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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Di 20.07.2010 | | Autor: | techi |
| Aufgabe | | Die Funktion f(x) = [mm] e^{2x} [/mm] liege als Tabelle für Argumente x vor, die ganze Zahlen sind. Bis zu welcher ganzen Zahl m können Zwischenwerte mittels linearer Interpolation berechnet werden, wenn ein absoluter Fehler [mm] \le [/mm] 0,05 erlaubt ist |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Frage hat uns bereits ziemliches Kopfzerbrechen bereitet. Niemand unserer Lerngruppe ist sich sicher, ob unser folgendes Vorgehen überhaupt richtig ist:
Formel Lineare Interpolation:
y = [mm] y_{0} [/mm] + [mm] \bruch{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}} [/mm] * (x - [mm] x_{0})
[/mm]
- Da die Exponentialfunktion mit größeren werten eben Exponential steigt, steigt auch der Fehler. Wir wählen also die Interpolationsgrenzen 0 und 1:
[mm] x_{0} [/mm] = 0 somit [mm] y_{0} [/mm] = 1
[mm] x_{1} [/mm] = 1 somit [mm] y_{1} [/mm] = [mm] e^{2} \approx [/mm] 7,389056099
Nun interpolieren wir den Wert 0,5 mit obiger Formel für lineare Interpolation:
y = 1 + [mm] (e^{2} [/mm] - 1) * 0,5 = 4,194828049
Also:
x = 0,5
[mm] y_{Interpoliert} [/mm] = 4,194828049
[mm] y_{Exakt} [/mm] = [mm] e^{1} \approx [/mm] 2,718281828
Relativer Fehler:
[mm] \bruch{Betrag(y_{Exakt} - y_{Interpoliert})}{y_{Exakt}} [/mm] = 0,54
Somit ist eine Interpolation nicht einmal in einem Schritt von 0,5 bei den Stützstellen 0 und 1 möglich. Daher ist eine Interpolation von ganzen Zahlen nicht möglich.
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Wie würdet ihr diese Aufgabe lösen? Gibt es überhaupt eine Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Mi 21.07.2010 | | Autor: | wauwau |
Bedenke folgende Angaben in deiner Aufgabe:
ganze Zahlen sind nicht immer positiv!!!
absoluter Fehler ist gemeint! (du hast rel. Fehler angeschaut das aber richtig und ändert das Ergebnis nicht wesentlich)
Daher sicherlich die triviale Lösung alle (negativen) ganzen Zahlen, wo [mm] $e^{2x} [/mm] < 0,5$ ist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 21.07.2010 | | Autor: | techi |
Wir haben das ganze nun mal von 0 bis -1 gerechnet und erhalten dort bei -0,5 einen absoluten Fehler von 0,5xxx.
Somit ist auch ein Interpolieren von negativen Zahlen nicht möglich. Sozusagen gibt es also keine Lösung der Aufgabe, bzw. als Lösung das ein Interpolieren bis zu keiner ganzen Zahl möglich ist?
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Hi techi ,
> Wir haben das ganze nun mal von 0 bis -1 gerechnet und
> erhalten dort bei -0,5 einen absoluten Fehler von 0,5xxx.
das kann nicht sein !
> Somit ist auch ein Interpolieren von negativen Zahlen nicht
> möglich. Sozusagen gibt es also keine Lösung der Aufgabe,
> bzw. als Lösung das ein Interpolieren bis zu keiner ganzen
> Zahl möglich ist?
Nein. Ich weiß nicht, ob du die Aufgabe wirklich richtig ver-
standen hast. Hast du dir z.B. eine Zeichnung gemacht ?
Man vergleicht also die Kurve $\ y\ =\ f(x)\ =\ [mm] e^{2*x}$
[/mm]
mit dem Streckenzug, der aus lauter Sehnen der Kurve
besteht, welche jeweils einen Punkt $\ [mm] P_k(k\ [/mm] |\ f(k))$ mit dem
nächsten Punkt $\ [mm] P_{k+1}(k+1\ [/mm] |\ f(k+1))$ verbinden.
Nun geht es zunächst darum, in einem einzelnen (aber beliebigen)
solchen Intervall [k ... k+1] die Stelle herauszufinden, an der
die Sehne am weitesten von der Kurve abweicht. Man kann
einen Term besimmen, der diese maximale Abweichung [mm] d_{max}(k)
[/mm]
ausdrückt. In einem weiteren Schritt muss man dann prüfen,
für welche Werte von k die Ungleichung [mm] d_{max}(k)<0.05 [/mm] gilt.
LG Al-Chwarizmi
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