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| Aufgabe | Ein Freund verrat Ihnen, dass er einen Weg aus der Euro-Krise gefunden
hat. Fur das Rating einer Staatsanleihe sind demnach die folgenden drei
Faktoren wesentlich:
1.) Anzahl der Buchstaben im Landernamen,
2.) der Euphorie-Parameter, der beschreibt, wie viel (positive) Fantasie die Anleihe
auslost,
3.) der Euro-Paramter, der beschreibt, wie stark das Wertpapier mit dem EURUSD-
Wechselkurs zusammenhangt.
Ein Hausmeister bei Standard & Poor's hat Ihrem Freund die richtigen Werte
fur die frei Faktoren verraten: die Anzahl der Buchstaben sollte 5 sein, der
Euphorie-Parameter sollte 10 sein, wahrend der Euro-Parameter 2000 sein sollte.
Ihnen stehen die Anleihen von drei Staaten zur Verfugung:
Name # Buchstaben Euphorie Euro-Paramter
Italien 7 3 1000
Griechenland 12 1 5000
Luxemburg 9 8 500
Stellen Sie ein LP-Modell fur ein Portfolio auf, das dem Tipp des Hausmeisters
moglichst nahe kommt. Gehen Sie davon aus, dass alle Leerverkaufe verboten sind
(d.h. negative Wertpapieranteile sind nicht zulassig).
Wahlen Sie hierbei eine Modellierung und Zielfunktion, um
a) dem Portfolio aus dem Tipp in der 1-Norm moglichst nahe zu kommen,
b) dem Portfolio aus dem Tipp in der 1-Norm moglichst nahe zu kommen. |
Hallo,
es ist zwar schön das der Professor versucht die Aufgaben anschaulich zu gestalten, aber das da ist ziemlich übertrieben.
Zu meiner Frage.
Ich soll das Optimierungsproblem aufstellen. In Aufgabenteil a) mit der unendlich-Norm.
Allerdings weiß ich nicht genau, was ich machen soll.
Fangen wir nur mal mit der Anzahl der Buchstaben an, die sollen bei Optimalem Wert 5 sein.
Aber wie packe ich das in Bedingungen ?
Kann ich einfach schreiben:
7x1+12x2+9x3 = 5
Dann würde insgesamt folgen:
7x1+12x2+9x3 = 5
3x1+x2+8x3=10
1000x1+5000x2+500x3= 2000
x1 [mm] \ge [/mm] 0
x2 [mm] \ge [/mm] 0
x3 [mm] \ge [/mm] 0
Bisher hatten wir in Lineare Optimierung nur Ungleichungen, dies wäre aber hier nicht gegeben.
Und was ist überhaupt meine Zielfunktion ?
Besten Dank für Tipps
Albert
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Hallo!
> Ein Freund verrat Ihnen, dass er einen Weg aus der
> Euro-Krise gefunden
> hat. Fur das Rating einer Staatsanleihe sind demnach die
> folgenden drei
> Faktoren wesentlich:
> 1.) Anzahl der Buchstaben im Landernamen,
> 2.) der Euphorie-Parameter, der beschreibt, wie viel
> (positive) Fantasie die Anleihe
> auslost,
> 3.) der Euro-Paramter, der beschreibt, wie stark das
> Wertpapier mit dem EURUSD-
> Wechselkurs zusammenhangt.
> Ein Hausmeister bei Standard & Poor's hat Ihrem Freund die
> richtigen Werte
> fur die frei Faktoren verraten:
> die Anzahl der Buchstaben
> sollte 5 sein, der
> Euphorie-Parameter sollte 10 sein, wahrend der
> Euro-Parameter 2000 sein sollte.
> Ihnen stehen die Anleihen von drei Staaten zur
> Verfugung:
> Name # Buchstaben Euphorie
> Euro-Paramter
> Italien 7 3
> 1000
> Griechenland 12 1
> 5000
> Luxemburg 9 8
> 500
> Stellen Sie ein LP-Modell fur ein Portfolio auf, das dem
> Tipp des Hausmeisters
> moglichst nahe kommt. Gehen Sie davon aus, dass alle
> Leerverkaufe verboten sind
> (d.h. negative Wertpapieranteile sind nicht zulassig).
> Wahlen Sie hierbei eine Modellierung und Zielfunktion,
> um
> a) dem Portfolio aus dem Tipp in der 1-Norm moglichst
> nahe zu kommen,
> b) dem Portfolio aus dem Tipp in der 1-Norm moglichst
> nahe zu kommen.
> Hallo,
>
> es ist zwar schön das der Professor versucht die Aufgaben
> anschaulich zu gestalten, aber das da ist ziemlich
> übertrieben.
>
> Zu meiner Frage.
> Ich soll das Optimierungsproblem aufstellen. In
> Aufgabenteil a) mit der unendlich-Norm.
> Allerdings weiß ich nicht genau, was ich machen soll.
> Fangen wir nur mal mit der Anzahl der Buchstaben an, die
> sollen bei Optimalem Wert 5 sein.
> Aber wie packe ich das in Bedingungen ?
> Kann ich einfach schreiben:
> 7x1+12x2+9x3 = 5
>
> Dann würde insgesamt folgen:
> 7x1+12x2+9x3 = 5
> 3x1+x2+8x3=10
> 1000x1+5000x2+500x3= 2000
> x1 [mm]\ge[/mm] 0
> x2 [mm]\ge[/mm] 0
> x3 [mm]\ge[/mm] 0
>
> Bisher hatten wir in Lineare Optimierung nur Ungleichungen,
> dies wäre aber hier nicht gegeben.
Ich würde hier vorschlagen, eine Kompromisslösung auf der Grundlage von Abstandsfunktionen zu ermitteln. Dazu bestimmt man zunächst für jedes Ziel i gesondert den optimalen Zielfunktionswert [mm] z_{i}^{\*}. [/mm] Dann wird eine Lösung x des gesamten Problems so gesucht, dass ein möglichst geringer "Abstand" zwischen den [mm] z_{i}^{\*} [/mm] und den durch x gewährleisteten Zielfunktionswerten besteht. Eine allgemeine zu minimierende Abstandsfunktion könnte dann beispielsweise lauten
[mm] \Phi(x)=\begin{cases}\vektor{\summe_{i=1}^{t}|z_{i}^{\*}-z_{i}(x) |^{p}}^{\bruch{1}{p}} , & \mbox{für } 1\le{p}<\infty \mbox{ } \\ max[|z_{i}^{\*}-z_{i}(x)| \forall i=1,\ldots{t}], & \mbox{für } p=\infty \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Je größer der Parameter p gewählt wird, desto stärker werden große Abweichungen bestraft. Für [mm] p\to\infty [/mm] bewertet [mm] \Phi [/mm] dann ausschließlich die größte auftretende Zielabweichung.
> Und was ist überhaupt meine Zielfunktion ?
>
> Besten Dank für Tipps
> Albert
Viele Grüße, Marcel
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> Hallo!
>
>
> > Ein Freund verrat Ihnen, dass er einen Weg aus der
> > Euro-Krise gefunden
> > hat. Fur das Rating einer Staatsanleihe sind demnach
> die
> > folgenden drei
> > Faktoren wesentlich:
> > 1.) Anzahl der Buchstaben im Landernamen,
> > 2.) der Euphorie-Parameter, der beschreibt, wie viel
> > (positive) Fantasie die Anleihe
> > auslost,
> > 3.) der Euro-Paramter, der beschreibt, wie stark das
> > Wertpapier mit dem EURUSD-
> > Wechselkurs zusammenhangt.
> > Ein Hausmeister bei Standard & Poor's hat Ihrem Freund
> die
> > richtigen Werte
> > fur die frei Faktoren verraten:
> > die Anzahl der Buchstaben
> > sollte 5 sein, der
> > Euphorie-Parameter sollte 10 sein, wahrend der
> > Euro-Parameter 2000 sein sollte.
>
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> > Ihnen stehen die Anleihen von drei Staaten zur
> > Verfugung:
> > Name # Buchstaben Euphorie
>
> > Euro-Paramter
> > Italien 7 3
>
> > 1000
> > Griechenland 12 1
>
> > 5000
> > Luxemburg 9
> 8
> > 500
> > Stellen Sie ein LP-Modell fur ein Portfolio auf, das
> dem
> > Tipp des Hausmeisters
> > moglichst nahe kommt. Gehen Sie davon aus, dass alle
> > Leerverkaufe verboten sind
> > (d.h. negative Wertpapieranteile sind nicht
> zulassig).
> > Wahlen Sie hierbei eine Modellierung und Zielfunktion,
> > um
> > a) dem Portfolio aus dem Tipp in der 1-Norm moglichst
> > nahe zu kommen,
> > b) dem Portfolio aus dem Tipp in der 1-Norm moglichst
> > nahe zu kommen.
> > Hallo,
> >
> > es ist zwar schön das der Professor versucht die Aufgaben
> > anschaulich zu gestalten, aber das da ist ziemlich
> > übertrieben.
> >
> > Zu meiner Frage.
> > Ich soll das Optimierungsproblem aufstellen. In
> > Aufgabenteil a) mit der unendlich-Norm.
> > Allerdings weiß ich nicht genau, was ich machen soll.
> > Fangen wir nur mal mit der Anzahl der Buchstaben an,
> die
> > sollen bei Optimalem Wert 5 sein.
> > Aber wie packe ich das in Bedingungen ?
> > Kann ich einfach schreiben:
> > 7x1+12x2+9x3 = 5
> >
> > Dann würde insgesamt folgen:
> > 7x1+12x2+9x3 = 5
> > 3x1+x2+8x3=10
> > 1000x1+5000x2+500x3= 2000
> > x1 [mm]\ge[/mm] 0
> > x2 [mm]\ge[/mm] 0
> > x3 [mm]\ge[/mm] 0
> >
> > Bisher hatten wir in Lineare Optimierung nur Ungleichungen,
> > dies wäre aber hier nicht gegeben.
>
>
> Ich würde hier vorschlagen, eine Kompromisslösung auf der
> Grundlage von Abstandsfunktionen zu ermitteln. Dazu
> bestimmt man zunächst für jedes Ziel i gesondert den
> optimalen Zielfunktionswert [mm]z_{i}^{\*}.[/mm] Dann wird eine
> Lösung x des gesamten Problems so gesucht, dass ein
> möglichst geringer "Abstand" zwischen den [mm]z_{i}^{\*}[/mm] und
> den durch x gewährleisteten Zielfunktionswerten besteht.
> Eine allgemeine zu minimierende Abstandsfunktion könnte
> dann beispielsweise lauten
>
> [mm]\Phi(x)=\begin{cases}\vektor{\summe_{i=1}^{t}|z_{i}^{\*}-z_{i}(x) |^{p}}^{\bruch{1}{p}} , & \mbox{für } 1\le{p}<\infty \mbox{ } \\ max[|z_{i}^{\*}-z_{i}(x)| \forall i=1,\ldots{t}], & \mbox{für } p=\infty \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
>
> Je größer der Parameter p gewählt wird, desto stärker
> werden große Abweichungen bestraft. Für [mm]p\to\infty[/mm]
> bewertet [mm]\Phi[/mm] dann ausschließlich die größte auftretende
> Zielabweichung.
>
Vielen Dank, aber stimmen dann zuerst mal die Bedingungen so, wie ich sie dahin geschrieben habe ?
Wenn ich diese Zielfunktion nehmen würde, müsste ich in Teil a) p = 1 und in teil b) p=unendlich setzen oder?
>
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> > Und was ist überhaupt meine Zielfunktion ?
> >
> > Besten Dank für Tipps
> > Albert
>
>
>
>
>
> Viele Grüße, Marcel
>
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Hallo!
Hinsichtlich deiner Nebenbedingungen würde ich eine Art Abstands- oder Distanzvariable d einführen, mit der ich dann für den maximal zu akzeptierenden Abstand [mm] |z_{i}^{\*}-z_{i}(x)| [/mm] das Problem in ein LP überführen kann.
Für den dann Fall [mm] p=\infty [/mm] würde ich im Zuge dessen und unter Berücksichtung der Hausmeisterangaben (diese Angaben entsprechen den isolierten Lösungen des Optimierungsproblems bezüglich der drei Einflussfaktoren) wie folgt ansetzen:
Minimiere [mm] \Phi(x,d)=d
[/mm]
unter den Nebenbedingungen
[mm] 5-7x_{1}-9x_{2}-15x_{3}\le{d}
[/mm]
[mm] 10-3x_{1}-x_{2}-8x_{3}\le{d}
[/mm]
[mm] 2000-1000x_{1}-5000x_{2}-500x_{3}\le{d}
[/mm]
[mm] x_{1},x_{2},x_{3}\ge0
[/mm]
Für den Fall p=1 würde ich zunächst die folgende Zielfunktion vorschlagen:
Minimiere [mm] \Phi(x)=|5-7x_{1}-12x_{2}-9x_{3}|+|10-3x_{1}-x_{2}-8x_{3}|+|2000-1000x_{1}-5000x_{2}-500x_{3}|
[/mm]
Aufgrund der Vorgabe der für die isolierten Probleme optimalen Lösungen kann dann auf die Beträge verzichtet werden, sodass eine lineare Zielfunktion entsteht.
Viele Grüße, Marcel
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> Hallo!
>
>
> Hinsichtlich deiner Nebenbedingungen würde ich eine Art
> Abstands- oder Distanzvariable d einführen, mit der ich
> dann für den maximal zu akzeptierenden Abstand
> [mm]|z_{i}^{\*}-z_{i}(x)|[/mm] das Problem in ein LP überführen
> kann.
>
>
> Für den dann Fall [mm]p=\infty[/mm] würde ich im Zuge dessen und
> unter Berücksichtung der Hausmeisterangaben (diese Angaben
> entsprechen den isolierten Lösungen des
> Optimierungsproblems bezüglich der drei Einflussfaktoren)
> wie folgt ansetzen:
>
dies würde also für p = unendlich gelten ?
allerdings ich kenne nur die schreibweise wo unter dem minimieren noch eine Variable steht, nach der minimiert weden soll,
dies wäre hier d . richtig ?
>
> Minimiere [mm]\Phi(x,d)=d[/mm]
>
> unter den Nebenbedingungen
>
> [mm]5-7x_{1}-9x_{2}-15x_{3}\le{d}[/mm]
>
> [mm]10-3x_{1}-x_{2}-8x_{3}\le{d}[/mm]
>
> [mm]2000-1000x_{1}-5000x_{2}-500x_{3}\le{d}[/mm]
>
> [mm]x_{1},x_{2},x_{3}\ge0[/mm]
>
>
>
>
für p=1 das?
aber die nebenbedingungen von oben sind die selben oder ?
> Für den Fall p=1 würde ich zunächst die folgende
> Zielfunktion vorschlagen:
>
>
> Minimiere
> [mm]\Phi(x)=|5-7x_{1}-12x_{2}-9x_{3}|+|10-3x_{1}-x_{2}-8x_{3}|+|2000-1000x_{1}-5000x_{2}-500x_{3}|[/mm]
>
>
> Aufgrund der Vorgabe der für die isolierten Probleme
> optimalen Lösungen kann dann auf die Beträge verzichtet
> werden, sodass eine lineare Zielfunktion entsteht.
>
>
>
>
>
>
>
> Viele Grüße, Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
ziel ist es bei diesem problem einem wert möglichst nahe zu kommen. die nebenbedingungen sind grundsätzlich die selben. für jede nebenbedingung fügst du eine distanzvariable [mm] d_{i} [/mm] ein. diese soll die (positive oder negative) abweichung deiner 3 werte (ländername, euphorie und europarameter) darstellen. ziel ist es nun bei der unendlichnorm die größte abweichung zu minimieren und bei der 1-norm die summe der beträge zu minimieren. als Optimierungsproblem (kein lp) sähe das wie folgt aus:
[mm] min_{x,d} \summe_{i=1}^{3} |d_{i}| [/mm] (für die 1-norm)
[mm] min_{x,d} max_{i=1}^{3} |d_{i}| [/mm] (für die unendlich-norm)
s.d.
[mm] 7x1+12x2+9x3+d_{1} [/mm] = 5
3x1+x2+8x3 + [mm] d_{2}=10
[/mm]
1000x1+5000x2+500x3 + [mm] d_{3}= [/mm] 2000
[mm] x_{i} \ge [/mm] 0 {i=1,2,3}
daraus muss man nun jeweils ein lp bauen. zur zeit ist die zielfunktion nichtlinear, weshalb dies auch kein lp ist. die nebenbedingungen jeweils bleiben erhalten, jedoch kommen weitere hinzu:
für die 1-norm:
[mm] min_{x,d,\alpha} \summe_{i=1}^{3} \alpha_{i} [/mm]
s.d. [mm] \alpha_i \ge d_{i} \ge -\alpha_{i}
[/mm]
für die unendlichnorm (auch maximumsnorm genannt):
[mm] min_{x,d,\alpha} \alpha [/mm]
s.d. [mm] \alpha \ge d_{i} [/mm] (i=1,2,3)
[mm] \alpha \ge -d_{i} [/mm] (i=1,2,3)
dazu die obigen bedingungen und fertig
gruß bernhard
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noch etwas,
Unter "Stellen Sie das Problem auf" versteht man doch nur das Formulieren oder ?
Wirklich ausrechnen muss ich da dann nichts ?
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Nun ja, es wird wohl in jedem Fall auf die Durchführung eines Simplex-Algorithmus hinauslaufen. Die eigentliche gedankliche Leistung steckt jedoch eher in der Modellierung einer solcher Problemstellung. Ob es für dich sinnvoll ist, das dazugehörige Gleichungssystem zu lösen, bleibt im Endeffekt dir überlassen.
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