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| Aufgabe | 1. Sei [mm] K_{2} [/mm] der Körper mit zwei Elementen. Zeigen Sie, dass es keine Teilmenge [mm] M\subset K_{2}^{8} [/mm] mit |M|=10 gibt, sodass jede achtelementige Untermenge von M linear unabhängig ist.
2. Habe [mm] K_{256} [/mm] 256 Elemente. Zeigen Sie, dass in in [mm] K_{256}^{8} [/mm] zehnelementige Untermengen gibt, sodass eine beliebige Auswahl von acht Vektoren aus dieser Menge linear unabhängig sind.
3. Zeigen Sie, dass es in [mm] \IQ^{3} [/mm] endliche Teilmengen beliebiger Größe gibt, sodass jede Auswahl dreier Vektoren linear unabhängig ist. |
Zu 1.: Ich hab mir gedacht, damit das gehen soll. Müssen auf jedenfall erst mal acht Vektoren linear unabhängig sein. Seien diese mit [mm] v_{i} [/mm] bezeichnet [mm] (1\le i\le8). [/mm] Und damit diese Menge M auch 10 Elemente hat, kommen noch mal zwei Vektoren [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] rein, die für sich selbst linear unabhängig sind (sonst wären sie gleich).
Wenn man die Vektoren als Spalten einer Matrix aufschreibt (zuerst die [mm] v_{i}), [/mm] und diese Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform überführt, dann hat man ohne die w-Spalten zu betrachten, erstmal die 8x8 Einheitsmatrix und dann noch zwei weitere Spalten. Da sich lineare Abhängigkeit beim Überführen in die red. ZSF nicht ändert steht in der neunten oder zehnten Spalte mindestens eine Null (da die ws ja linear unabhängig sind). Also nimmt man die Menge der [mm] v_{i}, [/mm] packt einen Vektor w dazu, und nimmt den [mm] v_{i} [/mm] raus, deren Spaltenentsprechung in red. ZSF dort eine 1 hat, wo die Entsprechung von w eine Null hat. Und das müsste dann eine linear abhängige Teilmenge sein.
Zu 2.: Da habe ich nicht wirklich einen Ansatz.
Zu 3.: Wenn man nur die Existenz solcher Teilmengen zeigen soll, reicht ja auch die Konstruktion einer solchen. Daran habe ich mich dann auch versucht. Nach ein paar "Fehlkonstruktionen" bin ich auf die Menge aller Vektoren [mm] \vektor{3+m\\ 2+2*m\\1+3*m} [/mm] wobei m eine beliebige natürliche Zahl durchläuft, die dann der Mächtigkeit entspricht. Wenn diese Menge wirklich in Dreierpaketen immer linear unabhängig ist, dann ist es wohl nicht so leicht zu zeigen...
Oder kann man das irgendwie leicht zeigen? Oder gibt es einen formelen Beweis, das solche Mengen existieren müssen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Do 17.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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