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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Fr 24.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
| Aufgabe | a)
Geben Sie die Ebenengleichung der von den Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
aufgespannten dreidimensionalen Ebene H im [mm] R^{4} [/mm] in der Hesse-Normalform an.
b)
Dann soll der Abstand von [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}
[/mm]
zu H und der Winkel zwischen [mm] \vec{x} [/mm] und der normalen von H berechnet werden. |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hier der Ansatz zu a):
Hab die Punkte erst mal mit a,b,c bezeichnet.
[mm] a=\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1};b=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1};c=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Dann schaut die Ebene so aus:
E: [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}= \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ 1 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
Die Richtungsvektoren hab ich durch:
[mm] \lambda(b-a)
[/mm]
[mm] \mu(c-a)
[/mm]
Nun der normalenvektor, der ja senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht.
[mm] n=\vektor{n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \\ n_{4}}
[/mm]
Skalar mit beiden Richtungsvektoren multipliziert ergibt folgendes Gleichungssystem.
[mm] n_{2}-n_{3}=0
[/mm]
[mm] n_{2}-n_{3}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow n_{2}=n_{3}=n_{4}
[/mm]
folgt daraus nun, dass [mm] n_{1}=0 [/mm] ist?
Der normalen Vektor wäre ja dann:
[mm] n=\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ?
[mm] \Rightarrow [/mm] E: [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} \odot (\vec{x}-\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1})=0
[/mm]
Bei der Hesse Form müsste ich jetzt theoretisch nur noch [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] vor meinen Normalenvektor stellen?
Ist das richtig soweit?
gruß
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> a)
> Geben Sie die Ebenengleichung der von den Vektoren
> [mm]\vektor{1 \\
0 \\
1 \\
1};\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
1};\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
0}[/mm]
>
> aufgespannten dreidimensionalen Ebene H im [mm]R^{4}[/mm] in der
> Hesse-Normalform an.
Hallo,
ist das die Originalformulierung von Deinem Aufgabenblatt?
>
> b)
> Dann soll der Abstand von [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\
2 \\
3 \\
4}[/mm]
>
> zu H und der Winkel zwischen [mm]\vec{x}[/mm] und der normalen von H
> berechnet werden.
>
> Hier der Ansatz zu a):
> Hab die Punkte erst mal mit a,b,c bezeichnet.
Punkte haben wir hier ja gar nicht.
Wir sind im [mm] \IR^4, [/mm] und es sind Dir drei Vektoren a,b,c gegeben, die eine dreidimensionale (=(4-1)-dimensionale) Ebene aufspannen.
>
> [mm]a=\vektor{1 \\
0 \\
1 \\
1};b=\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
1};c=\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
0}[/mm]
>
> Dann schaut die Ebene so aus:
> E: [mm]\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}}= \vektor{1 \\
0 \\
1 \\
1}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{0 \\
1 \\
-1 \\
0}[/mm] + [mm]\mu \vektor{0 \\
1 \\
0 \\
-1}[/mm]
Dieses Gebilde ist nicht dreidimensional!
Es ist ein zweidimensionaler affiner Unterraum des [mm] \IR^4.
[/mm]
Du sollst Dich hingegen mit [mm] H=span($\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}$) [/mm] beschäftigen.
"Span" ist das dasselbe wie "lineare Hülle" oder "Erzeugnis".
Gruß v. Angela
>
> Die Richtungsvektoren hab ich durch:
>
> [mm]\lambda(b-a)[/mm]
> [mm]\mu(c-a)[/mm]
>
> Nun der normalenvektor, der ja senkrecht auf beiden
> Richtungsvektoren steht.
>
> [mm]n=\vektor{n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3} \\
n_{4}}[/mm]
>
> Skalar mit beiden Richtungsvektoren multipliziert ergibt
> folgendes Gleichungssystem.
>
> [mm]n_{2}-n_{3}=0[/mm]
> [mm]n_{2}-n_{3}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow n_{2}=n_{3}=n_{4}[/mm]
>
> folgt daraus nun, dass [mm]n_{1}=0[/mm] ist?
>
> Der normalen Vektor wäre ja dann:
>
> [mm]n=\vektor{0 \\
1 \\
1 \\
1}[/mm] ?
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] E: [mm]\vektor{0 \\
1 \\
1 \\
1} \odot (\vec{x}-\vektor{1 \\
0 \\
1 \\
1})=0[/mm]
>
> Bei der Hesse Form müsste ich jetzt theoretisch nur noch
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm] vor meinen Normalenvektor stellen?
>
> Ist das richtig soweit?
>
>
>
> gruß
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Fr 24.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
Hallo!
> Du sollst Dich hingegen mit H=span([mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1};\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm])
> beschäftigen.
>
> "Span" ist das dasselbe wie "lineare Hülle" oder
> "Erzeugnis".
Ok. Betrachte ich das als Span.
Den Untervektorraum kann ich dann durch das Skalarprodukt beschreiben, wenn ich ein entsprechendes "j" finde
Mit x [mm] \in \IR^{n}
[/mm]
[mm] <\vec{x},\vec{j}>=0
[/mm]
Mit den drei vorgegebenen Vektoren erhalte ich dann folgendes Gleichungssystem:
[mm] j_{1}+j_{3}+j_{4}=0
[/mm]
[mm] j_{1}+j_{2}+j_{4}=0
[/mm]
[mm] j_{1}+j_{2}+j_{3}=0
[/mm]
Ist die Normale dann etwa j= [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ -1 \\ -1}?
[/mm]
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> > H=span([mm]\vektor{1 \\
0 \\
1 \\
1};\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
1};\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
0}[/mm])
> Ist die Normale dann etwa j= [mm]\vektor{2 \\
-1 \\
-1 \\
-1}?[/mm]
Hallo,
ja, das ist ein Normalenvektor von H.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Sa 25.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
Hallo!
>j= [mm]\vektor{2 \\
-1 \\
-1 \\
-1}?[/mm]
>
> Hallo,
>
> ja, das ist ein Normalenvektor von H.
>
Gut.
Nun muss ich diesen normalisieren in der Form:
[mm] j_{n}=\bruch{1}{|j|}*j [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{7}}*\vektor{2 \\ -1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
<x,j>=0 beschreibt dann meine Ebene?
Also E: [mm] \bruch{2}{\wurzel{7}}*x_{1}-\bruch{1}{\wurzel{7}}*x_{2}-\bruch{1}{\wurzel{7}}*x_{3}-\bruch{1}{\wurzel{7}}*x_{4}
[/mm]
Zu b)
Der Abstand ist dann |<c,x>| =| [mm] \bruch{1}{\wurzel{7}}*(2-2-3-4)| [/mm] = [mm] \wurzel{7}
[/mm]
Der Winkel: [mm] cos(\alpha)=\bruch{\wurzel{7}}{\wurzel{30}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha=61°
[/mm]
Passt das dann so?
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> Hallo!
>
> >j= [mm]\vektor{2 \\
-1 \\
-1 \\
-1}?[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > ja, das ist ein Normalenvektor von H.
> >
>
>
> Gut.
>
> Nun muss ich diesen normalisieren in der Form:
>
> [mm]j_{n}=\bruch{1}{|j|}*j[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{7}}*\vektor{2 \\
-1 \\
-1 \\
-1}[/mm]
>
> <x,j>=0 beschreibt dann meine Ebene?
>
> Also E:
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{7}}*x_{1}-\bruch{1}{\wurzel{7}}*x_{2}-\bruch{1}{\wurzel{7}}*x_{3}-\bruch{1}{\wurzel{7}}*x_{4}[/mm][mm] \red{=0}
[/mm]
Hallo,
ja.
>
>
> Zu b)
>
> Der Abstand ist dann |<c,x>| =|
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{7}}*(2-2-3-4)|[/mm] = [mm]\wurzel{7}[/mm]
Ja.
>
> Der Winkel: [mm]cos(\alpha)=\red{-}\bruch{\wurzel{7}}{\wurzel{30}}[/mm]
Das Minuszeichen ändert dann den Winkel.
Gruß v. Angela
</c,x></x,j>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Sa 25.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
Danke für die Hilfe!
gruß
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