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| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren
u = [mm] \vektor{1 \\ 5 \\ 1 \\ -3}, [/mm] v = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 0 \\ 1 }, [/mm] w = [mm] \vektor{0 \\ 2a^2 \\ 2 \\ a - 5 },
[/mm]
wobei a [mm] \in \IR. [/mm] Für welche Werte des Parameters a sind um v und w linear unabhängig? |
Hallöchen,
ich hab mal so ein bisschen gerechnet und das ist bei rausgekommen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 5 & 2 & 2a^2 \\ 1 & 0 & 2 \\ -3 & 1 & a - 5 }
[/mm]
Erste und dritte Zeile voneinander subtrahieren
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 5 & 2 & 2a^2 \\ 0 & 2 & -2 \\ -3 & 1 & a - 5 }
[/mm]
Erste Zeile * 3 und dann mit der vierten addieren
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 5 & 2 & 2a^2 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 7 & a - 5 }
[/mm]
Dritte Zeile * [mm] \bruch{7}{2} [/mm] und dann voneinander subtrahieren
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 5 & 2 & 2a^2 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & -a-12 }
[/mm]
gibt dann (k steht für Koeffizient):
[mm] w_{k} [/mm] = -a - 12
[mm] v_{k} [/mm] = -a - 12
[mm] u_{k} [/mm] = 2a + 12
und ich setzt das alles in die zweite Zeile ein =>
[mm] 2a^2 [/mm] + 54 + 84 = 0
nach a aufgelöst:
[mm] a_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{-54 \pm 47,37}{4}
[/mm]
Für diese beiden a sind die drei Vektoren linear abhängig.
Stimmt der Gedankengang (also der Lösungsweg)? Stimmt das Ergebnis oder hab ich da irgendwo n Fehler?
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> Gegeben seien die Vektoren
>
> u = [mm]\vektor{1 \\
5 \\
1 \\
-3},[/mm] v = [mm]\vektor{2 \\
2 \\
0 \\
1 },[/mm]
> w = [mm]\vektor{0 \\
2a^2 \\
2 \\
a - 5 },[/mm]
>
> wobei a [mm]\in \IR.[/mm] Für welche Werte des Parameters a sind u,
> v und w linear unabhängig?
> Hallöchen,
>
> ich hab mal so ein bisschen gerechnet und das ist bei
> rausgekommen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\
5 & 2 & 2a^2 \\
1 & 0 & 2 \\
-3 & 1 & a - 5 }[/mm]
Hallo,
es ist schonmal richtig, die drei Vektoren als Spalten in eine Matrix zu stellen.
Anschließend ist der Rang der Matrix zu bestimmen.
Ist der Rang gleich der Anzahl der eingesetzen Vektoren, so sind die eingesetzten vektoren linear unabhängig,
ist der Rang kleiner als die Anzahl der eingesetzten Vektoren, so sind sie linear abhängig.
Die Bestimmung des Ranges geschieht, indem man die Matrix auf Zeilenstufenform bringt.
Dies versuchst Du auch:
>
> Erste und dritte Zeile voneinander subtrahieren
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\
5 & 2 & 2a^2 \\
0 & 2 & -2 \\
-3 & 1 & a - 5 }[/mm]
>
> Erste Zeile * 3 und dann mit der vierten addieren
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\
5 & 2 & 2a^2 \\
0 & 2 & -2 \\
0 & 7 & a - 5 }[/mm]
So weit, so gut.
Jetzt müßtest Du aber noch in der ersten Spalte die 1, die unterhalb der 5 steht, verschwinden lassen. (2.Zeile-5*erste Zeile)
--> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & 2a^2 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 7 & a - 5 }
[/mm]
Nun hast Du in der ersten Spalte unterhalb der führenden 1 alles Nullen.
Jetzt kannst Du, weil es vielleicht bequemer ist, die 2. und 3. Zeile tauschen:
--> [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0\\ 0 & 2 & -2 \\ \\ 0 & -8 & 2a^2\\ 0 & 7 & a - 5 }
[/mm]
Jetzt machst Du die -8 unterhalb der 2 weg, und danach die 7 so, wie Du es getan hast.
(allerdings ist -7-(a-5)=-a-2).
Du bekommst
[mm][/mm]
>
> Dritte Zeile * [mm]\bruch{7}{2}[/mm] und dann voneinander
> subtrahieren
>
>[mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\
0 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 2a^2-8\\
0 & 0 & -a-\red{2}}[/mm].
Diese Matrix ist immer noch nicht auf ZSF.
Für [mm] \blue{a\not=-2} [/mm] darfst Du die letzte Zeile durch -a-2 dividieren und erhältst
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\
0 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 2a^2-8\\
0 & 0 & 1[/mm],
und als ZSF schließlich
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\
0 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 2a^2-8\\
0 & 0 & 0} [/mm].
Jetzt überlege Dir, für welche a diese Matrix welchen Rang hat.
Danach untersuchst Du die Ausgangsmatrix noch für a=-2.
Ich hoffe, daß der Ablauf in etwa klargeworden ist.
Wichtig ist, sehr zielstrebig auf die Form [mm] \pmat{ \* & \* & \* \\ 0 & \* & \* \\ 0 & 0 & \*\\ 0 & 0 & 0}, [/mm] also auf die ZSF, hinzuarbeiten, und diese am Ende auszuwerten.
Gruß v. Angela
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Der Rang der Matrix ist 3 oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Di 07.09.2010 | | Autor: | notinX |
> Der Rang der Matrix ist 3 oder ?
Wie Angela schon gesagt hat, hängt der Rang der Matrix von der Wahl von a ab. Also ist EINE Angabe des Rangs nicht die richtige Antwort.
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Ach so ...
also für a = [mm] \pm [/mm] 2 hat die Matrix den Rang 2, ansonsten den Rang 3, weil wenn a = [mm] \pm [/mm] 2 dann sind die beiden unteren Zeilen voller nullen und wenn nicht, dann sind da nicht nur nullen ...
Ist das jetzt richtig ?
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Hallo john_rambo,
> Ach so ...
> also für a = [mm]\pm[/mm] 2 hat die Matrix den Rang 2, ansonsten
> den Rang 3, weil wenn a = [mm]\pm[/mm] 2 dann sind die beiden
> unteren Zeilen voller nullen und wenn nicht, dann sind da
> nicht nur nullen ...
>
> Ist das jetzt richtig ?
Leider nein.
Die Fälle a=2 bzw. a=-2 sind einzeln zu untersuchen.
Dann kannst Du erst entscheiden, welchen Rang die Matrix hat.
Gruss
MathePower
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