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| Aufgabe | Man löse das Anfangswertproblem:
[mm] \vektor{x_1'(t) \\ x_2'(t)}=\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 3 }\vektor{x_1(t) \\ x_2(t)}
[/mm]
[mm] \vektor{x_1(0) \\ x_2(0)}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] |
Hallo zusammen. Ich habe eine allgemeine Frage zum bestimmen einer Lösung von linearen homogenen Systemen. Als Beispiel eine Aufgabe (s.o.).
Eine Lösung bestimmt man ja mit [mm] \vec{x(t)}=e^{At}*\vec{x_0} [/mm] mit einem Startwert [mm] \vec{x_0}. [/mm] Jetzt habe ich als alternativen Lösungsweg in einem Beispiel gesehen, dass man den Startwert [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] auch in eine Linearkombination von Eigenvektoren [mm] v_1, v_2 [/mm] von A zerlegen kann und die Lösung dann diese ist:
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 3 }
[/mm]
Eigenwerte: [mm] \lambda_1=-1 [/mm] und [mm] \lambda_2=5
[/mm]
Eigenvektoren: [mm] v_1=\vektor{1 \\ -1} [/mm] zu [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] v_2=\vektor{1 \\ 2} [/mm] zu [mm] \lambda_2
[/mm]
Anfangswert in linearkombination der Ev zerlegen:
[mm] \vektor{1 \\ 1}=\bruch{1}{3}\vektor{1 \\ -1}+\bruch{2}{3}\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Dann ist die Lösung des AWP:
[mm] \vec{x(t)}=\bruch{1}{3}e^{\lambda_1*t}*v_1+\bruch{2}{3}e^{\lambda_2*t}*v_2=\bruch{1}{3}e^{-t}\vektor{1 \\ -1}+\bruch{2}{3}e^{5t}\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Leider wurde das nur bei einem Beispiel erwähnt, ganz ohne Erläuterung. Wieso funktioniert das so auch? Und was ist, wenn ich z.B. einen doppelten Eigenwert habe?
Gruß, kulli
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Hallo kullinarisch,
> Man löse das Anfangswertproblem:
>
> [mm]\vektor{x_1'(t) \\ x_2'(t)}=\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 3 }\vektor{x_1(t) \\ x_2(t)}[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_1'(0) \\ x_2'(0)}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
Hier soll doch wohl
[mm]\vektor{x_1(0) \\ x_2(0)}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
gemeint sein.
> Hallo
> zusammen. Ich habe eine allgemeine Frage zum bestimmen
> einer Lösung von linearen homogenen Systemen. Als Beispiel
> eine Aufgabe (s.o.).
>
> Eine Lösung bestimmt man ja mit
> [mm]\vec{x(t)}=e^{At}*\vec{x_0}[/mm] mit einem Startwert [mm]\vec{x_0}.[/mm]
> Jetzt habe ich als alternativen Lösungsweg in einem
> Beispiel gesehen, dass man den Startwert [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> auch in eine Linearkombination von Eigenvektoren [mm]v_1, v_2[/mm]
> von A zerlegen kann und die Lösung dann diese ist:
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 3 }[/mm]
>
> Eigenwerte: [mm]\lambda_1=-1[/mm] und [mm]\lambda_2=5[/mm]
>
> Eigenvektoren: [mm]v_1=\vektor{1 \\ -1}[/mm] zu [mm]\lambda_1[/mm] und
> [mm]v_2=\vektor{1 \\ 2}[/mm] zu [mm]\lambda_2[/mm]
>
> Anfangswert in linearkombination der Ev zerlegen:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1}=\bruch{1}{3}\vektor{1 \\ -1}+\bruch{2}{3}\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> Dann ist die Lösung des AWP:
>
> [mm]\vec{x(t)}=\bruch{1}{3}e^{\lambda_1*t}*v_1+\bruch{2}{3}e^{\lambda_2*t}*v_2=\bruch{1}{3}e^{-t}\vektor{1 \\ -1}+\bruch{2}{3}e^{5t}\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> Leider wurde das nur bei einem Beispiel erwähnt, ganz ohne
> Erläuterung. Wieso funktioniert das so auch? Und was ist,
Weil der Anfangswert für t=0 gegeben ist und
[mm]e^{\lambda_1*0}=e^{\lambda_2*0}=1[/mm]
> wenn ich z.B. einen doppelten Eigenwert habe?
>
Das kommt dann darauf an, ob sich 2 Eigenvektoren
zu diesem doppelten Eigenwert finden lassen oder nicht.
> Gruß, kulli
Gruss
MathePower
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Hallo! Okay das macht Sinn, danke.
Den Anfangswert habe ich auch korrigiert, war nur ein Tippfehler.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Mi 06.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Man löse das Anfangswertproblem:
>
> [mm]\vektor{x_1'(t) \\ x_2'(t)}=\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 3 }\vektor{x_1(t) \\ x_2(t)}[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_1'(0) \\ x_2'(0)}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> Hallo
> zusammen. Ich habe eine allgemeine Frage zum bestimmen
> einer Lösung von linearen homogenen Systemen. Als Beispiel
> eine Aufgabe (s.o.).
>
> Eine Lösung bestimmt man ja mit
> [mm]\vec{x(t)}=e^{At}*\vec{x_0}[/mm] mit einem Startwert [mm]\vec{x_0}.[/mm]
> Jetzt habe ich als alternativen Lösungsweg in einem
> Beispiel gesehen, dass man den Startwert [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> auch in eine Linearkombination von Eigenvektoren [mm]v_1, v_2[/mm]
> von A zerlegen kann und die Lösung dann diese ist:
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 3 }[/mm]
>
> Eigenwerte: [mm]\lambda_1=-1[/mm] und [mm]\lambda_2=5[/mm]
>
> Eigenvektoren: [mm]v_1=\vektor{1 \\ -1}[/mm] zu [mm]\lambda_1[/mm] und
> [mm]v_2=\vektor{1 \\ 2}[/mm] zu [mm]\lambda_2[/mm]
>
> Anfangswert in linearkombination der Ev zerlegen:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1}=\bruch{1}{3}\vektor{1 \\ -1}+\bruch{2}{3}\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> Dann ist die Lösung des AWP:
>
> [mm]\vec{x(t)}=\bruch{1}{3}e^{\lambda_1*t}*v_1+\bruch{2}{3}e^{\lambda_2*t}*v_2=\bruch{1}{3}e^{-t}\vektor{1 \\ -1}+\bruch{2}{3}e^{5t}\vektor{1 \\ 2}[/mm]
?????
Diese Lösung erfüllt
$ [mm] \vektor{x_1(0) \\ x_2(0)}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] $
aber nicht
$ [mm] \vektor{x_1'(0) \\ x_2'(0)}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] $
!!!
FRED
>
> Leider wurde das nur bei einem Beispiel erwähnt, ganz ohne
> Erläuterung. Wieso funktioniert das so auch? Und was ist,
> wenn ich z.B. einen doppelten Eigenwert habe?
>
> Gruß, kulli
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