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| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}; \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}; \vec{c} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}; \vec{d} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 0}; \vec{e} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}; \vec{f} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 3 \\ 1};
[/mm]
a) Sind vec{a}, vec{b}, vec{c}, vec{d} und vec{e} linear unabhängig?
b) Sind vec{a}, vec{b}, vec{c} und vec{d} linear unabhängig?
c) Sind vec{a}, vec{b} und vec{c} linear unabhängig?
d) Im Falle der linearen Unabhängigkeit bestimme man reelle Zahlen so, dass die entsprechende Linearkombination der unabhängigen Vektoren den Vektor vec{f} ergibt. |
Guten Tag,
ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe. Ich komme wohl auf die richtigen Ergebnisse, jedoch bin ich mir nicht sicher ob die Art und Weise wie ich darauf komme so ganz richtig ist bzw op man das so machen kann/darf. Vorallem bei a), und den Umformungen zu Bestimmung des Ranges..
zu a)
nein, da 5 Vektoren in einem 4-dim Vektorraum nicht lin. unhabhängig sein können.
(stimmt das wirklich?)
zu b)
Rg [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] | II - I
= Rg [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] | III - II
= Rg [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] | IV - III
= Rg [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 }
[/mm]
=> Rg = 4 = n, mit n = Anzahl der Spalten
=> linear unabhängig
zu c)
Rg [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
= Rg [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
=> Rg = 3 = n
=> linear unabhängig
zu d)
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & |2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & |-1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & |3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & |1 } [/mm]
in Trapezform bringen =>
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & |2 \\ 0 & -1 & 0 & 2 & |3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & |6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & |5 } [/mm]
=>
[mm] 2x_{4} [/mm] = 5
[mm] x_{4} [/mm] = 2,5
[mm] x_{3} [/mm] + 2*2,5 = 6
[mm] x_{3} [/mm] = 1
[mm] -x_{2} [/mm] + 5 = 3
[mm] x_{2} [/mm] = 2
[mm] x_{1} [/mm] + 5 = 2
[mm] x_{1} [/mm] = -3
=> [mm] -3\vec{a} [/mm] + [mm] 2\vec{b} [/mm] + [mm] \vec{c} [/mm] + [mm] 2,5\vec{d} [/mm] = [mm] \vec{f}
[/mm]
War ja ne ganze Menge, aber ich bedanke mich schonmal und ich würde mich freuen, wenn mir jemand eine Rückmeldung gibt.
Danke und mit freundlichen Grüßen
DerderSichsichnennt
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> Gegeben sind die Vektoren:
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}; \vec{b}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}; \vec{c}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}; \vec{d}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 0}; \vec{e}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}; \vec{f}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 3 \\ 1};[/mm]
>
> a) Sind vec{a}, vec{b}, vec{c}, vec{d} und vec{e} linear
> unabhängig?
> b) Sind vec{a}, vec{b}, vec{c} und vec{d} linear
> unabhängig?
> c) Sind vec{a}, vec{b} und vec{c} linear unabhängig?
> d) Im Falle der linearen Unabhängigkeit bestimme man
> reelle Zahlen so, dass die entsprechende Linearkombination
> der unabhängigen Vektoren den Vektor vec{f} ergibt.
> Guten Tag,
>
> ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe. Ich komme
> wohl auf die richtigen Ergebnisse, jedoch bin ich mir nicht
> sicher ob die Art und Weise wie ich darauf komme so ganz
> richtig ist bzw op man das so machen kann/darf. Vorallem
> bei a), und den Umformungen zu Bestimmung des Ranges..
>
> zu a)
> nein, da 5 Vektoren in einem 4-dim Vektorraum nicht lin.
> unhabhängig sein können.
> (stimmt das wirklich?)
Hallo,
ja, das stimmt wirklich, und es erspart einem bei solchen Fragen einiges an rechnerei.
>
> zu b)
> Rg [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
> | II - I
> = Rg [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
> | III - II
> = Rg [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & \red{-}2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
> | IV - III
> = Rg [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 }[/mm]
>
> => Rg = 4 = n, mit n = Anzahl der Spalten
> => linear unabhängig
Ja.
das markierte [mm] \red{-} [/mm] ist verkehrt, im Endeffekt erhält man aber trotzdem den Rang 4.
>
> zu c)
> Rg [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> = Rg [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> => Rg = 3 = n
> => linear unabhängig
Hier hättest Du Dir das Rechnen sparen können.
Den nDu hast es hier mit einer Teilmenge der zuvor als unabhängig erkannten Menge zu tun.
>
> zu d)
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & |2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & |-1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & |3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & |1 }[/mm]
>
> in Trapezform bringen =>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & |2 \\ 0 & -1 & 0 & 2 & |3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & |6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & |5 }[/mm]
>
>
> =>
> [mm]2x_{4}[/mm] = 5
> [mm]x_{4}[/mm] = 2,5
>
> [mm]x_{3}[/mm] + 2*2,5 = 6
> [mm]x_{3}[/mm] = 1
>
> [mm]-x_{2}[/mm] + 5 = 3
> [mm]x_{2}[/mm] = 2
>
> [mm]x_{1}[/mm] + 5 = 2
> [mm]x_{1}[/mm] = -3
>
> => [mm]-3\vec{a}[/mm] + [mm]2\vec{b}[/mm] + [mm]\vec{c}[/mm] + [mm]2,5\vec{d}[/mm] = [mm]\vec{f}[/mm]
Die Vorgehensweise hier ist richtig, nachrechnen tue ich das jetzt nicht.
Ob Dein Ergebnis stimmt, kannst du ja durch Einsetzen prüfen.
Gruß v. Angela
>
> War ja ne ganze Menge, aber ich bedanke mich schonmal und
> ich würde mich freuen, wenn mir jemand eine Rückmeldung
> gibt.
>
> Danke und mit freundlichen Grüßen
>
> DerderSichsichnennt
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Vielen Dank für deine schnelle Hilfe und deine Tipps!
MfG DerderSichsichnennt
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