Lineare Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:32 Mi 21.10.2015 | | Autor: | mariem |
Hallo,
ich will nachgucken ob man eine Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung in den Polynomring [mm] \mathbb{C}[z] [/mm] finden kann.
Ich habe folgendes gemacht:
Die generelle lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist
ax'(z)+bx(z)=y(z)
wobei x,y [mm] \in \mathbb{C}[z]. [/mm]
[mm] \textbf{Fall 1.} [/mm]
a=0, b [mm] \neq [/mm] 0
Dann haben wir dass bx(z)=y(z).
Also die Lösung ist dann [mm] x(z)=\frac{1}{b}y(z)\in \mathbb{C}[z]. [/mm]
[mm] \textbf{Fall 2.} [/mm]
[mm] a\neq [/mm] 0, b=0
Dann haben wir ax'(z)=y(z).
Dann ist die Lösung .
Also
[mm] \textbf{Fall 3.} [/mm]
a=0, b=0
Dann haben wir 0=y(z).
Wenn y(z)=0 dann gibt es unendlich viele Lösungen.
Wenn y(z) [mm] \neq [/mm] 0 dann gibt es keine Lösung.
[mm] \textbf{Fall 4.} [/mm]
a [mm] \neq [/mm] 0, b [mm] \neq [/mm] 0
Sei [mm] y=\sum_{k=0}^n c_kz^k [/mm] und [mm] x(z)=\sum_{k=0}^n d_kz^k, [/mm] also [mm] x'(z)=\sum_{k=1}^n kd_kz^{k-1}. [/mm]
Dann haben wir
[mm] \sum_{k=1}^nkd_kz^{k-1}+\frac{b}{a}\sum_{k=0}^nd_kz^k=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^nc_kz^k [/mm]
Wenn wir die Koeffizienten vergleichen haben wir
[mm] \left\{\begin{matrix}
\frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\
kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n-1
\end{matrix}\right. [/mm]
Diese rekursive Gleichung bestimmt x(z).
Ist alles richtig?
P.S. Ich habe diese Frage auch in matheplanet.de gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:40 Mi 21.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich will nachgucken ob man eine Lösung einer linearen
> Differentialgleichung erster Ordnung in den Polynomring
> [mm]\mathbb{C}[z][/mm] finden kann.
>
> Ich habe folgendes gemacht:
>
> Die generelle lineare Differentialgleichung erster Ordnung
> ist
> ax'(z)+bx(z)=y(z)
> wobei x,y [mm]\in \mathbb{C}[z].[/mm]
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 1.}[/mm]
> a=0, b [mm]\neq[/mm] 0
>
> Dann haben wir dass bx(z)=y(z).
> Also die Lösung ist dann [mm]x(z)=\frac{1}{b}y(z)\in \mathbb{C}[z].[/mm]
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 2.}[/mm]
> [mm]a\neq[/mm] 0, b=0
>
> Dann haben wir ax'(z)=y(z).
>
>
> Dann ist die Lösung .
> Also
>
>
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 3.}[/mm]
> a=0, b=0
>
> Dann haben wir 0=y(z).
> Wenn y(z)=0 dann gibt es unendlich viele Lösungen.
> Wenn y(z) [mm]\neq[/mm] 0 dann gibt es keine Lösung.
>
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 4.}[/mm]
> a [mm]\neq[/mm] 0, b [mm]\neq[/mm] 0
>
> Sei [mm]y=\sum_{k=0}^n c_kz^k[/mm] und [mm]x(z)=\sum_{k=0}^n d_kz^k,[/mm]
> also [mm]x'(z)=\sum_{k=1}^n kd_kz^{k-1}.[/mm]
>
> Dann haben wir
> [mm]\sum_{k=1}^nkd_kz^{k-1}+\frac{b}{a}\sum_{k=0}^nd_kz^k=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^nc_kz^k[/mm]
>
> Wenn wir die Koeffizienten vergleichen haben wir
> [mm]\left\{\begin{matrix}
\frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\
kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n-1
\end{matrix}\right.[/mm]
>
>
> Diese rekursive Gleichung bestimmt x(z).
Das ist noch die FRage !
Hat denn dieses Gleichungssystem eine Lösung ?
Noch etwas: ist Dir klar, dass die DGL
ax'(z)+bx(z)=y(z) ,
wobei y ein Polynom ist und a [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \ne [/mm] b ist, unendlich viele Lösungen hat, die keine Polynome sind ?
FRED
>
>
>
> Ist alles richtig?
>
>
>
> P.S. Ich habe diese Frage auch in matheplanet.de gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mi 21.10.2015 | | Autor: | mariem |
> > [mm]\textbf{Fall 4.}[/mm]
> > a [mm]\neq[/mm] 0, b [mm]\neq[/mm] 0
> >
> > Sei [mm]y=\sum_{k=0}^n c_kz^k[/mm] und [mm]x(z)=\sum_{k=0}^n d_kz^k,[/mm]
> > also [mm]x'(z)=\sum_{k=1}^n kd_kz^{k-1}.[/mm]
> >
> > Dann haben wir
> >
> [mm]\sum_{k=1}^nkd_kz^{k-1}+\frac{b}{a}\sum_{k=0}^nd_kz^k=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^nc_kz^k[/mm]
> >
> > Wenn wir die Koeffizienten vergleichen haben wir
> > [mm]\left\{\begin{matrix}
\frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\
kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n-1
\end{matrix}\right.[/mm]
> >
> >
> > Diese rekursive Gleichung bestimmt x(z).
>
> Das ist noch die FRage !
>
> Hat denn dieses Gleichungssystem eine Lösung ?
Da wir keinen Anfangswert haben z.B. für k=0, können wir die rekursive Gleichung nicht lösen, oder?
> Noch etwas: ist Dir klar, dass die DGL
>
>
> ax'(z)+bx(z)=y(z) ,
>
> wobei y ein Polynom ist und a [mm]\ne[/mm] 0 [mm]\ne[/mm] b ist, unendlich
> viele Lösungen hat, die keine Polynome sind ?
Wenn wir nicht beschränkt wären eine Lösung im Polynomring zu finden, könnten wir auch die Methode mit den integrierenden Faktor benutzen, dann würde die Lösung auch Exponentialfunktionen erhalten.
Ist das richtig?
Aber warum sind es unendlich viele? Weil wir keine Anfangswerte haben, also hat man dann eine nicht bestimmte Konstante?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mi 21.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]\textbf{Fall 4.}[/mm]
> > > a [mm]\neq[/mm] 0, b [mm]\neq[/mm] 0
> > >
> > > Sei [mm]y=\sum_{k=0}^n c_kz^k[/mm] und [mm]x(z)=\sum_{k=0}^n d_kz^k,[/mm]
> > > also [mm]x'(z)=\sum_{k=1}^n kd_kz^{k-1}.[/mm]
> > >
> > > Dann haben wir
> > >
> >
> [mm]\sum_{k=1}^nkd_kz^{k-1}+\frac{b}{a}\sum_{k=0}^nd_kz^k=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^nc_kz^k[/mm]
> > >
> > > Wenn wir die Koeffizienten vergleichen haben wir
> > > [mm]\left\{\begin{matrix}
\frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\
kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n-1
\end{matrix}\right.[/mm]
> > >
> > >
> > > Diese rekursive Gleichung bestimmt x(z).
> >
> > Das ist noch die FRage !
> >
> > Hat denn dieses Gleichungssystem eine Lösung ?
>
>
>
> Da wir keinen Anfangswert haben z.B. für k=0, können wir
> die rekursive Gleichung nicht lösen, oder?
Du hast oben geschrieben:
$ [mm] \left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\ kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n-1 \end{matrix}\right. [/mm] $
Das ist nicht richtig. Korrekt ist
$ [mm] \left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\ kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n \end{matrix}\right. [/mm] $
Dieses LGS hat eine eindeutig bestimmte Lösung. Zeige das !
>
>
>
> > Noch etwas: ist Dir klar, dass die DGL
> >
> >
> > ax'(z)+bx(z)=y(z) ,
> >
> > wobei y ein Polynom ist und a [mm]\ne[/mm] 0 [mm]\ne[/mm] b ist, unendlich
> > viele Lösungen hat, die keine Polynome sind ?
>
>
>
> Wenn wir nicht beschränkt wären eine Lösung im
> Polynomring zu finden, könnten wir auch die Methode mit
> den integrierenden Faktor benutzen,
Das ist doch mit Kanonen auf Spatzen geschossen ! Verwende die übliche Methode zur Lösung einer inhomogenen linearen DGL 1.Ordnung (allgemeine Lösung der zugeh. homogenen Gl. , Variation der Konstanten,..... )
> dann würde die Lösung
> auch Exponentialfunktionen erhalten.
Ja
>
> Ist das richtig?
>
> Aber warum sind es unendlich viele? Weil wir keine
> Anfangswerte haben, also hat man dann eine nicht bestimmte
> Konstante?
Ja, die allgemeine Lösung der DGL ax'(z)+bx(z)=y(z) lautet so (dabei sei a [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \ne [/mm] b):
[mm] x(z)=C*e^{- \bruch{b}{a}z}+x_s(z),
[/mm]
wobei [mm] x_s [/mm] eine spezielle Lösung der homogenen Gl. ax'(z)+bx(z)=0 ist und C alle reellen Zahlen durchlaufen darf.
FRED
>
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:31 Mi 21.10.2015 | | Autor: | mariem |
> Du hast oben geschrieben:
>
>
> [mm]\left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\ kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n-1 \end{matrix}\right.[/mm]
>
>
> Das ist nicht richtig. Korrekt ist
>
>
> [mm]\left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\ kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n \end{matrix}\right.[/mm]
>
> Dieses LGS hat eine eindeutig bestimmte Lösung. Zeige das
> !
Für k=n : [mm] nd_k+\frac{b}{a}d_{n-1}=\frac{1}{a}c_{n-1} \Rightarrow d_{n-1}=\frac{1}{b}c_{n-1}-\frac{a}{b^2}nc_n [/mm]
Für k=n-1 : [mm] (n-1)d_{n-1}+\frac{b}{a}d_{n-2}=\frac{1}{a}c_{n-2} \Rightarrow d_{n-2}=\frac{1}{b}c_{n-2}-\frac{a}{b^2}(n-1)c_{n-1}+\frac{a^2}{b^3}n(n-1)c_n [/mm]
Für k=n-2 : [mm] (n-2)d_{n-2}+\frac{b}{a}d_{n-3}=\frac{1}{a}c_{n-3} \Rightarrow d_{n-3}=\frac{1}{b}c_{n-3}-\frac{a}{b^2}(n-2)c_{n-2}+\frac{a^2}{b^3}(n-2)(n-1)c_{n-1}-\frac{a^3}{b^4}n(n-1)(n-2)c_n [/mm]
Also für k=n-i haben wir folgendes: [mm] d_{n-i}=\frac{1}{b}c_{n-i}+\sum_{m=1}^i \frac{(-a)^m}{b^{m+1}}\frac{(n-(i-m))!}{(n-i)!}c_{n-(i-m)} [/mm]
Ist das richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 26.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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