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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Linearer Unabhänigkeit
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Linearer Unabhänigkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:52 Mo 09.01.2006
Autor: F.Michael

Aufgabe
1. Zeigen Sie, [mm] dass(f_{n})n \varepsilon\IN \subset Abb(\IR,\IR) [/mm] definiert durch [mm] (f_{n}(x):=x^{n} [/mm] über [mm] \IR [/mm] linear unabhängig ist.

Hallo zusammen!

Könnte mir noch mal jemand erklären wie ich bei solch einer Aufgabenstellung allgemein ran gehen muss.
Mein Ansatz wäre gewesen, dass ich zeigen, dass:

[mm] a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0 [/mm] ist.

Also muss [mm] a_{0} [/mm] schon mal =0 sein, aber wie folgt hier dass auch [mm] a_{1}=...=a_{n}=0 [/mm] ist. Es kann doch auch [mm] x=...=x^{n}=0 [/mm] sein.
Bin ich total auf dem Holzweg?

Danke schon mal an alle...


        
Bezug
Linearer Unabhänigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:24 Di 10.01.2006
Autor: Christian


> 1. Zeigen Sie, [mm]dass(f_{n})n \varepsilon\IN \subset Abb(\IR,\IR)[/mm]
> definiert durch [mm](f_{n}(x):=x^{n}[/mm] über [mm]\IR[/mm] linear unabhängig
> ist.
>  Hallo zusammen!
>  
> Könnte mir noch mal jemand erklären wie ich bei solch einer
> Aufgabenstellung allgemein ran gehen muss.
> Mein Ansatz wäre gewesen, dass ich zeigen, dass:
>  
> [mm]a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0[/mm] ist.
>  

Nein, das kann man so nicht machen.
Lineare Unabhängigkeit bedeutet vielmehr:

Falls [mm]a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0[/mm] ist,
dann sind [mm] $a_1=...=a_n=0$. [/mm]

Vielleicht zeigen wir das nun per Induktion, das ist am sichersten.

Das einfachste Polynom, was wir uns vorstellen können, ist eins vom Grad 0, d.h. von der Form [mm] $a_0\in [/mm] K$.
Dann ist, falls [mm] $a_0=0$ [/mm] trivialerweise [mm] $a_0=0$. [/mm]
Das ist unsere Induktionsverankerung.
Gelte nun:

Falls [mm]a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0[/mm] ist, so seien [mm] $a_0=...=a_n=0$. [/mm]

Wenn wir nun ein haben [mm]a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_nx^n+a_{n+1}x^{n+1}=0[/mm], so folgt leicht, daß [mm] $a_0=0$. [/mm]
Dann können wir aber $x$ ausklammern und haben:
[mm]x(a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n+1}x^{n})=0[/mm], da wir uns aber in einem Körper befinden und dieser nach Definition nullteilerfrei ist, so erhalten wir $x=0$ oder [mm]a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n+1}x^{n}=0[/mm].
Da wir aber für alle $x$ 0 haben wollen, so muß [mm]a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n+1}x^{n}=0[/mm] gelten, nach Induktionsvoraussetzung ist dann aber auch [mm] $a_1=...=a_{n+1}=0$, [/mm]
es folgt [mm] $a_0=...=a_{n+1}=0$, [/mm] das ist aber die Aussage für $n+1$, womit wir fertig wären.

Gruß,
Christian




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Linearer Unabhänigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 Di 10.01.2006
Autor: F.Michael

Danke schon mal so weit, ich verstehe jetzt nur noch nicht ganz dein Argument des Nullteilerfreien Körpers. Ich weiß dass ein Körper Nullteilerfrei ist, aber wieso folg daraus , dass x=0 oder [mm] a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+...+a_{n+1}x^{n}=0 [/mm] sein muss. (Ich kenn das aus dem Satz vom Nullprodukt  wenn a*b=0, dann entweder a=0 oder b=0 (oder beide))

MFG

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Linearer Unabhänigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:54 Di 10.01.2006
Autor: Stefan

Hallo!

Ja, aber das ist doch genau das Argument.

Mit $a:=x$ und $b:= [mm] a_1x^1 [/mm] + [mm] a_2x^2 [/mm] + [mm] \ldost$ [/mm]

gilt:

$a [mm] \cdot [/mm] b=0$,

also wegen der Nullteilerfreiheit: $a=0$ oder $b=0$ (das "oder" ist mathematisch immer nicht-ausschließend zu verstehen).

Das, was du mit "Nullprodukt" meinst, ist genau die Nullteilerfreiheit.

Wo also liegt jetzt dein Problem?

Liebe Grüße
Stefan

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Linearer Unabhänigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:52 Di 10.01.2006
Autor: F.Michael

Hi Steafan!!!

Hatte kein echtes Problem mehr. Hatte nur denn Zusammenhang mit der Nullteilerfremdheit noch nicht verstanden.

Danke an euch!!!

MFG Michael

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