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Hallo an alle Mathe-Könner!
Hier meine Aufgabe, die ich leider nicht lösen konnte:
Ein Haus mit aufgesetztem Dach ist am Boden durch die Punkte
B1 (0 / 0 / 0) B2 (10 / 0 / 0) B3 (10 / 12 / 0) und B4 (0 / 12 / 0)
und am Fußboden des Dachbodens durch die Punkte
S1 (0 / 0 / 10) S2 (10 / 0 / 10) S3 (10 / 12 / 10) und S4 (0 / 12 / 10) festgelegt.
Den Dachabschluss bilden die Punkte
D1 (2 / 3 / 12) D2 (6 / 3 / 12) D3 (6 / 9 / 12) und D4 (2 / 9 / 12).
a) Berechne die Größe der Dachfläche S2S3D3D2.
b) Im Punkt A (9 / 5 / 10) wird ein 6 m langer Antennenmast senkrecht aufgerichtet, welcher das Dach durchstößt. Wie weit ragt der Mast ins Freie?
Ich habe für den Teil a) leider gar keine Idee, wie man diese Aufgabe berechnet. Bei b) habe ich eine Lotgerade zur Ebene S2S3S4 durch den Punkt A aufgestellt und habe dann den Durchstoßpunkt der Lotgerade durch die Ebene D2D3D4 berechnet, dann habe ich die Länge von A bis zum Durchstoßpunkt berechnet und diese Länge von den 6 LE des Mastes abgezogen, aber ich bin nie auf ein logisches Ergebnis gekommen, meine Endzahl war immer größer als der gesamte Mast. Ist denn mein Ansatz überhaupt richtig? Was habe ich falsch gemacht? Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen!
Vielen Dank im Voraus!
Maren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo Maren!
Zuerst zu Aufgabe a)
Gesucht ist der Flächeninhalt der Dachfäche [mm] S_{2}S_{3}D_{3}D_{2}.
[/mm]
Es ist leicht einzusehen, dass diese Dachfläche die Form eines Trapezes hat. (Eine Zeichnung des Hauses hilft hier wenns mit der Vorstellung nicht so klappt und höchstens ein paar Minuten!!!)
Der Flächeninhalt eines Trapezes berechnet sich allgemein zu
A = [mm] \bruch{a+b}{2}*h. [/mm] (1) (Das ist denke ich klar  )
a und b unseres Trapezes lassen sich leicht berechnen:
a = [mm] |\overrightarrow{S_{2}S_{3}}| [/mm] und analog
b = [mm] |\overrightarrow{D_{2}D_{3}}|.
[/mm]
Ist das klar soweit? [mm] |\overrightarrow{S_{2}S_{3}}| [/mm] und [mm] |\overrightarrow{D_{2}D_{3}}| [/mm] meint hierbei die Beträge der freien Vektoren.
Ein kleines Problem ist die Bestimmung der Höhe in unserem Trapez. Aber eins, dass sich lössen lässt! 
Ein möglicher Weg (der ohne die Verwendung des Skalarproduktes auskommt nur aus trigonometrischen Beziehungen herrührt) wäre der folgende:
Man berechnet etwa den freien Vektor [mm] \overrightarrow{S_{2}D_{2}} [/mm] und seinen Betrag.
Dann dividiert man die Differenz a-b durch 2 und nun sei [mm] \bruch{a-b}{2}:=x. [/mm]
Dann erhält man h aus [mm] h^{2}=|\overrightarrow{S_{2}D_{2}}|^{2}-x^{2}. [/mm] (Wiederum hilft es diese Erklärung schritt für Schritt an einer genauen Skizze nachzuvollziehen!)
Nun lässt sich der Flächeninhalt gemäß Formel (1) berechnen.
Nun zu Aufgabe b)
Also deine Idee mit der Geraden senkrecht zur Ebene, welche [mm] S_{1}, S_{2} [/mm] und [mm] S_{3} [/mm] enthält ist richtig. Nur eben durchstößt der Antennenmast nicht die Ebene die du angibst, sondern jene, von welcher wir eben die Größe ausgerechnet haben.
Also, ganz langsam:
Mit Hilfe des Punktes A und eines Vektors parallel zur [mm] x_{3}-Achse [/mm] (am einfachsten mit dem Einheitsvektor u = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] lässt sich eine Gerade senkrecht zum "Dachboden" aufstellen.
Nun musst du einen Gleichung für die Ebene aus a) finden (das dürfte keine Schwierigkeiten machen) und den Durchstoßpunkt Q mit dieser Ebene berechnen.
Wenn du dann den Abstand d(A;Q) berechnest und von 6m subtrahierst, erhälst du die Länge die der Mast ins freie ragt.
Also, alles klar dann soweit? Nochmal sauber drübernachdenken und dann ist das gar nicht so schwer!
Viel Spaß noch!
Vlg, Kübi
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