Lineare Abhängigkeit v. Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 So 04.12.2011 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | | Prüfe ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind |
[mm] E1:X=\vektor{3 \\ 6 \\ 9}+r\vektor{9 \\ 18 \\ 27}+s\vektor{6 \\ 12 \\ 18}
[/mm]
[mm] E2:X=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+t\vektor{2 \\ 4 \\ 6}+u\vektor{4 \\ 8 \\ 12}
[/mm]
[mm] \vektor{9 \\ 18 \\ 27}=t\vektor{2 \\ 4 \\ 6}+u\vektor{4 \\ 8 \\ 12}
[/mm]
I 9=2t+4u
II 18=4t+8u
III 27=6t+12u
Ich bekomme das Gleichungssystem nicht gelöst.
Es kommt immer 0=0 raus.
Was habe ich falsch gemacht?
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Hallo Coxy,
> Prüfe ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind
> [mm]E1:X=\vektor{3 \\ 6 \\ 9}+r\vektor{9 \\ 18 \\ 27}+s\vektor{6 \\ 12 \\ 18}[/mm]
>
> [mm]E2:X=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+t\vektor{2 \\ 4 \\ 6}+u\vektor{4 \\ 8 \\ 12}[/mm]
>
> [mm]\vektor{9 \\ 18 \\ 27}=t\vektor{2 \\ 4 \\ 6}+u\vektor{4 \\ 8 \\ 12}[/mm]
>
> I 9=2t+4u
> II 18=4t+8u
> III 27=6t+12u
>
> Ich bekomme das Gleichungssystem nicht gelöst.
> Es kommt immer 0=0 raus.
> Was habe ich falsch gemacht?
Nichts.
Zu prüfen sind doch, ob die Richtungsvektoren der Ebenen linear
abhängig sind, d.h. ob es geeignete Zahlen [mm]\lambda, \mu \in \IR[/mm] gibt, so daß
[mm]\pmat{9 \\ 18 \\27}=\lambda*\pmat{6 \\ 12 \\ 18}[/mm]
[mm]\pmat{2 \\ 4 \\ 6}=\mu*\pmat{4 \\ 8 \\ 12}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 So 04.12.2011 | | Autor: | Coxy |
ich soll aber überprüfen ob die Richtungsvektoren von einer Ebene linear abhängig sind von den Richtungsvektoren der anderen Ebene.
d.h ob ->u1 linear abhängig von->u2 und ->v2 UND
ob ->v1 linear abhängig von ->u2 und ->v2 ist.
Deine Gleichung bezieht sich ja immer nur auf eine einzelne Ebene.
freundliche Grüße
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Hallo Coxy,
> ich soll aber überprüfen ob die Richtungsvektoren von
> einer Ebene linear abhängig sind von den Richtungsvektoren
> der anderen Ebene.
> d.h ob ->u1 linear abhängig von->u2 und ->v2 UND
> ob ->v1 linear abhängig von ->u2 und ->v2 ist.
> Deine Gleichung bezieht sich ja immer nur auf eine
> einzelne Ebene.
Das stimmt.
Es ist aber zu prüfen, ob die Ebenen [mm]E_{1}, \ E_{2}[/mm] wirklich Ebenen sind.
Eine Ebene im [mm]\IR^{3}[/mm] besitzt 2 linear unabhängige Richtungsvektoren.
Sind die Richtungsvektoren linear abhängig, so handelt es sich
um eine Gerade.
Außerdem erleichtert das dann die weiteren Rechenschritte.
> freundliche Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 04.12.2011 | | Autor: | Coxy |
Achso,
Sie meinen also da die Richtungsvektoren linear abhängig sind können sie keine Ebene aufspannen und deshalb war mein weiter rechnen zum scheitern verurteilt.
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Hallo Coxy,
> Achso,
> Sie meinen also da die Richtungsvektoren linear abhängig
Wir sind hier alle per "Du".
> sind können sie keine Ebene aufspannen und deshalb war
> mein weiter rechnen zum scheitern verurteilt.
Nein, Du hast 3 Gleichungen, die sich auf eine reduzieren lassen.
D.h: ein Richtungsvektor der Ebene [mm]E_{1}[/mm] läßt sich als
Linearkombination der Richtungsvektoren der Ebene [mm]E_{2}[/mm] darstellen,
diese ist aber nicht eindeutig.
Gruss
MathePower
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