Lineare Selbstabbildung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:41 Mo 30.01.2012 | | Autor: | tomtom10 |
| Aufgabe | Die lineare Selbstabbildung [mm] \delta [/mm] : [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] werde hinsichtlich der kanonischen Basis beschrieben durch die Matrix
P= [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 3 & -5 }
[/mm]
a) ist die Abbildung bijektiv ?
b) Wie lautet die Matrix Q, die der Umrabbildung [mm] \delta^-1 [/mm] hinsichtlich der kanonischen Basis zugeordnet ist ? Welcher Vektor x [mm] \in \IR^3 [/mm] wird durch die Abbildung [mm] \delta [/mm] auf den Vektor y= [mm] \vektor{-1 \\ 4 \\ -4} [/mm] abgebildet ?
c) Ermittle sämtliche Eigenwerte der Abbildung [mm] \delta [/mm] |
a) [mm] det(P)\not=0 [/mm] -> invertierbarkeit -> bijektivität
b)Q= [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\bruch{5}{4} & \bruch{3}{4}\\ 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} }
[/mm]
Im zweiten Teil würde ich
[mm] -x_{1}=-1
[/mm]
[mm] x_{2}-3x_{3}=4
[/mm]
[mm] 3x_{2}-5x_{3}=-4
[/mm]
lösen -> [mm] x=\vektor{1 \\ -8 \\ -4}
[/mm]
c) Nach bilden des charackteristischen Polynom und lösen des quadratischen Terms erhalte ich die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] = -1, -2, -2
ist das soweit korrekt ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Mo 30.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die lineare Selbstabbildung [mm]\delta[/mm] : [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] werde
> hinsichtlich der kanonischen Basis beschrieben durch die
> Matrix
>
> P= [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 3 & -5 }[/mm]
>
>
> a) ist die Abbildung bijektiv ?
> b) Wie lautet die Matrix Q, die der Umrabbildung [mm]\delta^-1[/mm]
> hinsichtlich der kanonischen Basis zugeordnet ist ? Welcher
> Vektor x [mm]\in \IR^3[/mm] wird durch die Abbildung [mm]\delta[/mm] auf den
> Vektor y= [mm]\vektor{-1 \\ 4 \\ -4}[/mm] abgebildet ?
> c) Ermittle sämtliche Eigenwerte der Abbildung [mm]\delta[/mm]
> a) [mm]det(P)\not=0[/mm] -> invertierbarkeit -> bijektivität
> b)Q= [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\bruch{5}{4} & \bruch{3}{4}\\ 0 & -\bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} }[/mm]
>
> Im zweiten Teil würde ich
>
> [mm]-x_{1}=-1[/mm]
> [mm]x_{2}-3x_{3}=4[/mm]
> [mm]3x_{2}-5x_{3}=-4[/mm]
Bis hier ist alles O.k.
>
> lösen -> [mm]x=\vektor{1 \\ -8 \\ -4}[/mm]
Da hast Du Dich verrechnet.
>
>
> c) Nach bilden des charackteristischen Polynom und lösen
> des quadratischen Terms erhalte ich die Eigenwerte [mm]\lambda[/mm]
> = -1, -2, -2
Stimmt
FRED
>
> ist das soweit korrekt ?
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