Lineare Optimierung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:37 Mi 15.04.2009 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Ein Baustoffhändler beliefert eine Baustelle mit Zement und Kalk. Sein LKW kann höchstens 3000kg laden. 1 Sack Zement wiegt 50 kg, 1 Sack Kalk 35 kg. DIe BAusetlle braucht mindestens halb und höchstens doppelt soviel Zement wie Kalk.
Für welche lineare Funktion G : x+y nimmt einen möglichst großen Gewinn an? |
Hi, also eine Funktion habe ich schon aufgestellt:
50x + 35y < 3000
aber mit der anderen hab ich noch prbleme ( die mit höchsten doppelt so viel und so..)
Wie berechne ich denn jetzt den max. Gewinn?
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:29 Mi 15.04.2009 | | Autor: | mmhkt |
Guten Morgen,
setzt die Ermittlung des Gewinns nicht voraus, dass die Preise für die Artikel bekannt sind?
Sowohl beim Einkauf als auch beim Verkauf?
> Für welche lineare Funktion G : x+y nimmt einen
> möglichst großen Gewinn an?
Fehlt da nicht etwas zwischen "nimmt" und "einen"?
Schönen Gruß
mmhkt
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Hallo,
erstmal zu dem Kommentar: Offenbar ist die Gewinnfunktion durch x+y schon gegeben, wobei im Text ja nicht von x und y die Rede ist. Ich nehme mal an, dass damit die Anzahlen der Säcke Zement (x) und Kalk (y) gemeint ist. Es sollen scheinbar möglichst viele Säcke auf einmal transportiert werden.
Die erste Bedingung hast du ja dann schon genannt, die sich aus der Kapazität des LKW ergibt.
Der andere Satz gibt dir zwei weitere Bedingungen:
1. ... mindestens halb so viel Zement wie Kalk.
2. ... höchstens doppelt so viel Zement wie Kalk.
Ein bisschen mathematischer formuliert:
1. Menge Zement [mm] \ge [/mm] halbe Menge Kalk
2. Menge Zement [mm] \le [/mm] doppelte Menge Kalk
Da x und y die Anzahlen der Säcke sind, aber die nicht die gleichen Mengen enthalten, muss man ein wenig aufpassen:
Die Mengen entsprechen deswegen eben nicht x und y (wie in so vielen anderen Optimierungsaufgaben). Du musst ja gleiche Mengen vergleichen, also [mm] \bruch{x}{50} [/mm] und [mm] \bruch{y}{35}.
[/mm]
Daraus ergeben sich dann die beiden weiteren Ungleichungen, woraus sich das Planungsgebiet ergibt, das du dann mit der "Gewinnfunktion" untersuchen kannst.
Gruß,
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Mi 15.04.2009 | | Autor: | julmarie |
Was ist denn die Gewinnfunktion?
Ich habe ja die Funktionen: 50x +35y = 3000
[mm] \bruch{x}{50} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2}\bruch{y}{35}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{50} [/mm] < [mm] 2\bruch{y}{35}
[/mm]
Aber was ist jetzt die maximale Anzahl und was ist die Gewinnfunktion?
Stehe grad irgendwie auf dem Schlauch..
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Naja,
du hast selbst geschrieben, dass x+y maximal werden soll. Das wäre dann also die Gesamtzahl der transportierten Säcke.
In der Schule macht man das so, dass man ein Planungsgebiet zeichnet, d.h. du müsstest die drei (Un-)Gleichungen als Funktions(un-)gleichung schreiben und zeichnen, dadurch entsteht ein "Gebiet" (das müsste in deinem Fall ein Dreieck geben, wenn mich meine Intuition nicht täuscht), in dem alle deine drei Bedingungen erfüllt sind (also Gesamtgewicht sowie die Mengenverhältnisse von Zement und Kalk).
In diesem Bereich suchst du jetzt die Lösung, bei der x+y am größten wird. Etwas ausführlich: du weißt ja nicht, wie viele Säcke maximal transportiert werden können, also nimmst du x+y = a an, daraus wird y = -x + a, d.h. eine Gerade mit unbekanntem y-Achsenabschnitt. Jetzt kannst du eine beliebige dieser Geraden mit der Steigung -1 zeichnen und verschiebst die, so dass sie gerade noch so eine Lösung aus deinem Gebiet berührt (das wird vermutlich ein Eckpunkt sein). Natürlich sollte das in diesem Fall eine ganzzahlige Lösung sein.
Du kannst auch ohne diese Gerade arbeiten: dann suchst du dir einfach die am weitesten außen liegenden Punkte in deinem gültigen Gebiet und schaust, wo x+y am größten wird.
Aber nochmal zur Sicherheit: das mit x+y habe ich aufgrund deiner ersten Aufgabenstellung vermutet, es wäre auch eine typische Frage, aber ich weiß nicht, ob es stimmt.
Gruß,
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mi 15.04.2009 | | Autor: | julmarie |
danke
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