Lineare (Un-)Abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Di 30.11.2004 | | Autor: | Wanja |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!!
Ich habe Probleme mit den LAAG-Übungsaufgaben diese Woche. Irgendwie verstehe ich sie nicht:
1. Sei V ein K-Vektorraum. Beweisen Sie:
Die Vektoren { [mm] a_{1},...,a_{m} [/mm] }, [mm] (m\ge(2)) [/mm] sind genau dann linear abhängig, wenn wenigstens einer von ihnen eine Linearkombination der übrigen ist.
2.Sei V ein K- Vektorraum und sei M={ [mm] a_{1},...,a_{n}, [/mm] b, [mm] b_{1},...,b_{m}, [/mm] c } eine Menge von Vektoren aus V mit [mm] n\ge(2) [/mm] und [mm] m\ge(1)
[/mm]
Beweisen Sie: Ist der Vektor b von { [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] } linear abhängig, aber nicht von { [mm] a_{1},...,a_{n-1} [/mm] }, dann ist [mm] a_{n} [/mm] von { [mm] a_{1},...,a_{n-1}, [/mm] b } linear abhängig.
Von diesen Aufgaben habe ich noch mehr zu lösen. Ich habe in Büchern nach Hilfe gesucht, aber nichts ähnliches gefunden. kann mir jemand einen Tip geben? Wie kann ein Vektor zum Bsp. von { [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] } linear abhängig sein, aber nicht von { [mm] a_{1},...,a_{n-1} [/mm] }?? Das kapier ich nicht.
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Hallo Wanja!
> 1. Sei V ein K-Vektorraum. Beweisen Sie:
> Die Vektoren { [mm] a_{1},...,a_{m} [/mm] }, [mm] (m\ge(2)) [/mm] sind genau
> dann linear abhängig, wenn wenigstens einer von ihnen eine
> Linearkombination der übrigen ist.
Wie man das jetzt mathematisch korrekt aufschreibt, weiß ich nicht, aber ich denke, das dürfte recht trivial sein. Wenn ein Vektor eine Linearkombination der übrigen ist, heißt das ja, dass ich diesen Vektor mithilfe der anderen darstellen kann. Und genau das bedeutet doch linear abhängig, oder?
Und andersherum:
wenn Vektoren linear abhängig sind, dann lässt sich doch mindestens einer von ihnen durch die anderen darstellen. Für mich ist das eigentlich schon eine Definition, wie habt ihr das denn definiert?
> 2.Sei V ein K- Vektorraum und sei M={ [mm] a_{1},...,a_{n}, [/mm] b,
> [mm] b_{1},...,b_{m}, [/mm] c } eine Menge von Vektoren aus V mit
> [mm] n\ge(2) [/mm] und [mm] m\ge(1)
[/mm]
> Beweisen Sie: Ist der Vektor b von [mm] {a_{1},...,a_{n} } [/mm]
> linear abhängig, aber nicht von [mm] {a_{1},...,a_{n-1}}, [/mm] dann
> ist [mm] a_{n} [/mm] von { [mm] a_{1},...,a_{n-1}, [/mm] b } linear abhängig.
Ich denke, nach den unteren Erklärungen dürfte das - zumindest vom Überlegen her - genauso "einfach" sein, wie obige Aufgabe.
> Von diesen Aufgaben habe ich noch mehr zu lösen. Ich habe
> in Büchern nach Hilfe gesucht, aber nichts ähnliches
> gefunden. kann mir jemand einen Tip geben? Wie kann ein
> Vektor zum Bsp. von { [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] } linear abhängig
> sein, aber nicht von { [mm] a_{1},...,a_{n-1} [/mm] }?? Das kapier ich
> nicht.
Vielleicht solltest du dir erstmal klar machen, was linear abhängig genau bedeutet und dich erst dann an die Aufgaben setzen.
Also, wenn du zum Beispiel die Einheitsvektoren [mm] e_1=\vektor{1\\0\\0}, e_2=\vektor{0\\1\\0} [/mm] und [mm] e_3=\vektor{0\\0\\1}nimmst, [/mm] dann ist zum Beispiel der Vektor [mm] v=\vektor{0\\0\\2} [/mm] von diesen dreien linear abhängig, nämliche:
[mm] v=0*e_1+0*e_2+2*e_3
[/mm]
Wenn du aber nur [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] nimmst, so ist dein v davon linear unabhängig. Siehst du das? Das war doch deine Frage, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Di 30.11.2004 | | Autor: | Wanja |
Danke erstmal für deine Reaktion, aber für mich sind die Aufgaben leider nicht so einfach. Sorry!! Studienanfängerproblem! Ich habe mir die Definition für Lineare Abhängigkeit und Linearkombination schon oft durchgelesen, aber es klappt alles nicht so gut mit der Beweisführung. Aufgabe 1 hab ich auch erst gedacht, dass sie trivial ist.Scheint aber doch nicht so. Auf die erste Aufgabe gibt es auch viele Punkte. Hmmm, ich werd's weiter versuchen. Wenn mir der Matheraum noch ein paar Hilfestellungen geben würde, wäre das echt super!!!
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Hi!
Also 1. ist wirklich ganz einfach.
Ich hoffe du hattest die gleiche Def. für lin. Unabhängigkeit.
Meine lautet:
[mm] v_1,...,v_n [/mm] heißen linear unabhängig, wenn gilt
[mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_iv_i=0 \Rightarrow \lambda_i=0, [/mm] i=1,...,n
Du sollst zeigen: [mm] a_1,...,a_m [/mm] lin. abhängig [mm] \gdw [/mm] wenigstens ein Vektor ist Linearkombination der übrigen
stattdessen kannst du aber auch zeigen: [mm] a_1,...,a_m [/mm] lin. unabhängig [mm] \gdw [/mm] keiner der Vektoren ist Linearkombination der übrigen (das finde ich einfacher)
[mm] "\Rightarrow": a_1,...,a_m [/mm] seien lin. unabhängig
nimm an, dass j ex., so dass [mm] a_j=\sum_{i=1, i\not=j}^m\lambda_ia_i
[/mm]
jetzt kannst du leicht zeigen, dass [mm] a_1,...,a_m [/mm] nicht lin. unabhängig sind, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist
[mm] "\Leftarrow": [/mm] keines der [mm] a_i [/mm] sei Linearkombination der anderen
nimm an, dass [mm] a_1,...,a_m [/mm] lin. abhängig. Es gibt also ein [mm] \lambda_i\not [/mm] =0, so dass [mm] 0=\sum_{j=1}^m\lambda_ja_j=\sum_{j=1, j\not =i}^m\lambda_ja_j+\lambda_ia_i
[/mm]
jetzt kannst du zeigen, dass [mm] a_i [/mm] Linearkombination der übrigen ist, was wieder ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.
2. ist b lin. abhängig von [mm] {a_1, ..., a_n}, [/mm] wenn b Linearkombination der [mm] a_i [/mm] ist? Dann wäre die Aufgabe auch sehr einfach.
Dann gibt es [mm] \lambda_i, [/mm] so dass [mm] b=\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i [/mm] und [mm] \lambda_n\not=0, [/mm] da b lin. unabhängig von [mm] {a_1, ..., a_{n-1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_n=\frac{1}{\lambda_n}(\sum_{i=1}^{n-1}(-\lambda_i)a_i+\sum_{i=1}^n\lambda_ia_i) [/mm] also lin. abhängig von [mm] {a_1, ... , a_n}
[/mm]
mfg Verena
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