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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Di 09.06.2009 | | Autor: | kilchi |
| Aufgabe | Geben sie, falls die Transformation linear ist, die Standartmatrix an.
1.) T: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] , [mm] T(x_1,x_2) [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] + [mm] 3x_2, x_1, 2x_2)
[/mm]
2.) T: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] , [mm] T(x_1,x_2,x_3) [/mm] = (0,0)
3.) T: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] , [mm] T(x_1,x_2) [/mm] = (1,1)
4.) T: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] , T ist die Spiegelung an der xy-Ebene
5.) T: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] , T ist die Orthogonalprojektion auf die xy-Ebene
6.) T: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , [mm] T(\vec{x}) [/mm] = [mm] |\vec{x})| [/mm] |
Hallo Zusammen
Ich verstehe nach wie vor nicht wie ich herausfinden kann ob das jeweils eine lineare Transformation ist oder nicht! Wie kann man das einfach herausfinden? So, dass man als nicht Mathematiker das herausfinden kann... Wer kann mir hier helfen.
Immerhin finde ich ab und zu (bei einfacheren Aufgaben) die Standartmatrix heraus... Leider aber auch nicht immer.....Kann ich eigentlich nur eine Standartmatrix finden, wenn das Ganze linear ist?
Danke jetzt schon für Hilfen aller Art!
zu 1.) [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
zu 2.) was muss das für eine Matrix sein 3x2 oder wie bestimme ich hier die Matrix?
zu 3.) keinen Plan!
zu [mm] 4.)\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
zu 5.) ... (?) [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] (?)
zu 6.) keine Idee!!!
Standartmatrix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Di 09.06.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Geben sie, falls die Transformation linear ist, die
> Standartmatrix an.
>
> 1.) T: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] , [mm]T(x_1,x_2)[/mm] = [mm](x_1[/mm] + [mm]3x_2, x_1, 2x_2)[/mm]
>
> 2.) T: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] , [mm]T(x_1,x_2,x_3)[/mm] = (0,0)
> 3.) T: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] , [mm]T(x_1,x_2)[/mm] = (1,1)
> 4.) T: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] , T ist die Spiegelung an der
> xy-Ebene
> 5.) T: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] , T ist die Orthogonalprojektion
> auf die xy-Ebene
> 6.) T: [mm]\IR^n[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , [mm]T(\vec{x})[/mm] = [mm]|\vec{x})|[/mm]
> Hallo Zusammen
>
> Ich verstehe nach wie vor nicht wie ich herausfinden kann
> ob das jeweils eine lineare Transformation ist oder nicht!
Ganz einfach: Prüfe die beiden Linearitätsbedingungen:
1. [mm] $T(x_1+y_1, x_2+y_2)=T(x_1, x_2)+T(y_1, y_2)$
[/mm]
2. [mm] $T(r*x_1, r*x_2)=r*T(x_1, x_2)$
[/mm]
für den [mm] $\IR^3$ [/mm] entsprechend.
> Immerhin finde ich ab und zu (bei einfacheren Aufgaben) die
> Standartmatrix heraus... Leider aber auch nicht
> immer.....Kann ich eigentlich nur eine Standartmatrix
> finden, wenn das Ganze linear ist?
ja, denn jede lineare Abbildung [mm] $\IR^n \mapsto \IR^m$ [/mm] läßt sich durch genau eine m x n - Matrix darstellen und jede m x n - Matrix beschreibt eine lineare Abbildung [mm] $\IR^n \mapsto \IR^m$.
[/mm]
> zu 1.) [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
Richtig.
> zu 2.) was muss
> das für eine Matrix sein 3x2
ja.
oder wie bestimme ich hier die
> Matrix?
überleg noch mal...
> zu 3.) keinen Plan!
prüfe erstmal die Linearität.
> zu [mm]4.)\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
das ist die Einheitsmatrix, die entspricht der Identität, macht also gar nichts.
> zu 5.)
> ... (?) [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] (?)
richtig.
> zu 6.) keine Idee!!!
prüfe erst die Linearität 
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Di 09.06.2009 | | Autor: | kilchi |
Besten Dank für deine Antwort.
>>
> Ganz einfach: Prüfe die beiden Linearitätsbedingungen:
>
> 1. [mm]T(x_1+y_1, x_2+y_2)=T(x_1, x_2)+T(y_1, y_2)[/mm]
> 2. [mm]T(r*x_1, r*x_2)=r*T(x_1, x_2)[/mm]
>
> für den [mm]\IR^3[/mm] entsprechend.
hier fängt das ganz schon an... Ich habe diese Definitionen auch in meinen Unterlagen, aber ich verstehe das nicht mit diesen beiden Bedingungen! D.h. ich weiss nicht wie ich das anwenden muss! Kannst du mir nicht mal das 1. Beispiel mit diesen Bedingungen vorrechnen, damit ich das ganze hoffentlich verstehe?
> > 1.) T: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] , [mm]T(x_1,x_2)[/mm] = [mm](x_1[/mm] + [mm]3x_2, x_1, 2x_2)[/mm]
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Di 09.06.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Besten Dank für deine Antwort.
>
> >>
> > Ganz einfach: Prüfe die beiden Linearitätsbedingungen:
> >
> > 1. [mm]T(x_1+y_1, x_2+y_2)=T(x_1, x_2)+T(y_1, y_2)[/mm]
> > 2.
> [mm]T(r*x_1, r*x_2)=r*T(x_1, x_2)[/mm]
> >
> > für den [mm]\IR^3[/mm] entsprechend.
>
>
> hier fängt das ganz schon an... Ich habe diese Definitionen
> auch in meinen Unterlagen, aber ich verstehe das nicht mit
> diesen beiden Bedingungen! D.h. ich weiss nicht wie ich das
> anwenden muss! Kannst du mir nicht mal das 1. Beispiel mit
> diesen Bedingungen vorrechnen, damit ich das ganze
> hoffentlich verstehe?
>
> > > 1.) T: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] , [mm]T(x_1,x_2)[/mm] = [mm](x_1[/mm] + [mm]3x_2, x_1, 2x_2)[/mm]
setze hier einfach überall dort, wo [mm] $x_1$ [/mm] steht stattdessen [mm] $(x_1+y_1)$ [/mm] ein und überall dort, wo [mm] $x_2$ [/mm] steht stattdessen [mm] $(x_2+y_2)$. [/mm] Dann berechne [mm] $T(x_1, x_2)$ [/mm] und [mm] $T(y_1, y_2)$ [/mm] durch einsetzen jeweils separat, addiere und vergleiche die beiden Ergebnisse.
Wenn du es versuchst, schau ich es mir an.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Di 09.06.2009 | | Autor: | kilchi |
Das wäre super! Besten Dank für deine Bemühungen. Ich versuche es also mal...
> > > > 1.) T: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] , [mm]T(x_1,x_2)[/mm] = [mm](x_1[/mm] + [mm]3x_2, x_1, 2x_2)[/mm]
>
Das würde dann wohl so aussehen.
( [mm] x_1 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] + 3 [mm] x_2 [/mm] + [mm] 3y_2, x_1 [/mm] + [mm] x_2, 2x_2 [/mm] + [mm] 2y_2)
[/mm]
Jetzt muss ich T [mm] (x_1,x_2) [/mm] und T [mm] (y_1,y_2) [/mm] berechnen. Kann ich da irgenwelche Zahlen nehmen? oder muss ich bestimmte nehmen? Theoretisch müsste ich ja nehmen können was ich will, oder müssen [mm] x_1 [/mm] und [mm] y_1 [/mm] gleich sein? Wie kann ich das sonst vergleichen?
T [mm] (x_1, x_2) [/mm] = (1,2) => (7, 3, 4)... stimmt das überhaupt?
T [mm] (y_1, y_2) [/mm] = (muss das jetzt gleich sein?) (1,2) => (7,0,4)
addiert => [mm] T(x_1,x_2) [/mm] + [mm] T(y_1,y_2) [/mm] = (7,3,4)+(7,0,4) = (14,3,8)
und das müsste jetzt das gleiche geben wie bei der genzen Gleichung oben?
( [mm] x_1 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] + 3 [mm] x_2 [/mm] + [mm] 3y_2, x_1 [/mm] + [mm] x_2, 2x_2 [/mm] + [mm] 2y_2) [/mm] =
( 1 + 1 + 6 + 6 , 1 + 2 , 4 + 4 ) = (14,3,8)
stimmt das?
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Hallo kilchi,
> Das wäre super! Besten Dank für deine Bemühungen. Ich
> versuche es also mal...
>
> > > > > 1.) T: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] , [mm]T(x_1,x_2)[/mm] = [mm](x_1[/mm] + [mm]3x_2, x_1, 2x_2)[/mm]
>
> >
>
>
> Das würde dann wohl so aussehen.
>
[mm] $T((x_1,x_2)+(y_1,y_2))=T((x_1+y_1,x_2+y_2)=...$
[/mm]
> ( [mm]x_1[/mm] + [mm]y_1[/mm] + 3 [mm]x_2[/mm] + [mm]3y_2, x_1[/mm] + [mm]x_2, 2x_2[/mm] + [mm]2y_2)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt muss ich T [mm](x_1,x_2)[/mm] und T [mm](y_1,y_2)[/mm] berechnen. Kann
> ich da irgenwelche Zahlen nehmen?
Nein, das musst du allg. berechnen:
[mm] $T((x_1,x_2))=(x_1+3x_2,x_1,2x_2)$ [/mm] und [mm] $T((y_1,y_2))=(y_1+3y_2,y_1,2y_2)$
[/mm]
Was ist dann [mm] $T((x_1,x_2))+T((y_1+y_2))$ [/mm] ?
> oder muss ich bestimmte
> nehmen? Theoretisch müsste ich ja nehmen können was ich
> will, oder müssen [mm]x_1[/mm] und [mm]y_1[/mm] gleich sein? Wie kann ich das
> sonst vergleichen?
>
> T [mm](x_1, x_2)[/mm] = (1,2) => (7, 3, 4)... stimmt das überhaupt?
> T [mm](y_1, y_2)[/mm] = (muss das jetzt gleich sein?) (1,2) =>
> (7,0,4)
>
> addiert => [mm]T(x_1,x_2)[/mm] + [mm]T(y_1,y_2)[/mm] = (7,3,4)+(7,0,4) =
> (14,3,8)
>
> und das müsste jetzt das gleiche geben wie bei der genzen
> Gleichung oben?
>
> ( [mm]x_1[/mm] + [mm]y_1[/mm] + 3 [mm]x_2[/mm] + [mm]3y_2, x_1[/mm] + [mm]x_2, 2x_2[/mm] + [mm]2y_2)[/mm] =
> ( 1 + 1 + 6 + 6 , 1 + 2 , 4
> + 4 ) = (14,3,8)
>
> stimmt das?
Ein Bsp. reicht nicht als Beweis, mache es allg. wie oben beschrieben, setze nun mal alles zusammen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Di 09.06.2009 | | Autor: | kilchi |
>
> [mm]T((x_1,x_2)+(y_1,y_2))=T((x_1+y_1,x_2+y_2)=...[/mm]
>
> > ( [mm]x_1[/mm] + [mm]y_1[/mm] + 3 [mm]x_2[/mm] + [mm]3y_2, x_1[/mm] + [mm]x_2, 2x_2[/mm] + [mm]2y_2)[/mm]
> >
>>
> Was ist dann [mm]T((x_1,x_2))+T((y_1+y_2))[/mm] ?
>
Ja, also wenn ich das jetzt addiere gibt es das obere Resultat. Das würde dann schon reichen???
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Hallo nochmal,
> >
> > [mm]T((x_1,x_2)+(y_1,y_2))=T((x_1+y_1,x_2+y_2)=...[/mm]
> >
> > > ( [mm]x_1[/mm] + [mm]y_1[/mm] + 3 [mm]x_2[/mm] + [mm]3y_2, x_1[/mm] + [mm]x_2, 2x_2[/mm] + [mm]2y_2)[/mm]
> > >
> >>
> > Was ist dann [mm]T((x_1,x_2))+T((y_1+y_2))[/mm] ?
> >
>
> Ja, also wenn ich das jetzt addiere gibt es das obere
> Resultat. Das würde dann schon reichen???
Ja, das ist dann die 1.Linearitätsbedingung. Es waren ja [mm] $(x_1,x_2), (y_1,y_2)$ [/mm] beliebig gewählt, also hast du einen allgemeingültigen Beweis für 1.
Nun weiter mit der 2. Bedingung ... rechne das genauso nach ...
LG
schachuzipus
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