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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die symetrischen Differenz A [mm] \Delta [/mm] B = (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A) die folgenden Eigenschaften hat:
-> A [mm] \Delta [/mm] B = B [mm] \Delta [/mm] A für alle A, B [mm] \subseteq [/mm] X.
-> (A [mm] \Delta [/mm] B) [mm] \Delta [/mm] C = [mm] A\Delta(B \Delta [/mm] C) für alle A, B, C [mm] \subseteq [/mm] X.
-> A [mm] \Delta \emptyset [/mm] = A für alle A [mm] \subseteq [/mm] X.
-> A [mm] \Delta [/mm] A = [mm] \emptyset [/mm] für alle A [mm] \subseteq [/mm] X. |
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Für die erste Aufgabe:
x [mm] \in [/mm] A x [mm] \in [/mm] B
x [mm] \in [/mm] A x [mm] \not\in [/mm] B
x [mm] \not\in [/mm] A x [mm] \in [/mm] B
x [mm] \not\in [/mm] A x [mm] \not\in [/mm] B
Für die erste Aufgabe:
Kann ich jetzt mit der Fallunterscheidung beweisen?
Wenn ja ist mein Ansatz so richtig?
mfg
holy-toaster
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> Beweisen Sie, dass die symetrischen Differenz A [mm]\Delta[/mm] B =
> (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A) die folgenden Eigenschaften hat:
>
> -> A [mm]\Delta[/mm] B = B [mm]\Delta[/mm] A für alle A, B [mm]\subseteq[/mm] X.
> -> (A [mm]\Delta[/mm] B) [mm]\Delta[/mm] C = [mm]A\Delta(B \Delta[/mm] C) für alle A,
> B, C [mm]\subseteq[/mm] X.
> -> A [mm]\Delta \emptyset[/mm] = A für alle A [mm]\subseteq[/mm] X.
> -> A [mm]\Delta[/mm] A = [mm]\emptyset[/mm] für alle A [mm]\subseteq[/mm] X.
Hallo holy-toaster,
vorweg ein paar Kleinigkeiten, wenn sie Dir schon klar sind, umso besser.
Wie zeigt man die Gleichheit von Mengen, also M=N?
Man zeigt hierzu, daß jede Teilmenge der anderen ist, also
1.M [mm] \subset [/mm] N und
2.N [mm] \subset [/mm] M.
Wie zeigt man eine Teilmengenbeziehung P [mm] \subset [/mm] Q ?
Man muß zeigen, daß jedes Element von P auch in Q liegt.
Diese Dinge brauchst Du für Deine Aufgaben.
Ich will nicht ausschließen, daß Du mit Deinen Fallunterscheidungen mit genügend Geschick auch zum Ziel kommst, sie sind aber weder "klassisch" noch praktisch. Schau Dir z.B. den Fall x $ [mm] \in [/mm] $ A x $ [mm] \in [/mm] $ B an. Dieses x ist ja gar nicht in der symmetrischen Differenz. Man macht sich somit überflüssige Gedanken.
Knöpfen wir uns
A [mm]\Delta[/mm] B = B [mm]\Delta[/mm] A für alle A, B [mm]\subseteq[/mm] X
vor.
Seien also A,B[mm]\subseteq[/mm] X.
Zu zeigen ist
1. A [mm]\Delta[/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B [mm]\Delta[/mm] A
und
2. B [mm]\Delta[/mm] A [mm] \subseteq [/mm] A [mm]\Delta[/mm] B
zu 1. Sei x [mm] \in [/mm] A [mm]\Delta[/mm] B
==> x [mm] \in [/mm] (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A) nach Def. der symm.Diff.
==> x [mm] \in [/mm] (A \ B) oder x [mm] \in [/mm] (B \ A) nach Def. der Vereinigung
==> x [mm] \in [/mm] (B \ A) oder x [mm] \in [/mm] (A \ B)
==> x [mm] \in [/mm] ...
==> ...
Also ist A [mm]\Delta[/mm] B [mm] \subseteq [/mm] ...
Ich hoffe, daß Du mit dieser Anleitung zum Ziel kommst.
Gruß v. Angela
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