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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Lotl89 |
| Aufgabe | Lineare Teilräume
Sind die folgenden Mengen Teilräume des [mm] R^2 [/mm] ?
A = [mm] span{\vektor{0 \\ 1}} [/mm] U [mm] span{\vektor{1 \\ 0}}
[/mm]
B = {v [mm] \in R^2 [/mm] : 2*v1 − v2 = −1},
C = {v [mm] \in R^2 [/mm] : 2*v1 − v2 = 0}.
(a) Zeichnen Sie die Mengen A, B und C.
(b) Beantworten und beweisen Sie Ihre Behauptung.
Antwort:
A, B, C ist Teilraum ist / ist nicht Teilraum |
Hallo, mir wurde heute die Aufgabe zur Lösung gestellt und ich habe keine Ahnung wie ich hier rangehen soll... habe das Thema auch nicht wirklich verstanden.
Auf anhieb würde ich sagen, dass A B und C alle Teilräume von [mm] R^2 [/mm] sind, da sie ja nur x und y - werte haben....
soll ich B und C dann einfach als normale geraden in ein koordinatensystem zeichnen? aber was mache ich dann bei A?
vielen dank schon mal für die hilfe
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Hallo Lotl89,
> Lineare Teilräume
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> Sind die folgenden Mengen Teilräume des [mm]R^2[/mm] ?
> A = [mm]span{\vektor{0 \\
1}}[/mm] U [mm]span{\vektor{1 \\
0}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> B = {v [mm]\in R^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: 2*v1 − v2 = −1},
> C = {v [mm]\in R^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: 2*v1 − v2 = 0}.
>
> (a) Zeichnen Sie die Mengen A, B und C.
>
> (b) Beantworten und beweisen Sie Ihre Behauptung.
>
> Antwort:
> A, B, C ist Teilraum ist / ist nicht Teilraum
> Hallo, mir wurde heute die Aufgabe zur Lösung gestellt
> und ich habe keine Ahnung wie ich hier rangehen soll...
> habe das Thema auch nicht wirklich verstanden.
>
> Auf anhieb würde ich sagen, dass A B und C alle Teilräume
> von [mm]R^2[/mm] sind, da sie ja nur x und y - werte haben....
Nein, wieso sollte das eine Begründung für "Teilraum sein" sein??
In einem (Unter-/Teil-)(Vektor-)Raum muss immer der Nullvektor drin sein, hier also [mm]\vektor{0\\
0}[/mm]
Ist der in [mm]B[/mm] ?
Für [mm]A[/mm] und [mm]C[/mm] ist der Nullvektor drin, prüfe dort die anderen beiden Unterraumkriterien ..
>
> soll ich B und C dann einfach als normale geraden in ein
> koordinatensystem zeichnen? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau, nenne vllt. temporär [mm]v_1=x[/mm] und [mm]v_2=y[/mm], dann bist du "näher" am "normalen" Koordinatensystem 
> aber was mache ich dann bei A?
Na, was ist denn der [mm]\operatorname{span}\left(\vektor{0\\
1}\right)[/mm] ?
Doch alle (reellen) Vielfachen der 2.Komponente (also die y-Achse (oder hier die [mm]v_2[/mm]-Achse))
Und der andere Spann?
Also die Vereinigung?
Dies ist kein UVR des [mm]\IR^2[/mm]
Widerlege durch ein Gegenbsp. die Abgeschlossenheit bzgl. Vektoraddition.
>
> vielen dank schon mal für die hilfe
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Lotl89 |
hallo,
welche sind denn die beiden anderen unterraumkriterien?
springt bei A dann also auch einfach eine gerade heraus oder spannen beide vektoren eine ebene auf? ich kann das nicht wirklich sehen.
danke im voraus.
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Hallo nochmal,
> hallo,
> welche sind denn die beiden anderen unterraumkriterien?
Das nachzuschlagen in deinen Aufzeichnungen oder sonst irgendwo ist doch wohl deine Aufgabe ...
> springt bei A dann also auch einfach eine gerade heraus
> oder spannen beide vektoren eine ebene auf?
Weder noch.
Der Spann des ersten Vektors ist die y-Achse (oder [mm] v_2-Achse), [/mm] der des zweiten entsprechend die andere Koordinatenachse.
A ist also das Koordinatenkreuz und das ist kein UVR des [mm]\IR^2[/mm], wie ich oben schon angedeutet habe ...
> ich kann das
> nicht wirklich sehen.
Jetzt aber!
>
> danke im voraus.
Gruß
schachuzipus
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