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| Aufgabe | | Ein Grundstück von 24000m² soll vollständig mit Einfamilienhäusern, Doppelhäusern und Reihenhäusern bebaut werden. Für ein Einfamilienhaus wird jeweils eine Fläche von 400m² eingeplant, für ein Doppelhaus 500m² und für ein Reihenhaus 800m². Es sollen dabei genau so viele Reihenhäuser entstehen wie Einfamilienhäuser und Doppelhäuser zusammen. Jede Häuserart soll auf dem gesamten Grundstück vertreten sein. Wieviele Häuser von welcher Art müssen gebaut werden? (HINWEIS: Berücksichtigen Sie bei Ihrer Lösung, dass nur ganzzahlige Werte in Frage kommen) |
Ich habe hier 3 Unbekannte und komme nur auf 2 Gleichungssysteme nämlich:
1. 400x+500y+800z=24000 und 2. x+y=z
Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben, was das letzte Gleichungssystem sein soll?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ein Grundstück von 24000m² soll vollständig mit
> Einfamilienhäusern, Doppelhäusern und Reihenhäusern
> bebaut werden. Für ein Einfamilienhaus wird jeweils eine
> Fläche von 400m² eingeplant, für ein Doppelhaus 500m²
> und für ein Reihenhaus 800m². Es sollen dabei genau so
> viele Reihenhäuser entstehen wie Einfamilienhäuser und
> Doppelhäuser zusammen. Jede Häuserart soll auf dem
> gesamten Grundstück vertreten sein. Wieviele Häuser von
> welcher Art müssen gebaut werden? (HINWEIS:
> Berücksichtigen Sie bei Ihrer Lösung, dass nur
> ganzzahlige Werte in Frage kommen)
> Ich habe hier 3 Unbekannte und komme nur auf 2
> Gleichungssysteme ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> nämlich:
> 1. 400x+500y+800z=24000 und 2. x+y=z
Dies sind nicht zwei Gleichungssysteme, sondern nur
zwei Gleichungen !
> Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben, was das letzte
> Gleichungssystem sein soll?
Hallo Henning88
und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Es kommt keine weitere Gleichung dazu, aber die
Bedingungen, dass x,y,z ganzzahlige positive Werte
sein sollen.
Rein rechnerisch ist die Aufgabe also zunächst nicht
vollständig bestimmt. Es könnte allenfalls durchaus
mehr als eine Lösung geben, für welche deine
Gleichungen (1.) und (2.) exakt erfüllt sind.
Eine Gleichung oder ein Gleichungssystem mit der
Nebenbedingung, dass nur ganzzahlige Lösungen
in Frage kommen, nennt man auch "diophantisch".
Schau also vielleicht mal, was du zu den Stichworten
diophantisch , Gleichungssystem, linear so findest ...
Außerdem würde ich dir für die Rechnungen empfehlen,
die Flächeninhalte nicht in Quadratmetern, sondern in
Aren aufzuschreiben (1 Are hat 100 [mm] m^2 [/mm] ).
Um eine erste Idee zu kriegen, wäre es wohl auch
nützlich, wenn du mal ein paar Möglichkeiten durch-
spielst, nämlich etwa z=1, z=2, z=3, ...
LG , Al-Chwarizmi
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Also diophantisch haben wir in noch keiner einzigen Vorlesung gehabt, deswegen gehe ich nicht davon aus, dass wir das so lösen sollen (ich habs bei wikipedia auch nicht wirklich verstanden). Durch ausprobieren habe ich jetzt rausbekommen, dass x=7 y=12 und z=19 ist. Dadurch sind beiden Gleichungen erfüllt. Das ist aber natürlich kein mathematischer Weg... Da aber genau solche schönen Ergebnisse rauskommen, bin ich mir iwie nicht sicher, ob hier nicht doch noch eine weitere Gleichung versteckt ist, denn bei einer Unterbestimmung ist doch normalerweise eine Variable frei wählbar. Oder irre ich mich jetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Di 05.11.2013 | | Autor: | chrisno |
> Also diophantisch haben wir in noch keiner einzigen
> Vorlesung gehabt, deswegen gehe ich nicht davon aus, dass
> wir das so lösen sollen (ich habs bei wikipedia auch nicht
> wirklich verstanden).
> Durch ausprobieren habe ich jetzt
> rausbekommen, dass x=7 y=12 und z=19 ist. Dadurch sind
> beiden Gleichungen erfüllt. Das ist aber natürlich kein
> mathematischer Weg...
Doch!
> Da aber genau solche schönen
> Ergebnisse rauskommen, bin ich mir iwie nicht sicher, ob
> hier nicht doch noch eine weitere Gleichung versteckt ist,
> denn bei einer Unterbestimmung ist doch normalerweise eine
> Variable frei wählbar. Oder irre ich mich jetzt?
Du irrst Dich kräftig. Die Aufgabe lässt sich nicht vollständig in ein lineares Geleichungssystem abbilden. Damit fällt die Lösung nach Schema aus. Lösung nach Schema kann man auch Maschinen überlassen. Für einen Mathematiker wird es interessant, wenn es kein Schema mehr gibt.
Du hast die Aufgabe gelöst, wenn Du gezeigt hast, dass dies eine Lösung ist und es keine weitere mehr gibt.
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> Durch ausprobieren habe ich jetzt
> rausbekommen, dass x=7 , y=12 und z=19 ist. Dadurch sind
> beiden Gleichungen erfüllt. Das ist aber natürlich kein
> mathematischer Weg... Da aber genau solche schönen
> Ergebnisse rauskommen, bin ich mir iwie nicht sicher, ob
> hier nicht doch noch eine weitere Gleichung versteckt ist,
> denn bei einer Unterbestimmung ist doch normalerweise eine
> Variable frei wählbar.
Falls du nicht nur gefunden hast, dass (x,y,z)=(7,12,19)
ein Lösungstripel ist, sondern außerdem noch, dass dies
das einzige mögliche Lösungstripel ist, dann ist deine
"Probier"-Lösung durchaus auch eine mathematische Lösung.
Mathematik ist ein weiteres Feld, als vielleicht du und viele
andere sich träumen können.
Im vorliegenden Beispiel haben wir zwar insofern eine
"Unterbestimmung", als für 3 Unbekannte nur 2 Gleichungen
vorliegen. Die zusätzlichen Bedingungen, dass x, y und z
allesamt positive ganze Zahlen sein sollen, ergeben aber
weitere handfeste Bedingungen, die man zwar nicht auf
ganz einfache Weise in eine einzige Gleichung packen
kann (mit etwas mehr Aufwand geht es allerdings sehr
wohl) - aber doch in eine Reihe von Auswahl-Optionen.
Merke also: Mathematische Bedingungen müssen nicht
immer allein aus Gleichungen bestehen !
LG , Al-Chw.
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> Also diophantisch haben wir in noch keiner einzigen
> Vorlesung gehabt, deswegen gehe ich nicht davon aus, dass
> wir das so lösen sollen (ich habs bei wikipedia auch nicht
> wirklich verstanden). Durch ausprobieren habe ich jetzt
> rausbekommen, dass x=7 y=12 und z=19 ist. Dadurch sind
> beiden Gleichungen erfüllt. Das ist aber natürlich kein
> mathematischer Weg...
Guten Tag !
Wenn es nicht nur reines "Probieren" sein soll: man
kann schon etwas systematisch vorgehen, etwa so:
Aus den beiden Gleichungen 4x+5y+8z=240 und
x+y=z kann man schließen:
$\ [mm] 4\underbrace{(x+y)}_z+y+8\,z\ [/mm] =\ [mm] 12\,z+y\ [/mm] =\ 240$
Da wir ferner wissen, dass (wegen x>0 und x+y=z)
y<z sein muss, folgt dann, dass 13z>240 ist und damit
$\ z\ >\ [mm] \frac{240}{13}\ \approx\ [/mm] 18.5$
Weil z ganzzahlig sein muss, folgt demnach [mm] z\ge19.
[/mm]
Mit z=19 kommt man leicht auf y=240-12z=12 und
x=z-y=7.
Der nächstgrößere Wert, der für z in Frage kommen
könnte, ist z=20. Damit hätten wir aber schon
y=240-12z=0 . Dies würde aber bedeuten, dass kein
Doppelhaus gebaut werden solle, im Widerspruch
zur Aufgabenstellung, die besagt, dass mindestens
ein Haus von jeder der 3 Kategorien entstehen soll.
Also bleibt es dabei, dass (7,12,19) das einzige
Lösungstripel ist.
Das Tripel (20,0,20) würde zwar die zwei Gleichungen
4x+5y+8z=240 und x+y=z erfüllen, aber es wäre
dann eben die Zusatzbedingung y>0 verletzt.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Henning88 |
Kommt zwar bischen Spät von mir aber vielen Dank. Das hat mir sehr weitergeholfen. :)
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