Lineare Gleichung < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Fr 12.05.2006 | | Autor: | unique24 |
Hallo Forum
Wie Ihr seht bin ich kein Dauerposter hier und muss auch keine Schulaufgaben lösen, jedoch möchte ich mir eine Beschattung für mein Haus realisieren und benötige, wie mir gesagt wurde, eine lineare Gleichung.
Falls das gegen die Forumregeln verstößt bitte ich um Endschuldigung!
Also:
Eine Jalousie braucht von ganz oben bis ganz unten 66sek.
Die Höhe der Anlage ist 263cm
Nun soll die Jalousie auf 50% fahren, das wären also 131,5 cm in der Höhe.
Gefahren wird in Positionen anhand der Laufzeit. Also schaltet der Motor ein und nach 50% = 33sek wieder ab.
Nun steht die Jalousie nicht bei 131,5 cm sondern bei ca. 145 cm.
Der Grund:
Das Band, das die Jalousie hält, wird über eine Welle abgewickelt. Je größer das Paket des Bandes ist, desto schneller fährt die Jalousie nach unten.
Jetzt bräuchte ich den Scheinhöhe, die ich anfahren muss, um auf die reale Höhe zu kommen.
Dafür sollte die Archimedesspirale verwendet werden. Aber Mathematisch zu komplex (obwohl wenns einer schafft .. Hut ab) Leider kann ich den Innenradius nicht messen, daher sollen Messpunkte weiterhelfen:
Wenn ich 12,94 sek fahre ist die Position der Jalousie:
67,50 cm
SOLL aber 51,57 cm betragen
Wenn ich 51,76 sek fahre ist die Position der Jalousie:
216,00 cm
SOLL aber 206,27 cm betragen
Wie müßte ich die Formel erstellen, wenn ich wissen möchte:
SOLL = 80 cm (als Beispiel)
IST = x cm (Die Höhe dich ich anfahren muss, da real 80cm beträgt)
Für Hilfe wäre ich da dankbar.
Wenn sich jemand der Archimedesspirale annimmt:
Welche Infos sind hier nötig? Und wie gesagt, ich kann leider den Wellenradius nicht messen, da er verbaut ist. Falls man diesen Radius unbedingt braucht, kann man ihn durch die 2 Messpunkte errechnen?
Vielen dank
Hannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:55 Mi 17.05.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo,
zunächst: ich finde, Deine Frage ist hier im Forum völlig richtig untergebracht (aber vielleicht nicht unter Lin.Gl.Sys.?).
Ich würde versuchen, aus einigen Messpunkten (inkl. Anfang und Ende) eine Funktion zu ermitteln, die die (tatsächliche) Position in Abhängigkeit von der Zeit darstellt. Bin jetzt zu müde, um das zu Ende zu denken (z.B. ob dafür eine quadratische Funktion etwa gar ausreicht??).
Ganz "quick and dirty" könntest Du auch einfach ein paar Messpunkte auf Millimeterpapier zeichnen, sinnvoll verbinden und dann einfach den Wunschwert näherungsweise ablesen... *duw*
Schöne Grüße
sendet
ardik,
der jetzt ins Bett geht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Do 18.05.2006 | | Autor: | unique24 |
Hallo ardik
Danke für den Tipp, aber in dieser Richtung habe ich schon etwas (in der Praxis noch nicht getestet)
Ist eine Gleichung die anhand von 2 Messpunkten die Zwischenschritte errechnet. Ob dies so an der Praxis funktioniert, werde ich testen.
Leider ist die nötige Hardware kaputt geworden und so kann ich nicht testen.
Danke Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Mi 17.05.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo,
also wenn ich das richtig verstehe, treibt ein Motor die Welle mit
gleicher Umdrehungszahl an. Da ja das Band (oder sonst was) um die Welle
gewickelt ist, wird der Durchmesser der Welle mit Band kleiner und somit wird dann
auch die Geschwindigkeit mit der das Jalousie herabgelassen wird kleiner.
So wenn du jetzt die Dicke des Bandes misst und dann noch die Umdrehungzahl
heraus bringst könnte man die Radius heraus finden dann errechnen wieviel umdrehungen zu
131,5 nötig sind.
Ansonsten fällt mir nur ein, eine Diffentialgleichung aufstellen und dann mit
Hilfe der Messdaten numerisch lösen, oder den Radius der Welle und Dicke des Bandes
und die Differentialgleichung als Anfangswertproblem lösen.
MfG
metzga
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Do 18.05.2006 | | Autor: | unique24 |
Hallo metzga
Danke für den Tipp, jedoch die das Band ist sehr dünn. Da sind kleine Messtoleranzen nicht so schnell verzeihend?
Umdrehung pro Minute wäre unter Umständen herausfindbar.
Wie oben erwähnt versuche ich einmal die Gleichung um zu sehen wieviel sie abweichen.
Vielen dank
Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mi 17.05.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Hannes,
ich will es mal mit der archimedischen Spirale versuchen. Dafür brauche ich die Dicke des Gurtes. Diese möglichst genau, um so weniger muß ich nach den passenden Werten suchen. Auch würde es die Suche nach der Lösung sehr vereinfachen, wenn Du herausbekommen kannst, wie groß der Umfang der Spule ist, wenn (fast) der ganze Gurt auf der Spule ist. Also: eine Stelle auf der Spule markieren und dann eine Umdrehung laufen lassen. Die Stelle markieren, die genau darüber zu liegen kommt. Gurt abwickeln, so dass die Streche zwischen den beiden Markierungen gemessen werden kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Do 18.05.2006 | | Autor: | unique24 |
Hallo chrisno
Finde ich sehr tapfer von dir und bedanke mich schon im vorraus !!
Ich werde versuchen so schnell wie möglich die Daten zu sammeln, jedoch beim Umfang wird sehr schwer, da das ganze ja eingebaut ist und der Gurt in einen Kasten zieht.
Werde versuchen dies aber zu messen.
Vielen Dank
Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Do 18.05.2006 | | Autor: | chrisno |
Kannst Du eine Umdrehung der Welle beobachten und die entsprechende Gurtlänge dazu messen? Das wäre zwar nicht so genau, aber besser als nichts.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Mi 24.05.2006 | | Autor: | chrisno |
ich habe nun eine erste Rechnung mit der Spirale durchgeführt. Dazu habe ich die Dicke des Gurtes mit 5 mm angesetzt. So kann ich bei Vorgabe der Soll-Werte die ist Werte schon bis auf 5cm Abweichung berechnen. Für weitere Untersuchungen brauche ich dan die Dicke genauer.
Falls der Gurt nicht erreichbar ist, dann geht es auch ganz anders.
Mit einer Liste von Werten, sagen wir alle 20 cm, sollte ich auch so eine brauchbare Formel produzieren können. Die würde dann nicht auf der Sprirale aufbauen, sondern ganz pragmatisch die Differenzen mit irgendeiner geeigneten Funktion beschrieben.
Letzendlich würde ich die Archimedische Spirale nämlich auch nur benutzen, um so eine Werteserie zu erzeugen. Selbst wenn ich die Formel kräftig vereinfache, sieht sie nicht umkehrbar aus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Fr 26.05.2006 | | Autor: | unique24 |
Hallo Chrisno
Danke für deine Mühe ... leider kann ich den Gurt nicht messen. Das liegt aber nicht an der unzugänglichkeit, sondern daran das er so dünn ist.
Mit dem Lineal muss ich schätzen und sage einmal 0,5 mm. Also hauchdünn.
Da ich das auch bei anderen Jalousien machen möchte, wären je weniger Referenzen ich abmessen muss um so besser.
Aber ein Ergbniss soll ja auch rauskommen 
Ein Excelfile kann ich hier ja nicht anhängen, darum tippe ich es:
Anlagenhöhe: 263,00 cm Fahrtzeit: 66 sek
50 67,50 cm 51,57 cm -15,93 cm -30,89 % 12,94 sek
100 118,00 cm 103,14 cm -14,86 cm -14,41 % 25,88 sek
150 170,00 cm 154,71 cm -15,29 cm -9,89 % 38,82 sek
200 216,00 cm 206,27 cm -9,73 cm -4,71 % 51,76 sek
250 257,50 cm 257,84 cm 0,34 cm 0,13 % 64,71 sek
Die 1.Spalte sind die Positionen (0=oben=0sek,255=unten=66ek)
Die 2.Spalte (cm) ist die gemessene Höhe
Die 3.Spalte (cm) sollte die Höhe sein, wenn kontinuilich gefahren wird
Die 4.Spalte(cm) ist die Differenz von der Richtigen Höhe
Die 5.Spalte(%) die Differenz in %. Man sieht, je weiter oben die Jalousie ist, desto größer der Umfang und umso höher die Differenz
Die 6.Spalte ist die Zeit, in der die Jalousie hingefahren wird.
33sek sollten "normal" 131,5cm sein (263/2). Die Jalousie steht aber irgendwo über 140 cm. Weil eben die Abwicklung am Anfang schneller ist.
Super wäre es, wenn 2 Messpunkte (Punkt50 und Punkt200) angegeben werden und so der Rest errechnet werden kann. Wenn nicht, eben umso mehrere.
Als Augabe kann endweder die Höhe die ich "falsch" anfahren muss um auf die Richtige Höhe zukommen, oder die "falsche" Zeit oder die Position (0-255)
Vielen dank für deine Arbeit
Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Mi 31.05.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Hannes
Die erste Spalte in der Tabelle verstehe ich nicht. Das liest sich wie eine Teilung des Intervalls in 256 Schritte.
Für die Berechnung mit der Spirale habe ich die Werte umgedreht. Also immer 263-dem von Dir gegebenen Wert.
Mit den Schätzwerten für die Dicke das Bandes 0,5 mm und den Wellendurchmesser 3,2 cm
erhalte ich folgende berechnete Werte für ist:
ist berechnet 4,12 47,53 95,12 117,90 146,90 202,86 262,99
ist gemessen 5,50 47,00 93,00 118,00 145,00 195,50 263,00
Differenz -1,38 0,53 2,12 -0,1 1,9 7,36 -0,01
Wie genau muss das Ergebnis sein?
Also ist bis auf den einen Wert die Spirale gar nicht schlecht.
Wie wäre es mit einem Anruf beim Hersteller?
Ich suche auch weiter, ob ich nicht so eine passende Formel finde.
Zur letzten Tabelle: Da habe ich eine erste Zeile mit 0 0 0 0 0 ergänzt.
Ist das richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Do 01.06.2006 | | Autor: | unique24 |
Hallo Chrisno
Habs schlecht erklärt:
Die erste Spalte hat 0-255 Werte
0 = 0 sec (also ganz oben)
255 = 66 sec (also ganz unten)
Die Zwischenschritte sind einfach zu berechnen.
Deine Werte habe ich leider nicht ganz entschlüsselt.
Das Band wickelt ab und der Umfang wird ständig kleiner. Die Jalousie fährt also bei ab immer um etwas langsamer bis sie unten ist.
Oder sind deine Werte bezogen auf die Gesamtfahrzeit? Denn die 66sek sind ja der Durchschnitt(?)
Wenn die Jalousie auf 0sek (oben) steht und nach unten fährt, ist sie nach 66sek bei 263 cm.
Bei aufwärts ist es eben umgekehrt, da fährt sie immer schneller und schneller und stoppt dann sofort bei 0sek bzw 0cm.
Wie genau? Naja auf ein paar cm wäre halt schön (max.2-3 cm)?
Ich muss bei der 2. Jalousie dann dasselbe machen,mit anderen Parametern. Da wäre eben so wenig Parameter anzugeben wie möglich super.
Danke für deine Hilfe
Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:25 Fr 02.06.2006 | | Autor: | unique24 |
< Zur letzten Tabelle: Da habe ich eine erste Zeile mit 0 0 0 0 0 ergänzt.
Ist das richtig?
Ja, das ist richtig. Da ist die Jalousie ganz oben.
Gruß
Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Mi 31.05.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Hannes,
die Differenzen zeigen ja einen merkwürdigen Verlauf.
Da frage ich doch mal nach:
Wie funktioniert das Ganze genau? Ich gehe von einem Band aus, das irgendwie mit der Jalousie verbunden ist. Dann aber sollten die Differenzen von Null aus zuerst steigen und dann wieder bis auf Null fallen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Do 01.06.2006 | | Autor: | unique24 |
Hallo
Die Jalousie funkt. wie folgt:
Die letzte Lamelle hat ein Band, das durch alle anderen Lamellen geht bis hin zur Welle oben.
Fährt die Jalousie nach oben, fährt zuerst die letzte, diese "stößt" unter die 2. und hebt/nimmt diese mit nach oben,dann stossen sie zum nächsten und so weiter. Alles liegt schlußendlich auf der untersten auf.
Bei abfahrt, bleiben die einzelnen Lamellen wieder in der Höhe hängen.
Das Band wickelt über eine runde Welle.
Wie eine Roulade
Ist die Jalousie ganz oben ist der Umfang am größten. Beginnt die Downfahrt, wickelt der übereinander aufgewickelte Gurt kontinuirlich(?) ab. Je länger die Jalousie fährt, desto langsamer wird sie (bezogen auf den Durchschnitt).
Also sollte die Differenz zwischen Soll und Ist ständig kleiner werden bei Abfahrt.
Gruß und danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Do 01.06.2006 | | Autor: | chrisno |
> Hallo
>
> Die Jalousie funkt. wie folgt:
>
> Die letzte Lamelle hat ein Band, das durch alle anderen
> Lamellen geht bis hin zur Welle oben.
>
> Fährt die Jalousie nach oben, fährt zuerst die letzte,
> diese "stößt" unter die 2. und hebt/nimmt diese mit nach
> oben,dann stossen sie zum nächsten und so weiter. Alles
> liegt schlußendlich auf der untersten auf.
>
> Bei abfahrt, bleiben die einzelnen Lamellen wieder in der
> Höhe hängen.
>
> Das Band wickelt über eine runde Welle.
> Wie eine Roulade
>
> Ist die Jalousie ganz oben ist der Umfang am größten.
> Beginnt die Downfahrt, wickelt der übereinander
> aufgewickelte Gurt kontinuirlich(?) ab. Je länger die
> Jalousie fährt, desto langsamer wird sie (bezogen auf den
> Durchschnitt).
Verstanden.
>
> Also sollte die Differenz zwischen Soll und Ist ständig
> kleiner werden bei Abfahrt.
Aber sie fängt doch bei Null an und wird erstmal größer?
Weiteres unten.
>
> Gruß und danke
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Do 01.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Hannes,
ich bin davon ausgegangen, dass ein Motor die Welle mit konstanter Drehzahl antreibt. Für das gesamte Abwickeln braucht er die 66 sek. (Tatsächlich habe ich statt der Zeit die "soll"-Position verwendet.) Dann habe ich berechnet, wie das Band von der Spirale abgespult wird, also zuerst schnell und dann mit abnehmendem Durhcmesser immer langsamer. Nun will ich ja vorführen, dass das ganz gut passt. Daher vergleiche ich mit den von Dir gegebenen "ist" Werten. Bloß habe ich die Position genau andersherum wie Du bezeichnet. Daher mußt Du immer 263 - dem Wert in meiner Tabelle nehmen. Dann solltest unter "ist" Deine Werte wiederfinden.
Ich habe alle von Dir gegbenen Werte verwendet.
Wieder mit Deinen Positionsangaben:
Nochmal zum Verständnis: Bei 0 sek ist die Position 0 und zwar für soll und ist. Dann wird die Jalousie heruntergelassen. Dabei entsteht nun eine immer größer werdende Differenz zwischen soll und ist. Ab einem Punkt wird die Differenz wieder kleiner, bis sie bei 66 sek wieder zu Null geworden ist. Dieser Verlauf der Differenz sollte eine glatte Kurve, durchaus einer flachen, nach unten geöffneten Parabel ähnlich, sein. Diesen Verlauf zeigen die von Dir angegebenen Differenzen nicht. Daher bin ich etwas unsicher, wie ich das sinnvoll fortsetzen soll.
Ich werde mal so eine Kurve plotten, doch dazu muss ich mir erst mal ein Programm besorgen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 Fr 02.06.2006 | | Autor: | unique24 |
Hallo Chrisno
Genau: Welle, Motor mit konstanter Drehzahl,Welle. Abwickeln 66sek, mit abnehmendem Umfang immer langsamer.
Leider ist die Hardware kaputt geworden und ich muss noch auf das Austauschgerät warten.
Aber aus Neugier: Berechnet deine Formel immer von einem Endpunkt (ganz oben oder ganz unten) oder kann man auch damit berechnen, wenn die Jalousie auf 100cm steht und ich möchte sie auf 189cm stellen?
Danke dir vielmals
Hannes
PS: Wenn du mir 2 Werte gibst zum checken, programmiere ich meine Anlage um bis die neue Hardware kommt. Mit der derzeitigen könnt ich 2 Positionen anfahren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Fr 02.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
ich muss das ganze jetzt mal so aufschreiben, dass ich das hier auch veröffentlichen kann. Die Formel hat als Eingangsgröße die Stellung, die bei konstanter Fahrgeschwindigkeit erreicht würde und als Ausgangsgröße, die Stellung, die dabei erreicht wird.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Fr 09.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Die Archimedische Spirale entsteht aus dem Zusammenhang $r = a [mm] \phi$ [/mm] mit $a > 0$ und $0 [mm] \le \phi [/mm] < [mm] \infty$. \phi [/mm] ist im Bogenmaß gegeben. Wickelt man eine ganze Lage auf oder ab, so hat sich [mm] $\phi$ [/mm] um $2 [mm] \pi$ [/mm] geändert und damit ist $r$ um $a 2 [mm] \pi$ [/mm] größer oder kleiner geworden. Wenn diese Änderung durch die Dicke $d$ des Gurtes hervorgerufen wird, so gilt damit [mm] $\frac{d}{2\pi}=a$.
[/mm]
Für die Bogenlänge $s$ zwischen den Winkeln [mm] $\phi_1$ [/mm] und [mm] $\phi_2$ [/mm] gilt:
[mm]s =\frac{a}{2} ([\phi_2\sqrt{\phi_2^2+1}+\ln(\phi_2+\sqrt{\phi_2^2+1})] - [\phi_1\sqrt{\phi_1^2+1}+\ln(\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+1})])[/mm]
(aus der Formelsammlung, oder selbst herzuleiten)
Bei der Jalousie ist die Situation wie folgt:
Zu Beginn ist sie aufgewickelt, also eine Spirale die bis zu [mm] $\phi_{oben}=\phi_o$ [/mm] gewickelt ist. Beim Herunterlassen wird [mm] $\phi$ [/mm] kleiner, bis sie bei [mm] $\phi_{unten}=\phi_u$ [/mm] die Endlänge von 263 cm erreicht hat. Ob nun da dann die Welle erreicht ist oder es noch ein Stückchen weitergeht, ist egal. Falls die Welle nicht speziell gearbeitet ist, gibt es natürlich bei den ersten Lagen beim Aufwickeln Sprünge, die bei der Rechnung nicht berücksichtigt werden.
Damit gilt für den speziellen Fall:
[mm]263 = \frac{d}{4\pi}([\phi_o\sqrt{\phi_o^2+1}+\ln(\phi_o+\sqrt{\phi_o^2+1})] - \[\phi_u\sqrt{\phi_u^2+1}+\ln(\phi_u+\sqrt{\phi_u^2+1})])[/mm]
Das Problem enthält also drei Unbekannte: [mm] $\phi_o$, $\phi_u$ [/mm] und $d$.
Mit $d = 0,05$ und [mm] $\phi_o [/mm] = 325,7$ und [mm] $\phi_u [/mm] = 200$ ergibt sich $s = 262,99$.
Für andere Werte für $d$ muss man bei gleichem [mm] $\phi_o$ [/mm] eben [mm] $\phi_u$ [/mm] neu bestimmen.
Entscheidend ist nun, ob für die Winkel zwischen [mm] $\phi_o$ [/mm] und [mm] $\phi_u$ [/mm] auch die richtigen Längen herauskommen.
An dieser Stelle wird vielleicht klar, warum es so viel einfacher wäre, wenn $d$ und zum Beispiel der Durchmesser des vollen Wickels bekannt wären: sonst muss man anders an die Unbekannten herankommen. Das gelingt anhand der gegebenen Werte mit Versuch und Irrtum, oder methodischer mittels "fitten" (mimimierung der Abweichungsquadrate in einem nichtlinearen Fall). Dafür sollten aber schon mindestens zwei Zwischenwerte vorhanden sein, die auch möglichst genau gemessen wurden.
Für die Winkel zwischen [mm] $\phi_o$ [/mm] und [mm] $\phi_u$ [/mm] wird angenommen, dass die Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit [mm] $\omega$ [/mm] gedreht wird, [mm] $\phi(t) [/mm] = [mm] \phi_o [/mm] - [mm] \omega [/mm] t$. [mm] $\omega$ [/mm] ergibt sich aus der Gesamtfahrzeit [mm] $t_u [/mm] = 66$ sec zu [mm] $\omega [/mm] = [mm] \frac{\phi_o - \phi_u}{t_u}$ ($t_o [/mm] = 0$).
Zum Vergleich mit einer mit konstanter Geschwindigkeit fahrenden Jalousie wird $l(t) = [mm] \frac{263 cm}{66 sec} [/mm] t$ angesetzt. Damit wird $t = [mm] \frac{66}{263} [/mm] l$.
Dieses $t$ wird in [mm] $\phi(t)$ [/mm] eingesetzt, damit ein [mm] $\phi(l)$ [/mm] erhalten und dies wiederum in der Formel für $s$ für [mm] $\phi_u$ [/mm] eingesetzt. So ergibt sich der "ist"-Stand der Jalousie aus dem "soll"-Stand:
[mm]s = \frac{d}{4\pi}([\phi_o\sqrt{\phi_o^2+1}+\ln(\phi_o+\sqrt{\phi_o^2+1})] - [\phi(l)\sqrt{\phi(l)^2+1}+\ln(\phi(l)+\sqrt{\phi(l)^2+1})])[/mm]
mit [mm] $\phi(l)=\phi_o-\frac{\phi_o - \phi_u}{263}l$
[/mm]
Nun aber lohnt sich ein Blick auf die Werte und die Formel: [mm] $\phi_u [/mm] = 200$ dann kann man bei den Termen mit [mm] $\phi^2 [/mm] +1$ die $1$ vernachlässigen (weniger als ein Zehntausendstel) und schon sind alle Wurzeln weg. Weiterhin steht dann da $ln(2 [mm] \phi)$ [/mm] mit Werten um $6$, die auch vernachlässigt werden können. Damit steh nun nur noch da:
[mm]s = \frac{d}{4\pi}\{\phi_o^2-\phi(l)^2\}[/mm], was ja schon viel netter aussieht.
[mm] $\phi(l)$ [/mm] einsetzen ergibt:
[mm]s = \frac{d}{4\pi}\{\phi_o^2-[\phi_o-\frac{\phi_o - \phi_u}{263}l]^2\}[/mm]
Wenn man diese Gleichung lange genug anschaut, so kann sie auf
$s = a [mm] \cdot [/mm] l-b [mm] \cdot l^2$ [/mm] reduziert werden. $a$ und $b$ müssen bestimmt werden.
$s(0) = 0 = a [mm] \cdot [/mm] 0 - b [mm] \cdot [/mm] 0$ bringt nichts.
$s(263) = 263 = a [mm] \cdot [/mm] 263 - b [mm] \cdot 263^2$ [/mm] ist die erste Gleichung.
$s(131,5) = 145 = a [mm] \cdot [/mm] 131,5 - b [mm] \cdot 131,5^2$ [/mm] die zweite.
Dies ist ein lineares Gleichungssystem für $a$ und $b$ mit der Lösung $a = 1,205$ und $b = 7,807 [mm] \cdot 10^{-4}$.
[/mm]
Allgemein: Wird für eine Jalousie der Länge $j$ nach der Hälfte der Fahrzeit die tatsächliche Länge $s$ gemessen, steht als Gleichungssysgtem da:
$j = a [mm] \codt [/mm] j - b [mm] \cdot j^2$
[/mm]
$s = a [mm] \frac{j}{2} [/mm] - b [mm] \frac{j^2}{4}$
[/mm]
mit der Lösung: [mm] $a=\frac{4s}{j}-1$ [/mm] und $b = [mm] \frac{4s}{j^2} [/mm] - [mm] \frac{2}{j}$
[/mm]
Nun noch eine Tabelle
Zeit l(t) Ist = s phi(t)=phi(l) s(l) berechnet s(l) vereinfacht Parabel
0,00 0,00 0,00 325,73 0,00 0,00 0
12,94 51,57 67,50 301,08 61,48 61,48 60,06
25,88 103,14 118,00 276,43 118,12 118,12 115,97
33,00 131,50 145,00 262,86 147,22 147,22 144,96
38,82 154,71 170,00 251,78 169,92 169,92 167,72
51,76 206,27 216,00 227,13 216,89 216,89 215,33
64,71 257,84 257,50 202,46 259,06 259,06 258,81
66,00 263,00 263,00 200,00 262,99 262,99 262,91
Das die Werte bei der Parabel, die mit $a$ und $b$ berechnet wurde nicht so gut passen liegt daran, dass der Messwert 145 von dem zur Spirale besser passenden 147,22 abweicht.
Das war ganz nett, insbeondere überraschend, dass am Ende doch eine Parabel und ein lineares Gleichungssystem herauskommt und außerdem dass, wenn der Gurt hinreichend dünn ist, man seine Dicke und die Dicke des Wickels doch nicht wissen muß.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Fr 09.06.2006 | | Autor: | unique24 |
Hallo Chrisno
Tolle Arbeit die du da gemacht hast. Leider sind mir die Angaben der Formeln nicht so vertraut, sodass ich beim erstellen der Formel in Excel nachfragen muss:
In der Formel $ 263 = [mm] \frac{d}{4\pi}([\phi_o\sqrt{\phi_o^2+1}+\ln(\phi_o+\sqrt{\phi_o^2+1})] [/mm] - [mm] \[\phi_u\sqrt{\phi_u^2+1}+\ln(\phi_u+\sqrt{\phi_u^2+1})]) [/mm] $ finde ich die Bezeichung "ln". Wofür steht diese? Oder ist das eine mathematischer Ausdruck?
Die Formel oben ist ja als "einführung" und wird in deinem Text weiter zerlegt. Ich versuche nun das ganze in Excel zu tippen, damit ich
a) ein paar Werte bekomme um zu testen
b) auf eine andere Jalousie anwenden kann.
Wäre für Hilfe nochmals dankbar. Deine ganzen Berechungen kann ich leider noch nicht ganz auflösen (eventuell auch nie?).
Ob du die Formel auch für Excel hättest?
Vielen dank
Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Fr 09.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Hannes
> finde ich die Bezeichung "ln". Wofür steht diese?
> Oder ist das eine mathematischer Ausdruck?
Ja. Steht für den "Natürlichen Logarithmus", also den Logarthmus zur Basis e.
Kannst Du direkt so in Excel verwenden: ln(...Ausdruck...)
Viel Erfolg noch!
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Fr 09.06.2006 | | Autor: | unique24 |
Danke, hatte "ln" in der Hilfe von Excel nicht gefunden.
Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Fr 09.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Hannes,
ich habe hier nur OpenOffice. Für Excel mußt Du eventuell SQRT statt Wurzel schreiben
[mm] J2/(4*PI())*((J3*WURZEL(J3^2+1)+LN(J3+WURZEL(J3^2+1))-(E4*WURZEL(E4^2+1)+LN(E4+WURZEL(E4^2+1)))))
[/mm]
Das mußt Du natürlich dann noch anpassen, die Dollarzeichen mußte ich hier rausnehmen, das Quadrat schreibt sich auch anders als hier dargestellt.
Entscheidend ist, dass Du das gar nicht brauchst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Sa 17.06.2006 | | Autor: | unique24 |
Hallo Chrisno
Du schreibst ja, das ich diese Formel gar nicht brauche. Aber das ist bezogen auf die momentanen Angaben für die Jalousie?
Was wäre, wenn ich die Dicke, Wellendurchmesser bei aufgerolltem Rolladen und die Umdrehung/pro Minute des Motors kenne?
Annahme für einen Rollladen:
Dicke des Panzers 1,2 cm (Beim Rollladen werden die Lamellen=Panzer um die Welle gewickelt. Durch Höhe der einzelnen Felder des Panzers werden diese nicht komplett an der Welle anliegen ,sondern durch die Luft dazwischen, wird der Durchmesser höher sein, als wenn die Lamellen komplett anliegen)
Durchmesser bei aufgewickeltem Panzer: 14,8 cm
Umdrehung des Motors pro Minute: 13 (Soweit ich mich noch bei der Bestellung errinere. Hoffe diese sind exakt)
Anlagenhöhe: 120cm
Fahrtzeit für ganz runter: 17 sec
Könnte ich nun mit diesen Angaben (habe sie nicht auf mm gemessen! Kann dann, wenn ich die Formel in Excel habe, ja noch genauer angeben) mithilfe deiner Formel auch hier "genaue" Höhenpositionen berechnen?
Wie du $ [mm] \phi_o [/mm] = 325,7 $ und $ [mm] \phi_u [/mm] = 200 $ berechnet hast, habe ich noch nicht herausen. Muss noch genauer studieren (Ohne die Mathebasic ist es halt ein bischen schwerer )
Darum weiß ich nun nicht 100% sicher, ob du die Archimedesspirale im Endeffekt berechnet hast oder ob du anhand meines Jalousiebeispieles den einzigen Weg beschrieben hast, um auf das Resultat zu kommen.
Vielen Dank
Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 19.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Hannes,
> Du schreibst ja, das ich diese Formel gar nicht brauche. Aber das ist
> bezogen auf die momentanen Angaben für die Jalousie?
Ja, man muss immer prüfen, wie groß der Fehler ist, der sich durch die Vereinfachung ergibt.
> Was wäre, wenn ich die Dicke, Wellendurchmesser bei aufgerolltem
> Rolladen und die Umdrehung/pro Minute des Motors kenne?
Um so besser, wie Du gleich siehst.
> Annahme für einen Rollladen:
> Dicke des Panzers 1,2 cm (Beim Rollladen werden die Lamellen=Panzer
> um die Welle gewickelt. Durch Höhe der einzelnen Felder des Panzers
> werden diese nicht komplett an der Welle anliegen ,sondern durch die
> Luft dazwischen, wird der Durchmesser höher sein, als wenn die
> Lamellen komplett anliegen) Durchmesser bei aufgewickeltem Panzer:
> 14,8 cm Umdrehung des Motors pro Minute: 13 (Soweit ich mich noch bei
> der Bestellung errinere. Hoffe diese sind exakt) Anlagenhöhe: 120cm
> Fahrtzeit für ganz runter: 17 sec Könnte ich nun mit diesen Angaben
> (habe sie nicht auf mm gemessen! Kann dann, wenn ich die Formel in
> Excel habe, ja noch genauer angeben) mithilfe deiner Formel auch hier
> "genaue" Höhenpositionen berechnen?
Ja, aber es reicht wieder die Näherung.
Aus der Dicke und dem Durchmesser ( = 2 r) kann man $ [mm] \phi_o [/mm] $ berechnen. Dabei wird erst mal angenommen, dass die Welle den Druchmesser Null hat. Dann ergibt sich die Anzahl der Lagen auf der Rolle aus Radius/Dicke. FÜr $ [mm] \phi_o [/mm] $ muß nur noch mit dem Winkel eines Vollkreises $ = 2 [mm] \pi$ [/mm] malgenommenwerden: $ [mm] \phi_o [/mm] = 2 [mm] \pi \frac{r}{d} [/mm] = 38,75 $
(Alle Werte gerundet.)
Die Winkeldifferenz ergibt sich aus der Motordrehzahl und der Fahrzeit:
$ [mm] \phi_o [/mm] - [mm] \phi_u [/mm] = [mm] \omega [/mm] t = [mm] \frac{13 \cdot 2 \pi}{60 \sec} [/mm] 17 [mm] \sec [/mm] = 23,15 $ und damit
$ [mm] \phi_u [/mm] = 15,6 $.
Die gleichen Abschätzungen wie vorher: 1 ist weniger als ein Prozent von [mm] 15,6^2. [/mm] Der $ ln $ krebst so bei 3 bis 4 herum und die Terme heben sich weitestgehend weg. Auch das bleibt unterhalb von einem Prozent. Probe:
$ s = [mm] \frac{a}{2}(\phi_o^2 [/mm] - [mm] \phi_u^2) [/mm] = [mm] \frac{1,2}{4 \pi}(38,75^2-15,6^2) [/mm] = 120,15 cm$
was ja die 120 cm verblüffend genau trifft. Damit ist auch geklärt, dass Du Dich richtig an die Motordrehzahl erinnert hast.
Miss also den Stand der Jalousie nach 8,5 sec und dann gehts genau wie beim letzten mal.
> Wie du $ [mm] \phi_o [/mm] = 325,7 $ und $ [mm] \phi_u [/mm] = 200 $ berechnet hast, habe
> ich noch nicht herausen. Muss noch genauer studieren (Ohne die
> Mathebasic ist es halt ein bischen schwerer )
Zentral war Dein Hinweis, dass der Gurt sehr dünn ist. Dann nehme ich noch irgendein Wellendurchmesser im cm-Bereich an. $ [mm] \phi_u [/mm] $ ist der Winkel, um den sich eine Welle mit dem Durchmesser 0 cm drehen müsste, bis soviel Gurt aufgewickelt ist, dass der tatsächliche Wellendurchmesser erreicht wird. Sprich die Welle wird erst durch Aufwickeln des Gurtes hergestellt. Das läßt sich nun schätzen: 2 cm Wellendurchmesser entspricht 1 cm Wellenradius. Das braucht 20 Lagen Gurt zu 0,05 cm. Also sind 20 Umdrehungen erforderlich. Das ergibt $ [mm] \phi_u [/mm] = 20 * 2 * [mm] \pi [/mm] 120 $. Das ich bei 200 gelandet bin, ist die Folge eines Bedienfehlers in der Tabellenkalkulation. Es ist ja eh nicht mehr relevant.
> Darum weiß ich nun nicht 100% sicher, ob du die Archimedesspirale im
> Endeffekt berechnet hast oder ob du anhand meines Jalousiebeispieles
> den einzigen Weg beschrieben hast, um auf das Resultat zu kommen.
Ich habe beides berechnet. Die Werte für Spirale und Parabel stimmen bis auf einige Nachkommastellen überein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Fr 09.06.2006 | | Autor: | unique24 |
Hallo
Noch eine Frage zu a und b:
Dies ist ein lineares Gleichungssystem für $ a $ und $ b $ mit der Lösung $ a = 1,205 $ und $ b = 7,807 [mm] \cdot 10^{-4} [/mm] $.
Allgemein: Wird für eine Jalousie der Länge $ j $ nach der Hälfte der Fahrzeit die tatsächliche Länge $ s $ gemessen, steht als Gleichungssysgtem da:
$ j = a [mm] \codt [/mm] j - b [mm] \cdot j^2 [/mm] $
$ s = a [mm] \frac{j}{2} [/mm] - b [mm] \frac{j^2}{4} [/mm] $
mit der Lösung: $ [mm] a=\frac{4s}{j}-1 [/mm] $ und $ b = [mm] \frac{4s}{j^2} [/mm] - [mm] \frac{2}{j} [/mm] $
Wie a und b berechnet werden ist ja beschrieben, jedoch enthält die Formel Variable s die wiederum über a und b berechnet werden?
Oder soll s aus der Anfangsformel berechnet werden,wo d,u,o angebenen sind?
Ich bin auch noch nicht draufgekommen, woher $ [mm] \phi_o [/mm] $ und $ [mm] \phi_u [/mm] $ genommen werden!
Ohne der Mathebasis sind die Formeln nicht so leicht in den Taschenrechner einzutippen
Danke
Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Fr 09.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Hannes,
beim Aufschreiben hat sich das so entwickelt. Dazu ist die Zeit recht knapp.
Nun noch einmal:
Ganz zum Schluß kommt raus, das es es ohne Kenntnis der Dicke und der [mm] $\phi$ [/mm] geht. Das liegt daran, dass das Band dünn und die Welle dick sind.
Anleitung: Messe die Länge der Jalousie. Die heißt $j$.
Messe die Laufzeit der Jalousie und lasse sie nur die Hälfte davon laufen.
Messe nun die Länge der Jalousie. Der Wert heißt nun [mm] $s_2$ [/mm] (die Wahl von $s$ als Bezeichnung war nicht so gut) und ist nicht gleich [mm] $\frac{j}{2}$, [/mm] sondern größer.
Berechne a und b mit Hilfe von [mm] $s_2$ [/mm] und $j$.
Nun ist die Formel fertig: $s(l) = a [mm] \cdot [/mm] l - b [mm] \cdot l^2$.
[/mm]
Dabei ist $l$ die Länge bei konstanter Fahrgeschwindigkeit und $s$ die Länge die tatsächlich erreicht wird, also genau das was Du brauchst.
Du mußt also nur einen Zwischenwert messen. Allerdings kann Dir fehlende Genauigkeit dabei etwas Ärger machen, wie Du an den Daten siehst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Sa 10.06.2006 | | Autor: | unique24 |
Hallo chrisno
Vielen Dank für die super Erklärung. Habs nun in Excel hinbekommen und die Längen varrieren max. um 1-2 cm. Lediglich im oberen Segment (0-50 cm) ist die Abweichung etwas größer, aber ok.
Deine Formel am Anfang werde ich weiterverfolgen und versuchen auch diese zu lösen. Der Grund:
Möchte dies auch gerne bei den Rollladen anwenden. Da ist aber folgendes anders:
Ich weiß den Durchmesser der Welle, die upm und die Stärke des Panzers.
Auch gibt es da keinen Gurt sondern der Panzer wird über die Welle gewickelt, was dann ein doch grosses Paket ergibt.
Möchte sehen, ob ich da auch an 1-3 cm hinkomme.
Danke für deine Hilfe und eventuell muss ich eh nocheinmal nachfragen.
Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Di 20.06.2006 | | Autor: | unique24 |
Nochmals Hallo Chrisno
Inzwischen habe ich so gut wie fast alles in Excel umwandeln können, bis auf eines:
Zitat:
Nun ist die Formel fertig: $ s(l) = a [mm] \cdot [/mm] l - b [mm] \cdot l^2 [/mm] $.
Dabei ist $ l $ die Länge bei konstanter Fahrgeschwindigkeit und $ s $ die Länge die tatsächlich erreicht wird, also genau das was Du brauchst.
Ok, klappt, nur bräuchte ich die umgekehrte Rechung. Also ich möchte auf eine Höhe von 131,5 cm kommen, dafür müßte ich meine Jalousie ja auf eine tehoretische Höhe von ca. 140 cm senden.
Wie berechne ich dann das? Mit der Formel $ s = a [mm] \frac{j}{2} [/mm] - b [mm] \frac{j^2}{4} [/mm] $ komme ich nicht hin, oder habe ich einen Fehler in der Eingabe gemacht?
j habe ich als theoretische Höhe (131,5 cm) angenommen. Es sollte dann ca. 140 herauskommen.
Danke
Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mi 21.06.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Hannes,
zuerst noch einmal das Gleichungssystem, nur diesmal mit verbeserter Notation:
Wird für eine Jalousie der Länge $j$ nach der Hälfte der Fahrzeit die tatsächliche Länge [mm] $s_2$ [/mm] gemessen, steht als Gleichungssysgtem da:
$j = a [mm] \codt [/mm] j - b [mm] \cdot j^2$
[/mm]
[mm] $s_2 [/mm] = a [mm] \frac{j}{2} [/mm] - b [mm] \frac{j^2}{4}$
[/mm]
mit der Lösung: [mm] $a=\frac{4s_2}{j}-1$ [/mm] und $b = [mm] \frac{4s_2}{j^2} [/mm] - [mm] \frac{2}{j}$
[/mm]
Das bleibt wie es war, so werden a und b bestimmt.
Dann geht es etwas anders weiter. Die Gleichung $s = a [mm] \cdot [/mm] l - b [mm] \cdot l^2$ [/mm] wird nach $l$ aufgelöst: [mm] $l^2 [/mm] - [mm] \frac{a}{b}l+\frac{s}{b} [/mm] = 0$. Für $l$ ergibt das zwei Lösungen [mm] $l_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{a}{2b} \pm \sqrt{ (\frac{a}{2b})^2 - \frac{s}{b} }$. [/mm] Für $s=0$ sollte gerne auch $l=0$ herauskommen, also macht nur die Lösung mit dem Minuszeichen Sinn:
$l = [mm] \frac{a}{2b} [/mm] - [mm] \sqrt{ (\frac{a}{2b})^2 - \frac{s}{b} }$.
[/mm]
Für $s$ wird der Wert eingesetzt, an dem die Jalousie nachher tatsächlich stehen soll. $l$ ist dann die Länge, die man bei konstanter Fahrgeschwindigkeit anfahren müsste. Nun kann natürlich auch noch $l$ durch die Fahrzeit ersetzt werden: $l = [mm] \frac{j}{t_{gesamt} } [/mm] t$
und damit $t = [mm] \frac{t_{gesamt}}{j}( \frac{a}{2b} [/mm] - [mm] \sqrt{ (\frac{a}{2b})^2 - \frac{s}{b} })$.
[/mm]
|
|
|
|
