Lineare abbildung-affin < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 So 20.11.2011 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | sei [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR^m [/mm] linear und [mm] \varepsilon \in \IR^m. [/mm] Zeige dass die Abbildung
[mm] \delta: \IR^n [/mm] -> [mm] \IR^m, \delta [/mm] (x) := [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \gamma [/mm] (x)
affin ist d.h es gilt
[mm] \delta( \lambda \cdot [/mm] x + (1- [mm] \lambda) \cdot \hat{x} [/mm] = [mm] \lambda \delta [/mm] (x) + (1- [mm] \lambda) \delta [/mm] ( [mm] \hat{x} [/mm] )
für alle x, [mm] \hat{x} \in \IR^n [/mm] und ale [mm] \lambda \in \IR [/mm] |
Hallo ihr Lieben. Nach langen Mitlesen melde ich mich auch an!
Ich hab nämlich ein beispiel was mir sorgen bereitet. Ich bin erst ganz am anfang meines Studiums und muss noch viel lernen ;)
[mm] \varepsilon [/mm] ist ja ein bild von [mm] \gamma
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \gamma [/mm] (t)
[mm] \delta [/mm] (x) := [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \gamma [/mm] (x)
[mm] \delta [/mm] (x) = [mm] \gamma [/mm] (t) + [mm] \gamma [/mm] (x)
[mm] \delta [/mm] (x) = [mm] \gamma [/mm] (t+x) -> wegen linearität
Ich komme da nicht weiter!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 So 20.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> sei [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^n[/mm] -> [mm]\IR^m[/mm] linear und [mm]\varepsilon \in \IR^m.[/mm]
> Zeige dass die Abbildung
>
> [mm]\delta: \IR^n[/mm] -> [mm]\IR^m, \delta[/mm] (x) := [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma[/mm]
> (x)
>
> affin ist d.h es gilt
>
> [mm]\delta( \lambda \cdot[/mm] x + (1- [mm]\lambda) \cdot \hat{x}[/mm] =
> [mm]\lambda \delta[/mm] (x) + (1- [mm]\lambda) \delta[/mm] ( [mm]\hat{x}[/mm] )
> für alle x, [mm]\hat{x} \in \IR^n[/mm] und ale [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> Hallo ihr Lieben. Nach langen Mitlesen melde ich mich auch
> an!
> Ich hab nämlich ein beispiel was mir sorgen bereitet. Ich
> bin erst ganz am anfang meines Studiums und muss noch viel
> lernen ;)
>
> [mm]\varepsilon[/mm] ist ja ein bild von [mm]\gamma[/mm]
Nein. Davon darfst Du nicht ausgehen.
FRED
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\gamma[/mm] (t)
>
> [mm]\delta[/mm] (x) := [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma[/mm] (x)
> [mm]\delta[/mm] (x) = [mm]\gamma[/mm] (t) + [mm]\gamma[/mm] (x)
> [mm]\delta[/mm] (x) = [mm]\gamma[/mm] (t+x) -> wegen linearität
>
> Ich komme da nicht weiter!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 20.11.2011 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Aber [mm] \varepsilon \in \IR^m
[/mm]
und [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR^m
[/mm]
DU meinst es muss ja nicht surjekiv sein. Okay- verstehe.
Wie wäre dein Weg zur lösung? Also wie soll ich am besten anfangen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 So 20.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Aber [mm]\varepsilon \in \IR^m[/mm]
> und [mm]\gamma[/mm] : [mm]\IR^n[/mm] -> [mm]\IR^m[/mm]
>
> DU meinst es muss ja nicht surjekiv sein. Okay- verstehe.
>
> Wie wäre dein Weg zur lösung? Also wie soll ich am besten
> anfangen?
Einfach nachrechnen :
$ [mm] \delta( \lambda \cdot [/mm] $ x + (1- $ [mm] \lambda) \cdot \hat{x} [/mm] $ = $ [mm] \lambda \delta [/mm] $ (x) + (1- $ [mm] \lambda) \delta [/mm] $ ( $ [mm] \hat{x} [/mm] $ )
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 So 20.11.2011 | | Autor: | Lu- |
mhm, guter ansatz^^ ;)
[mm] \delta [/mm] (x) := [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \gamma [/mm] (x)
rechte teil des =
> $ [mm] \lambda \delta [/mm] $ (x) + (1- $ [mm] \lambda) \delta [/mm] $ ( $ [mm] \hat{x} [/mm] $ )
setze ein
= [mm] \lambda [/mm] * ( $ [mm] \varepsilon [/mm] $ + $ [mm] \gamma [/mm] (x) $ ) + (1- [mm] \lambda) [/mm] *($ [mm] \varepsilon [/mm] $ + $ [mm] \gamma [/mm] ( [mm] \hat{x} [/mm] ) $
->Linearität von [mm] \gamma
[/mm]
= [mm] \lambda [/mm] * [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \gamma [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] * x) ) + (1- [mm] \lambda) [/mm] * [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \gamma [/mm] ( (1- [mm] \lambda) [/mm] * [mm] \hat{x} [/mm] )
[mm] =\lambda [/mm] * [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \gamma [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] * x) ) [mm] +\varepsilon [/mm] - [mm] \lambda [/mm] * [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \gamma [/mm] ( [mm] \hat{x} [/mm] - [mm] \lambda \hat{x})
[/mm]
Dann stecke ich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 So 20.11.2011 | | Autor: | Lu- |
Fred bist du noch da?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 So 20.11.2011 | | Autor: | Lu- |
Noch irgendwer da, der sonst eine ahnung hat?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:30 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> mhm, guter ansatz^^ ;)
>
> [mm]\delta[/mm] (x) := [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma[/mm] (x)
>
> rechte teil des =
> > [mm]\lambda \delta[/mm] (x) + (1- [mm]\lambda) \delta[/mm] ( [mm]\hat{x}[/mm] )
>
> setze ein
> = [mm]\lambda[/mm] * ( [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma (x)[/mm] ) + (1- [mm]\lambda)[/mm] *([mm] \varepsilon[/mm]
> + [mm]\gamma ( \hat{x} )[/mm]
>
> ->Linearität von [mm]\gamma[/mm]
> = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma[/mm] ( [mm]\lambda[/mm] * x) ) +
> (1- [mm]\lambda)[/mm] * [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma[/mm] ( (1- [mm]\lambda)[/mm] *
> [mm]\hat{x}[/mm] )
>
> [mm]=\lambda[/mm] * [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma[/mm] ( [mm]\lambda[/mm] * x) )
> [mm]+\varepsilon[/mm] - [mm]\lambda[/mm] * [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma[/mm] ( [mm]\hat{x}[/mm]
> - [mm]\lambda \hat{x})[/mm]
= [mm] \varepsilon+\gamma(\lambda*x+(1-\lambda)*\hat{x})= \delta((\lambda*x+(1-\lambda)*\hat{x})
[/mm]
FRED
>
> Dann stecke ich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Do 24.11.2011 | | Autor: | Lu- |
danke fred!
Wegstreichen und Linearität nochmals verwenden ;) Gar nicht schwer ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Do 24.11.2011 | | Autor: | Lu- |
danke fred!
Wegstreichen und Linearität nochmals verwenden ;) Gar nicht schwer ;)
Ich hätte noch eine Frage (ich hoffe das ist okay): Wann ist $ [mm] \delta [/mm] $ linear?
Bedingungen
$ [mm] \delta [/mm] $ ( x+ $ [mm] \hat{x})= \delta [/mm] $ (x) + $ [mm] \delta [/mm] $ ( $ [mm] \hat{x} [/mm] $ )
$ [mm] \delta (\lambda [/mm] $ * x) = $ [mm] \lambda \delta [/mm] $ (x)
1.Bed.
$ [mm] \delta [/mm] $ (x) + $ [mm] \delta [/mm] $ ( $ [mm] \hat{x} [/mm] $ )= $ [mm] \varepsilon [/mm] $ + $ [mm] \gamma [/mm] $ (x) + $ [mm] \varepsilon [/mm] $ + $ [mm] \gamma [/mm] $ ( $ [mm] \hat{x})= [/mm] $ 2 $ [mm] \varepsilon [/mm] $ + $ [mm] \gamma [/mm] $ (x) + $ [mm] \gamma [/mm] $ ( $ [mm] \hat{x}) [/mm] $
Da stecke ich
2.Bed
$ [mm] \lambda \delta [/mm] $ (x) = $ [mm] \lambda [/mm] $ * ( $ [mm] \varepsilon [/mm] $ + $ [mm] \gamma [/mm] $ (x)) = $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] \varepsilon [/mm] $ + $ [mm] \gamma [/mm] $ (x) * $ [mm] \lambda [/mm] $
Ich bin verunsichert, was ich jetzt tun darf und was nicht!
Ich hoffe du kannst mir nochmals helfen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> danke fred!
> Wegstreichen und Linearität nochmals verwenden ;) Gar
> nicht schwer ;)
>
> Ich hätte noch eine Frage
> (ich hoffe das ist okay):
Na klar, wozu glaubst Du denn ist dieses Forum da ?
> Wann
> ist [mm]\delta[/mm] linear?
>
> Bedingungen
> [mm]\delta[/mm] ( x+ [mm]\hat{x})= \delta[/mm] (x) + [mm]\delta[/mm] ( [mm]\hat{x}[/mm] )
> [mm]\delta (\lambda[/mm] * x) = [mm]\lambda \delta[/mm] (x)
>
> 1.Bed.
> [mm]\delta[/mm] (x) + [mm]\delta[/mm] ( [mm]\hat{x}[/mm] )= [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma[/mm] (x)
> + [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma[/mm] ( [mm]\hat{x})=[/mm] 2 [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma[/mm]
> (x) + [mm]\gamma[/mm] ( [mm]\hat{x})[/mm]
> Da stecke ich
>
> 2.Bed
> [mm]\lambda \delta[/mm] (x) = [mm]\lambda[/mm] * ( [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma[/mm] (x))
> = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\gamma[/mm] (x) * [mm]\lambda[/mm]
> Ich bin verunsichert, was ich jetzt tun darf und was
> nicht!
Alles was Du getan hast , ist O.K.
Nimm mal an, [mm] \delta [/mm] wäre linear. Dann haben wir doch:
[mm] $0=\delta(0)= \varepsilon+\gamma(0) [/mm] = [mm] \varepsilon,$
[/mm]
denn [mm] \gamma [/mm] ist linear.
Ist umgekehrt [mm] \varepsilon=0, [/mm] so ist [mm] $\delta= \gamma$. [/mm] Somit ist [mm] \delta [/mm] linear.
Fazit: [mm] \delta [/mm] ist linear [mm] \gdw \varepsilon=0.
[/mm]
FRED
> Ich hoffe du kannst mir nochmals helfen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Do 24.11.2011 | | Autor: | Lu- |
hei ;)
Okay also du nutzt die Eigenschaft der Linearität, dass 0 auf 0 abgebildet wird.
Also ist [mm] \delta [/mm] linear genau dann wenn [mm] \varepsilon [/mm] = 0 ist , denn dann sind die beiden abbildungen [mm] \delta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] ident.
Richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Do 24.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> hei ;)
> Okay also du nutzt die Eigenschaft der Linearität, dass 0
> auf 0 abgebildet wird.
> Also ist [mm]\delta[/mm] linear genau dann wenn [mm]\varepsilon[/mm] = 0 ist
> , denn dann sind die beiden abbildungen [mm]\delta[/mm] und [mm]\gamma[/mm]
> ident.
> Richtig?
ja
fred
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Do 24.11.2011 | | Autor: | Lu- |
bedanke mich herzlich
LG
|
|
|
|
