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Lineare Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Mo 21.11.2011
Autor: oktollber

Aufgabe
Sei V ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] und u, v, w [mm] \in [/mm] V seien linear unabhängig. Begründe oder widerlege:
Dann sind auch u + v, v + w, u + w linear unabhängig.

Hallo Community,

meine Überlegung dazu lautet: Wenn u, v, w linear unabhängig sind, muss der Vektorraum schon einmal mindestens die Dimension 4 haben, weil sonst kann man die 3 Vektoren nicht konstruieren.
Aber wenn die Dimension mind. 4 ist, dann gilt die zweite Aussage, weil:

Vorraussetzung: u, v, w linear unabhängig
<=> 0 = [mm] x_1*u [/mm] + [mm] x_2*v [/mm] + [mm] x_3*w [/mm] nur lösbar mit [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] = 0
<=>
- [mm] x_3*w [/mm] - [mm] x_2*v [/mm] = [mm] x_1*u [/mm]
- [mm] x_1*u [/mm] - [mm] x_3*w [/mm] = [mm] x_2*v [/mm]
- [mm] x_1*u [/mm] - [mm] x_2*v [/mm] = [mm] x_3*w [/mm]

=> Jetzt der etwas unkonventionelle Schritt, man setzt die Gleichung in sich selbst ein.

0 = - [mm] x_3*w [/mm] - [mm] x_2*v [/mm] - [mm] x_1*u [/mm] - [mm] x_3*w [/mm] - [mm] x_1*u [/mm] - [mm] x_2*v [/mm]          | *-1
0 = [mm] x_3*w [/mm] + [mm] x_2*v [/mm] + [mm] x_1*u [/mm] + [mm] x_3*w [/mm] + [mm] x_1*u [/mm] + [mm] x_2*v [/mm]

<=> mit der Vorraussetzung ist gegeben, dass [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0

0 = x(u+v) +  x(v+w) + x(u+w)

Kann man so vorgehen?

        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Mo 21.11.2011
Autor: fred97


> Sei V ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] und u, v, w [mm]\in[/mm] V seien linear
> unabhängig. Begründe oder widerlege:
>  Dann sind auch u + v, v + w, u + w linear unabhängig.
>  Hallo Community,
>  
> meine Überlegung dazu lautet: Wenn u, v, w linear
> unabhängig sind, muss der Vektorraum schon einmal
> mindestens die Dimension 4 haben, weil sonst kann man die 3
> Vektoren nicht konstruieren.

Unfug ! Nimm für u,v,w die 3 Einheitsvektoren des  [mm] \IR^3. [/mm] Die sind lin. unabhängig , aber dim [mm] \IR^3=3 \ne [/mm] 4.


>  Aber wenn die Dimension mind. 4 ist, dann gilt die zweite
> Aussage, weil:
>  
> Vorraussetzung: u, v, w linear unabhängig
>  <=> 0 = [mm]x_1*u[/mm] + [mm]x_2*v[/mm] + [mm]x_3*w[/mm] nur lösbar mit [mm]x_1,x_2,x_3[/mm]

> = 0
>  <=>
>  - [mm]x_3*w[/mm] - [mm]x_2*v[/mm] = [mm]x_1*u[/mm]
>  - [mm]x_1*u[/mm] - [mm]x_3*w[/mm] = [mm]x_2*v[/mm]
>  - [mm]x_1*u[/mm] - [mm]x_2*v[/mm] = [mm]x_3*w[/mm]
>  
> => Jetzt der etwas unkonventionelle Schritt, man setzt die
> Gleichung in sich selbst ein.
>  
> 0 = - [mm]x_3*w[/mm] - [mm]x_2*v[/mm] - [mm]x_1*u[/mm] - [mm]x_3*w[/mm] - [mm]x_1*u[/mm] - [mm]x_2*v[/mm]        
>  | *-1
>  0 = [mm]x_3*w[/mm] + [mm]x_2*v[/mm] + [mm]x_1*u[/mm] + [mm]x_3*w[/mm] + [mm]x_1*u[/mm] + [mm]x_2*v[/mm]
>  
> <=> mit der Vorraussetzung ist gegeben, dass [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] =
> [mm]x_3[/mm] = 0
>  
> 0 = x(u+v) +  x(v+w) + x(u+w)
>  
> Kann man so vorgehen?

Nein. Obiges ist völliger Murks.

Warum machst Du es nicht auf die naheliegendste Weise:

Zeige: aus [mm] x_2,x_2,x_3 \in \IR [/mm]  und

        [mm] $0=x_1(u+v)+x_2(v+w)+x_3(u+w)$ [/mm]

folgt: [mm] x_1=x_2=x_3=0. [/mm]

FRED


Bezug
                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:11 Mo 21.11.2011
Autor: oktollber


> > Sei V ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] und u, v, w [mm]\in[/mm] V seien linear
> > unabhängig. Begründe oder widerlege:
>  >  Dann sind auch u + v, v + w, u + w linear unabhängig.
>  >  Hallo Community,
>  >  
> > meine Überlegung dazu lautet: Wenn u, v, w linear
> > unabhängig sind, muss der Vektorraum schon einmal
> > mindestens die Dimension 4 haben, weil sonst kann man die 3
> > Vektoren nicht konstruieren.
>  
> Unfug ! Nimm für u,v,w die 3 Einheitsvektoren des  [mm]\IR^3.[/mm]
> Die sind lin. unabhängig , aber dim [mm]\IR^3=3 \ne[/mm] 4.
>

Sorry, da mein Kopf wieder schneller als die Finger. Ich meinte damit, dass ich aus [mm] \IR^2 [/mm] keine 3 linear unabhängigen Vektoren finde.

>
> Warum machst Du es nicht auf die naheliegendste Weise:
>  
> Zeige: aus [mm]x_2,x_2,x_3 \in \IR[/mm]  und
>  
> [mm]0=x_1(u+v)+x_2(v+w)+x_3(u+w)[/mm]
>  
> folgt: [mm]x_1=x_2=x_3=0.[/mm]
>  
> FRED
>  

Dankte, ich weiß auch nicht was mich da geritten hat...
Ich glaube die Nacht war einfach zu lang und ich kann
keine Formeln mehr sehen.

mfg
oktollber

Bezug
                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:35 Mo 21.11.2011
Autor: Balodil

Schönen guten Abend!

Meine Vorraussetzung ist nach Aufgabenstellung

[mm] \lambda_1 [/mm] u + [mm] \lambda_2 [/mm] v + [mm] \lambda_3 [/mm]  w = 0

Also [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0

So [mm] x_1,x_2,x_3 \in \IR [/mm]
Zeige aus [mm] x_1(u+v) [/mm] + [mm] x_2(v+w) [/mm] + [mm] x_3(u+w) [/mm] = 0  
=> [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0

[mm] x_1(u+v) [/mm] + [mm] x_2(v+w) [/mm] + [mm] x_3(u+w) [/mm] = 0  
[mm] \gdw x_1 [/mm] u + [mm] x_1 [/mm] v + [mm] x_2 [/mm] v + [mm] x_2 [/mm] w + [mm] x_3 [/mm] u + [mm] x_3 [/mm] w = 0

Umgestellt:
[mm] x_1 [/mm] u + [mm] x_2 [/mm] v + [mm] x_3 [/mm] w + [mm] x_1 [/mm] v + [mm] x_2 [/mm] w + [mm] x_3 [/mm] u = 0

Und [mm] x_1 [/mm] u + [mm] x_2 [/mm] v + [mm] x_3 [/mm] w nach Vorraussetzung null sein
Daraus folgt [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0

Macht das Sinn?

Vielen Dank
lg Balodil

Bezug
                        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Mo 21.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Balodil,

> Schönen guten Abend!
>  
> Meine Vorraussetzung ist nach Aufgabenstellung
>  
> [mm]\lambda_1[/mm] u + [mm]\lambda_2[/mm] v + [mm]\lambda_3[/mm]  w = 0
>  
> Also [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] = 0
>  
> So [mm]x_1,x_2,x_3 \in \IR[/mm]
>  Zeige aus [mm]x_1(u+v)[/mm] + [mm]x_2(v+w)[/mm] +
> [mm]x_3(u+w)[/mm] = 0  
> => [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = [mm]x_3[/mm] = 0
>  
> [mm]x_1(u+v)[/mm] + [mm]x_2(v+w)[/mm] + [mm]x_3(u+w)[/mm] = 0  
> [mm]\gdw x_1[/mm] u + [mm]x_1[/mm] v + [mm]x_2[/mm] v + [mm]x_2[/mm] w + [mm]x_3[/mm] u + [mm]x_3[/mm] w = 0
>  
> Umgestellt:
>  [mm]x_1[/mm] u + [mm]x_2[/mm] v + [mm]x_3[/mm] w + [mm]x_1[/mm] v + [mm]x_2[/mm] w + [mm]x_3[/mm] u = 0
>  
> Und [mm]x_1[/mm] u + [mm]x_2[/mm] v + [mm]x_3[/mm] w nach Vorraussetzung null sein
>  Daraus folgt [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = [mm]x_3[/mm] = 0
>  
> Macht das Sinn?
>  


Nein, das macht kein Sinn.

Führe die Gleichung

[mm]x_1(u+v) + x_2(v+w) + x_3(u+w) = 0 [/mm]

zurück auf

[mm]\lambda_{1}*u+\lambda_{2}*v+\lambda_{3}*w = 0 [/mm]

Dann weißt Du, aufgrund der linearen Unabhängkeit, daß [mm]\lambda_{i}=0, \ i=1,2,3[/mm]

Das ergibt dann ein Gleichungssystem   für [mm]x_{k}, \ k=1,2,3[/mm]

Bestimme die Lösungen dieses Gleichungssystems.


> Vielen Dank
>  lg Balodil


Gruss
MathPower

Bezug
                                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Mo 21.11.2011
Autor: Balodil

okay ich habe dann u,v,w ausgeklammert:

[mm] u(x_1 [/mm] + [mm] x_3) [/mm] + [mm] v(x_2 [/mm] + [mm] x_1) [/mm] + [mm] w(x_3 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] = 0

Dann wäre
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] + [mm] x_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] x_3 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0

=> [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0

Macht das mehr Sinn? :)

Vielen Dank
lg Balodil

Bezug
                                        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Mo 21.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Balodil,

> okay ich habe dann u,v,w ausgeklammert:
>  
> [mm]u(x_1[/mm] + [mm]x_3)[/mm] + [mm]v(x_2[/mm] + [mm]x_1)[/mm] + [mm]w(x_3[/mm] + [mm]x_2)[/mm] = 0
>  
> Dann wäre
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_3[/mm] = [mm]\lambda_1[/mm] = 0
>  [mm]x_2[/mm] + [mm]x_1[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm] = 0
>  [mm]x_3[/mm] + [mm]x_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] = 0
>  
> => [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = [mm]x_3[/mm] = 0
>  
> Macht das mehr Sinn? :)
>  


Ja, das  macht mehr Sinn. [ok]


> Vielen Dank
>  lg Balodil


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:08 Mo 21.11.2011
Autor: Balodil

Super vielen Dank für die schnelle Hilfe :)

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