fällt immer alles weg im
> System.
>
> Was sagt mir das? Was mache ich nun?
>
> Gruß und Danke!
Hallo Haiza,
in dem Gleichungssystem
$\ [mm] -6=\lambda*2$
[/mm]
$\ [mm] 3=\lambda*(-1)$
[/mm]
$\ [mm] -9=\lambda*3$
[/mm]
fällt doch nicht alles weg, sondern du erhältst 3 Mal
die Aussage " [mm] \lambda=-3 [/mm] " !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Hm, mein Gleichungssystem sah wie folgt aus:
$2 [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + -6 [mm] \cdot \lambda_2 [/mm] = 0$
$-1 [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + 3 [mm] \cdot \lambda_2 [/mm] = 0$
$3 [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + -9 [mm] \cdot \lambda_2 [/mm] = 0$
und wenn ich damit rechne, erhalte ich durchgehen "nichts".
Dein Gleichungssystem macht Sinn, jedoch stehe ich grade auf dem Schlauch, und frage mich, wieso deins so aussieht, wie es aussieht, bzw. warum meins nicht so aussieht, wie deins.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Stoecki |
hallo haiza,
dein gleichungssystem ist korrekt (viele wege führen nach rom). wenn bei deinem gleichungssystem nur die werte [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0 erlaubt sind, weißt du, dass die vektoren linear unabhängig sind. gibt es weitere lösungen, dann sind die beiden vektoren linear abhängig (du erhälst dann sowas wie [mm] \lambda_1 [/mm] = a * [mm] \lambda_2, [/mm] wobei a [mm] \in \IR [/mm] ist). in deiner formulierung kann man lineare unabhängigkeit auch prüfen, wenn du mehr als 2 vektoren gegeben hast.
gruß bernhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> (du erhälst dann sowas wie [mm]\lambda_1[/mm] = a * [mm]\lambda_2,[/mm]
Hm, aber ich erhalte aus diesem Gleichungssystem gar nichts, da sich immer alles auflöst/wegaddiert/subtrahiert.
Wie komme ich da auf die angegebene Beispiellösung von dir?
Gruß
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Bei deinem Gleichungssystem erhälst du nicht durchgehen nichts.
Sondern:
[mm] \pmat{ 1 & -3 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Die erste Spalte ist dein [mm] \lambda_1 [/mm] und die zweite dein [mm] \lambda_2
[/mm]
Die lineare Kombination von deinen zwei Vektoren ist also dann Null wenn:
[mm] \lambda_1 [/mm] =1 und [mm] \lambda_2 [/mm] = -3
ODER
[mm] \lambda_1=0 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
letzteres nennt man triviale Lösung weil das egal wann immer der Fall ist.
Falls du immer noch nichts erhälst, machst du was beim Lösen falsch, dann musst da jeden Schritt mal abtippen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Ich versuche bei dem Gleichungssystem:
$2 [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + -6 [mm] \cdot \lambda_2 [/mm] = 0$
$-1 [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + 3 [mm] \cdot \lambda_2 [/mm] = 0$
$3 [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + -9 [mm] \cdot \lambda_2 [/mm] = 0$
Entweder [mm] $\lambda_1$ [/mm] oder [mm] $\lambda_2$ [/mm] weg zu bekommen, damit ich dort stehen habe [mm] $\lambda_1= [/mm] XXX $. Rechne ich nun die zweite Zeile mal -3 steht dort das selbe wie in Zeile 1. Mein Ziel wäre gewesen, dass dann z.B. [mm] $\lambda_1 [/mm] $ einen gleichen Wert wie in Zeile 2 erzählt. Ich somit Zeile 1 und 2 z.B. addieren kann und [mm] $\lambda_1$ [/mm] "rausfliegt" und nur noch [mm] $\lambda_2$ [/mm] vorhanden ist. Das rechne ich aus und habe dann beide [mm] $\lambda$. [/mm] Geht ja aber nicht, weil immer alle Zeilen den selben "Wert" haben und ich somit nichts "rauskürzen" kann.
Ich stehe grad auf dem Schlauch und sehe den Fehler nicht.
Gruß
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Habt ihr schon mit Matrizen gerechnet? Ist ganz einfach so, wie ich dir oben erklärt hab. Erste Spalte [mm] \lambda_1, [/mm] zweite [mm] \lambda_2
[/mm]
Dann spart man sich das ganze drumherum, dein GLS sieht also aus:
[mm] \pmat{ 2 & -6 & |0 \\ -1 & 3 & |0 \\ 3 & -9 & |0}
[/mm]
2*II
[mm] \pmat{ 2 & -6 & |0 \\ -2 & 6 & |0 \\ 3 & -9 & |0}
[/mm]
II+I, I/2, III/3
[mm] \pmat{ 1 & -3 & |0 \\ 0 & 0 & |0 \\ 1 & -3 & |0}
[/mm]
I - III
[mm] \pmat{ 1 & -3 & |0 \\ 0 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & |0}
[/mm]
Und da steht deine Lösung. Die Vektoren sind linear abhängig, weil es eine nicht triviale Lösung gibt und zwar [mm] \lambda_1 [/mm] = 1 und [mm] \lambda_2 [/mm] = -3.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Danke habe es jetzt verstanden.
Auch durch eure Mitteilungen.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Mi 03.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Ach okay, ich habe dein Gleichungssystem verstanden. Natürlich. Ich habe falsch gedacht. Aber warum geht das von mir aufgestellte Gleichungssystem nicht.
Deins ist korrekt, weil ich ja wissen will, was für ein vielfaches [mm] $\vec{a}$ [/mm] von [mm] $\vec{b}$ [/mm] ist.
Gruß
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> Ach okay, ich habe dein Gleichungssystem verstanden.
> Natürlich. Ich habe falsch gedacht. Aber warum geht das
> von mir aufgestellte Gleichungssystem nicht.
> Deins ist korrekt, weil ich ja wissen will, was für ein
> vielfaches [mm]\vec{a}[/mm] von [mm]\vec{b}[/mm] ist.
>
> Gruß
Hallo Haiza,
dein Gleichungssystem war:
$ 2 [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] - 6 [mm] \cdot \lambda_2 [/mm] = 0 $
$ -1 [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + 3 [mm] \cdot \lambda_2 [/mm] = 0 $
$ 3 [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] -9 [mm] \cdot \lambda_2 [/mm] = 0 $
Eigentlich sind alle drei Gleichungen äquivalent.
Das bedeutet, dass du auf zwei von ihnen verzichten
kannst, aber nicht auf alle drei !! .
Was also von dem Gleichungssystem übrig bleibt,
ist nicht nichts, sondern etwa die Gleichung
$ [mm] \lambda_1\ [/mm] =\ 3 [mm] \cdot \lambda_2$
[/mm]
Diese Gleichung hat nicht nur das Lösungspaar
[mm] $(\lambda_1\,,\,\lambda_2\,)\ [/mm] =\ [mm] (\,0\,,\,0\,)$ [/mm] ,
sondern unendlich viele weitere Lösungspaare.
Ich befürchte irgendwie, dass du beim Gleichungssystem
[mm] x+2\,y= [/mm] 5
[mm] -x-2\,y=-5
[/mm]
einfach beide Gleichungen addieren würdest, mit dem
Ergebnis 0=0 , und dann ratlos dastündest ...
Merke: wenn du in einem Gleichungssystem aus
zwei Gleichungen eine neue produzierst, ist diese
allein im Allgemeinen keineswegs äquivalent zum
Gleichungssystem, das du vorher hattest.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Mi 03.08.2011 | | Autor: | DrNetwork |
Ich glaub auch, das du den Denkfehler machst.
Wenn du also zwei Gleichungen addierst/subtrahierst dann entsteht da EINE neue und eine der beiden lässt du bestehen.
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