Lineare Abhängigkeit bestimmen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle a [mm] \in \IR, [/mm] für die die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ a \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ a}, \vektor{1 \\ -1 \\ 2a \\ 0} [/mm] des [mm] \IR^4 [/mm] linear abhängig sind. |
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Hi,
hier mal mein bisheriger Lösungsansatz:
Vektoren sind linear abhängig wenn sich einer als Linearkombination der anderen darstellen lässt.
Also:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ a \\ 1} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ a} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2a \\ 0}
[/mm]
Daraus lässt sich das folgende Gleichungssystem erstellen:
[mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] = 1
[mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu [/mm] = 0
2a * [mm] \mu [/mm] = a
a * [mm] \lambda [/mm] = 1
Wenn ich jetzt die ersten beiden Addiere erhalte ich folgendes:
[mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] = 1
[mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu [/mm] = 0
2 [mm] \lambda [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Setze ich dies nun in die letzte Gleichung ein erhalte ich:
1 = a * [mm] \bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] a=2
Setzte ich dies jetzt noch zu Kontrolle in die 3 Gleichung ein erhalte ich für [mm] \mu [/mm] einen Wert von [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Ich gehe mal davon aus, dass ich eine Lösung gefunden habe.
Aber gibt es wirklich nur eine oder habe ich einen Denkfehler.
Schon mal vielen Dank für eure Antworten !
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 So 18.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Ja.
Es gibt nur diesen einen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo master200,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ich muss da etwas widersprechen! Zum einen solltest Du die Lineare Abhängigkeit über folgenden Ansatz zeigen:
[mm] $$\kappa*\vektor{1 \\ 0 \\ a \\ 1}+\lambda*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ a}+\mu*\vektor{1 \\ -1 \\ 2a \\ 0} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0\\0\\0\\0}$$
[/mm]
Und mal als Gegenfrage: betrachte doch mal den Sonderfall $a \ = \ 0$ . Was erhältst Du?
Gruß
Loddar
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