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| Aufgabe | Zeige: Für beliebige Vektoren a und b sind die 3 Vektoren
a, a+b, a-b stets linear abhängig. |
Ich weiß so viel, dass es linear abhängig ist,wenn es eine nicht triviale Linearkombination gibt, die den Nullvektor ergibt.
Mit konkreten Zahlen, habe ich auch kein Problem, aber sobald man etwas allgemein beweisen soll, komm ich nicht mehr weiter.
Ich danke schon mal allen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeige: Für beliebige Vektoren a und b sind die 3 Vektoren
> a, a+b, a-b stets linear abhängig.
> Ich weiß so viel, dass es linear abhängig ist,wenn es
> eine nicht triviale Linearkombination gibt, die den
> Nullvektor ergibt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Prima, Du weißt also prinzipiell durchaus, was Du zeigen mußt, daß Du nämlich in der Gleichung
[mm] ...*\vec{a}+ ...*(\vec{a}+\vec{b})+ ...*(\vec{a}-\vec{b})=\overrightarrow{0}
[/mm]
für die Pünktchen passende Zahlen findest.
Du könntest die Aufgabe durch Probieren lösen.
Ich probiere mal:
[mm] 1*\vec{a}+ 2*(\vec{a}+\vec{b})+ 3*(\vec{a}-\vec{b})
[/mm]
[mm] =1*\vec{a}+2*\vec{b}+2*\vec{a}+3*\vec{a}-3*\vec{b}
[/mm]
[mm] =-\vec{b}
[/mm]
Das war also noch nicht ganz so, wie es sein soll.
Man kann aber eine Lösung auch ausrechnen:
gesucht sind Zahlen r,s,t, die nicht alle 0 sind, und für welche gilt
[mm] r*\vec{a}+ s*(\vec{a}+\vec{b})+ t*(\vec{a}-\vec{b})=\overrightarrow{0}.
[/mm]
Schreibe diese Gleichung als
[mm] (...)*\vec{a}+(...)*\vec{b}=\overrightarrow{0},
[/mm]
und überlege, wie Du die Klammern so machen kannst, daß auf der anderen Seite garantiert der Nullvektor herauskommt.
LG Angela
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> Mit konkreten Zahlen, habe ich auch kein Problem, aber
> sobald man etwas allgemein beweisen soll, komm ich nicht
> mehr weiter.
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> Ich danke schon mal allen!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Angela,
erstmal danke für deine schnelle Antwort!
Wie kann ich aus der ersten Gleichung in die zweite kommen?
Und dann komm ich einfach nicht drauf, mit welcher Zahl man das multiplizieren könnte, um auf den Nullvektor zu kommen...
Ganz liebe Grüße!
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Hallo Idefix,
> Wie kann ich aus der ersten Gleichung in die zweite
> kommen?
> Und dann komm ich einfach nicht drauf, mit welcher Zahl
> man das multiplizieren könnte, um auf den Nullvektor zu
> kommen...
>
> Ganz liebe Grüße!
Na, das ist ein lineares Gleichungssystem. Sowas kannst Du schon seit der Mittelstufe lösen.
Wenn man einen Moment drüber nachdenkt, wird man erwarten, dass das Gleichungssystem nicht vollständig bestimmt ist, die Lösung also mindestens einen Parameter beinhaltet.
Letzter Tipp: [mm] (\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}-\vec{b})=2\vec{a}
[/mm]
Grüße
reverend
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heißt das dann, wenn ich sage:
a-b=2*a-1*(a+b)
dann habe ich die lineare Abhängigkeit nachgewiesen, da man (a-b) aus einer Linearkombination aus a und (a+b) darstellen kann?
Grüße
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> heißt das dann, wenn ich sage:
>
> a-b=2*a-1*(a+b)
>
> dann habe ich die lineare Abhängigkeit nachgewiesen, da
> man (a-b) aus einer Linearkombination aus a und (a+b)
> darstellen kann?
Hallo,
ja.
LG Angela
>
> Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mi 06.11.2013 | | Autor: | abakus |
> heißt das dann, wenn ich sage:
>
> a-b=2*a-1*(a+b)
>
> dann habe ich die lineare Abhängigkeit nachgewiesen, da
> man (a-b) aus einer Linearkombination aus a und (a+b)
> darstellen kann?
>
> Grüße
Hallo,
das ist zwar richtig, aber eine Ecke zu umständlich.
Aus Angelas Tipp $ [mm] (\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}-\vec{b})=2\vec{a} [/mm] $ folgt noch naheliegender
$ [mm] 0,5(\vec{a}+\vec{b})+0,5(\vec{a}-\vec{b})=\vec{a} [/mm] $, womit [mm] du $\vec{a} [/mm] $ sofort als Linearkombination der anderen beiden hast.
Gruß Abakus
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