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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lineare DGL mit konst. Koeff.
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Lineare DGL mit konst. Koeff.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mo 01.02.2010
Autor: seamus321

Aufgabe
Lösen Sie die DGL:

[mm] x^{(3)}-7x^{(2)}+19x^{(1)}-13x=13t^{3}+57t^{2}+10t+70 [/mm]

Hallo Leute, ich habe ein paar Probleme mit dieser DGL da  das charakteristische Polynom der homogenen DGL komplexe Eigenwerte hat.

Hier meine Überlegungen:
Zuerst will ich die Homogene Lsg der Dgl bestimmen also
[mm] x^{(3)}-7x^{(2)}+19x^{(1)}-13x=0 [/mm]
Das Charakteristicsche Ploynom [mm] ist=\lambda^{3}-7\lambda^{2}+19\lambda-13=(\lambda-1)(\lambda^{2}-6\lambda+13) [/mm]

also Nullstellen bzw. Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1}=1 \lambda_{2}=3+2i \lambda_{2}=3-2i [/mm]  

Nun weis ich nicht genau wie meine allgemeine Lösung der homogenen Dgl lautet.

Ich hätte gedacht: x(t)= [mm] ae^{t}+be^{t}sin(2t) +ce^{t}cos(2t) [/mm] wobei a, b und c Polynome vom Grad 0 sind. Ist das erstmal bis hierhin so so richtig?

Viele Grüße, Seamus



        
Bezug
Lineare DGL mit konst. Koeff.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Mo 01.02.2010
Autor: leduart

Hallo
beinahe:
nicht x(t)= $ [mm] ae^{t}+be^{t}sin(2t) +ce^{t}cos(2t) [/mm] $
sondern x(t)= $ [mm] ae^{t}+be^{3t}sin(2t) +ce^{3t}cos(2t) [/mm] $
Gruss leduart

Bezug
        
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Lineare DGL mit konst. Koeff.: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:11 Di 02.02.2010
Autor: seamus321

Ok, danke erstmal für die kleine Korrektur! So hatte ich es sogar auf mein Zettel stehen... ;-)

Nun ja, da ich nun die homogene Lösung weis, aber die inhomogene berechnen will geht es nun weiter...

Der nächste Schritt bei dem Verfahren,aus mein Skriptunterlagen,wäre nun mittels Variation der Konstanten a(t), b(t) und c(t). Dazu soll ich nun ein lineares Gleichungssystem erster Ordnung zur Hilfe nehmen welchen bei mir dann so aussehen sollte:

I...  [mm] a'(t)e^{t}+b'(t)e^{3t}sin(2t)+c'(t)e^{3t}cos(2t)=0 [/mm]
II... [mm] a'(t)e^{t}+b'(t)[3e^{3t}sin(2t)+2e^{3t}cos(2t)]+c'(t)[3e^{3t}cos(2t)-2e^{3t}sin(2t)=0 [/mm]
III... [mm] a'(t)e^{t}+b'(t)[9e^{3t}sin(2t)+6e^{3t}cos(2t)+6e^{3t}cos(2t)-4e^{3t}sin(2t)]+c'(t)[9e^{3t}cos(2t)-6e^{3t}sin(2t)-6e^{3t}sin(2t)+4e^{3t}cos(2t)]=13t^{3}-57t^{2}+10t+70 [/mm]

dieses System hat, wenn ich das richtig verstanden habe, die Form der Wromski Matrix wobei die letzte Zeile des systems den inhomogenen Anteil gleich gesetzt wird, und die anderen Zeilen null gesetzt werden.

soo, erstmal wäre wieder für mich interessant ob das so richtig ist und wenn ja, wie man das System löst weil ich finde einfach keinen Ansatz dieses Monster zu lösen -.-

Viele liebe Grüße, Seamus

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Lineare DGL mit konst. Koeff.: edit: ggf. andere DGL?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:45 Di 02.02.2010
Autor: Herby

Hallo,

warum nimmst du nicht als Ansatz für deine Störfunktion: [mm] y_p=At^3+Bt^2+Ct+D [/mm]

Dreimal differenzieren, einsetzen, Koeffizientenvergleich.


LG
Herby

ps: hab's nicht ausprobiert :-) - kann es ggf. sein, dass da irgendeine Zahl in der Aufgabe anders lauten sollte?

Bezug
                        
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Lineare DGL mit konst. Koeff.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Di 02.02.2010
Autor: seamus321

Diese Methode ist mir leider nicht aus der Vorlesung bekannt aber ich würde mich freuen wenn du sie mir näher erläutern könntest!

hier die Ableitungen der Störfunktion (was auch immer das sein mag)

[mm] y_{p}=At^{3}+Bt^{2}+Ct+D [/mm]
[mm] y_{p}'=3At^{2}+2Bt+C [/mm]
[mm] y_{p}''=6At^+2B [/mm]
[mm] y_{p}'''=6A [/mm]

mit was vergleiche ich denn nun die Koeffizienten? mit den inhomogenen Anteil oder womit?

Grüße, Seamus

Bezug
                                
Bezug
Lineare DGL mit konst. Koeff.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Di 02.02.2010
Autor: Herby

Hi,

> Diese Methode ist mir leider nicht aus der Vorlesung
> bekannt aber ich würde mich freuen wenn du sie mir näher
> erläutern könntest!
>  
> hier die Ableitungen der Störfunktion (was auch immer das
> sein mag)
>  
> [mm] y_{p}=At^{3}+Bt^{2}+Ct+D[/mm] [/mm]
> [mm] y_{p}'=3At^{2}+2Bt+C [/mm]
> [mm] y_{p}''=6At+2B [/mm]
> [mm] y_{p}'''=6A [/mm]
>  
> mit was vergleiche ich denn nun die Koeffizienten? mit den
> inhomogenen Anteil oder womit?

ja, du musst halt das noch in deine DGL einsetzen:

[mm] 6A-7*(6At+2B)+19*(3At^2+2Bt+C)-......=13t^3+57t^2+.... [/mm]

und anschließend links nach Potenzen umsortieren und dann beide Seiten vergleichen - allerdings möcht' ich immer noch behaupten, dass wenigstens ein Vorzeichen anders lauten müsste :-)

LG
Herby

Bezug
                                        
Bezug
Lineare DGL mit konst. Koeff.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 Di 02.02.2010
Autor: seamus321

Du hast Recht! wie ich diese Tippfehler hasse -.- es müsste [mm] -57t^{2} [/mm] heißen...

Vielen Dank für die schnelle Hilfe! Ich weis zwar noch nicht genau wieso ich das so lösen darf aber das werde ich mir noch "erGooglen"...

Damit ist eigentlich alles geklärt!

Viele Liebe Grüße und vielen Dank, Seamus

Bezug
                                                
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Lineare DGL mit konst. Koeff.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:34 Di 02.02.2010
Autor: leduart

Da du nur irgend eine partikuläre Lösung suchst, ist es egal, wie du sie findest, durch Einsetzen zeigst du ja, dass es ne Lösung ist.
Erfahrung bein "raten" zeigt, dass man einfach die fkt, die die h
Homogenität "stört", also die rechte Seite mit geeigneten konstanten probieren kann.
Gruss leduart

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