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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Do 21.09.2017 | | Autor: | James90 |
Hallo!
Es sei V ein K-VR mit Skalarprodukt $<.,.>$, I eine beliebige Indexmenge und [mm] $(v_i)_{i\in I}$ [/mm] eine orthonormale Folge in V.
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] $(v_i)_{i\in I}$ [/mm] linear unabhängig ist.
Mein Versuch:
Sei [mm] $(\lambda_i)_{i\in I}$ [/mm] eine Folge in K mit [mm] \sum_{i\in I}\lambda_i*v_i=0
[/mm]
Auf beiden Seite die (stetige) induzierte Norm: [mm] \|\sum_{i\in I}\lambda_i*v_i\|=\|0\|
[/mm]
Normeigenschaft: [mm] \|\sum_{i\in I}\lambda_i*v_i\|=\sum_{i\in I}\lambda_i*\|v_i\|=0
[/mm]
Orthonormale Eigenschaft: [mm] \sum_{i\in I}\lambda_i*1=0
[/mm]
Also: [mm] \lambda_i=0 [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$
Also: [mm] (v_i)_{i\in I} [/mm] linear unabhängig
Geht das so?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Do 21.09.2017 | | Autor: | luis52 |
> Orthonormale Eigenschaft: [mm]\sum_{i\in I}\lambda_i*1=0[/mm]
> Also:
> [mm]\lambda_i=0[/mm] für alle [mm]i\in I[/mm]
Moin, der Schluss ist windig. Wieso folgt aus [mm]\sum_{i\in I}\lambda_i=0[/mm], dass [mm]\lambda_i=0[/mm] für alle [mm]i\in I[/mm]? Gegenbeispiel: $3-2-1=0$.
Bestimme mal [mm] $$ [/mm] fuer beliebiges $j$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Fr 22.09.2017 | | Autor: | James90 |
>
> > Orthonormale Eigenschaft: [mm]\sum_{i\in I}\lambda_i*1=0[/mm]
> >
> Also:
> > [mm]\lambda_i=0[/mm] für alle [mm]i\in I[/mm]
>
> Moin, der Schluss ist windig. Wieso folgt aus [mm]\sum_{i\in I}\lambda_i=0[/mm],
> dass [mm]\lambda_i=0[/mm] für alle [mm]i\in I[/mm]? Gegenbeispiel: [mm]3-2-1=0[/mm].
Danke, das war echt blöd!
> Bestimme mal [mm][/mm]
> fuer beliebiges [mm]j[/mm].
Ich probiere mal:
[mm] $=\sum\limits_{i\in I}\lambda_i$
[/mm]
Orthogonalität: [mm] =0 [/mm] für [mm] i\not=j
[/mm]
Also: [mm] $\sum\limits_{i\in I}\lambda_i=\lambda_j$
[/mm]
Orthonormalität: [mm] =1 [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$
Also: [mm] \lambda_j=\lambda_j
[/mm]
Wie genau geht es weiter?
Vielen Dank nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Fr 22.09.2017 | | Autor: | luis52 |
>
> Ich probiere mal:
> [mm]=\sum\limits_{i\in I}\lambda_i[/mm]
>
> Orthogonalität: [mm]=0[/mm] für [mm]i\not=j[/mm]
> Also: [mm]\sum\limits_{i\in I}\lambda_i=\lambda_j[/mm]
>
> Orthonormalität: [mm]=1[/mm] für alle [mm]i\in I[/mm]
> Also:
> [mm]\lambda_j=\lambda_j[/mm]
Die Annahme ist $ [mm] \sum_{i\in I}\lambda_i\cdot{}v_i=0 [/mm] $, also ist [mm] $==0$ [/mm] ...
>
> Wie genau geht es weiter?
>
> Vielen Dank nochmal
Gerne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Fr 22.09.2017 | | Autor: | James90 |
Vielen Dank Luis!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Mo 25.09.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Es sei V ein K-VR mit Skalarprodukt [mm]<.,.>[/mm], I eine beliebige
> Indexmenge und [mm](v_i)_{i\in I}[/mm] eine orthonormale Folge in
> V.
> Zeigen Sie, dass die Folge [mm](v_i)_{i\in I}[/mm] linear
> unabhängig ist.
>
> Mein Versuch:
> Sei [mm](\lambda_i)_{i\in I}[/mm] eine Folge in K mit [mm]\sum_{i\in I}\lambda_i*v_i=0[/mm]
Dieser Ansatz stört mich gewaltig ! Für die lineare Unabhängigkeit ist zu zeigen: ist J eine endliche(!) Teilmenge von I und is zu jedem j [mm] \in [/mm] J ein Skalar [mm] \lambda_j [/mm] gegeben mit
[mm]\sum_{j\in J}\lambda_j*v_j=0[/mm],
so folgt [mm] \lambda_j=0 [/mm] für alle j [mm] \in [/mm] J.
Es gelte also [mm]\sum_{j\in J}\lambda_j*v_j=0[/mm].
Mit Pythagoras folgt dann:
$0= [mm] ||\sum_{j\in J}\lambda_j*v_j||^2=\sum_{j\in J}|\lambda_j|^2*||v_j||^2$
[/mm]
Nun sieht man: $ [mm] \lambda_j=0 [/mm] $ für alle j $ [mm] \in [/mm] $ J.
>
> Auf beiden Seite die (stetige) induzierte Norm:
> [mm]\|\sum_{i\in I}\lambda_i*v_i\|=\|0\|[/mm]
> Normeigenschaft:
> [mm]\|\sum_{i\in I}\lambda_i*v_i\|=\sum_{i\in I}\lambda_i*\|v_i\|=0[/mm]
>
> Orthonormale Eigenschaft: [mm]\sum_{i\in I}\lambda_i*1=0[/mm]
> Also:
> [mm]\lambda_i=0[/mm] für alle [mm]i\in I[/mm]
> Also: [mm](v_i)_{i\in I}[/mm] linear
> unabhängig
>
> Geht das so?
>
> Vielen Dank!
>
>
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