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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 So 18.01.2009 | | Autor: | husbert |
| Aufgabe | Lösen Sie das lineare Gleichungssystem.
[mm] \pmat{ 2 & -6&4&0 \\ 4 &-12&1&2\\1&7&2&1\\0&10&3&9 }*\pmat{ x_{1}\\ x_{2}\\x_{3}\\x_{4}}=\pmat{ 1\\ 0\\1\\0} [/mm] |
Hi,
komme hier leider überhaupt nicht weiter.
Ich versuche das ganze mit dem Gauß Algorithmus aber ich stecke fest.
[1] 2 -6 4 0 | 1
[2] 4 -12 -1 2 | 0
[3] 1 7 2 1 | 1
[4] 0 10 3 9 | 0
[1] 0 -20 0 -2 | -1 [1]-2*[3]
[2] 0 40 -9 -2 | -4 [2]-4[3]
[4] 0 10 3 9 | 0
so ab hier komm ich nicht mehr weiter, ich finde einfach keinen Weg mehr.Wie sehen die nächsten Schritte aus oder hab ich schon am Anfang einen Fehler gemacht?
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> Lösen Sie das lineare Gleichungssystem.
> [mm]\pmat{ 2 & -6&4&0 \\ 4 &-12&\blue{1}&2\\1&7&2&1\\0&10&3&9 }*\pmat{ x_{1}\\ x_{2}\\x_{3}\\x_{4}}=\pmat{ 1\\ 0\\1\\0}[/mm]
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> Hi,
> komme hier leider überhaupt nicht weiter.
> Ich versuche das ganze mit dem Gauß Algorithmus aber ich
> stecke fest.
>
> [1] 2 -6 4 0 | 1
> [2] 4 -12 -1 2 | 0
> [3] 1 7 2 1 | 1
> [4] 0 10 3 9 | 0
>
> [1] 0 -20 0 -2 | -1 [1]-2*[3]
> [2] 0 40 -9 -2 | -4 [2]-4[3]
> [4] 0 10 3 9 | 0
>
> so ab hier komm ich nicht mehr weiter, ich finde einfach
> keinen Weg mehr.Wie sehen die nächsten Schritte aus oder
> hab ich schon am Anfang einen Fehler gemacht?
siehe die farbigen Markierungen !
nachgerechnet habe ich nichts
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 18.01.2009 | | Autor: | husbert |
Oh sorry, es handelt sich hierbei um einen Tippfehler meinerseits.
-1 ist richtig.
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Hallo husbert,
Es gibt ja verschiedene Möglichkeiten so ein Gleichungssystem zu lösen. Du kannst einmal die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems bestimmten und diesen Unterraum mit einer speziellen Lösung verschieben, das ist aber iwie ein bisschen umständlich.
Es ist wahrscheinlich einfacher, die erweiterte Koeffizientenmatrix mit dem Gaußalgorithmus umzuformen um dann die Lösungen ablesen zu können:
[mm] \pmat{ 2 & -6&4&0&1 \\ 4 &-12&-1&2&0\\1&7&2&1&1\\0&10&3&9&0 } \to \pmat{ 1&7&2&1&1 \\ 4 &-12&-1&2&0\\2 & -6&4&0&1\\0&10&3&9&0 } \to \pmat{ 1&7&2&1&1 \\ 0 &-40&-9&-2&-4\\0 & -20&0&-2&-1\\0&10&3&9&0 } \to [/mm] ...
Wenn du die Matrix dann in Dreiecksgestalt hast, kannst du die Löungen dann ganz leicht ablesen! Du darfst halt nicht eine komplette erste Spalte "wegmachen", weil da haste ja nix von.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 So 18.01.2009 | | Autor: | husbert |
Genau dieses Dreieck ist mein problem.
weil wenn man sich den letzten schritt anschaut sieht man:
2. Spalte
1 7 ...
0 -40 ...
0 -20 ...
0 10 ...
egal wie ich das ganze rechne es kommt immer 0 heraus da alle 3 (-40,-20,10) gerade sind. Es muss doch aber 1 herauskommen oder?
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Nein, du brauchst nur eine von Null verschiedene Zahl. Hauptsache ist die Dreiecksgestalt.
Zum invertieren mit Matrizen musst du die eine Matrix zur Einheitsmatrix umformen, dann sind die 1en wichtig, hier aber nicht!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 18.01.2009 | | Autor: | husbert |
Ok.
1 7 2 1 | 1
0 -40 -9 -2 |-4
0 0 -6 -20 |-1
0 10 3 9 | 0
Wäre also meine Dreiecksform. Was wäre dann der nächste Schritt?
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Dreiecksform heißt: [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & ... & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & ... & ... & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & ... & a_{3n} \\ ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & a_{nn}}.
[/mm]
Deine Matrix sieht noch nicht so aus!
Rechts von [mm] a_{in} [/mm] können auch noch andere Zahlen stehen, d.h. es muss nicht in der untersten Zeile nur eine von 1 verschiedene Zahl stehen.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 18.01.2009 | | Autor: | husbert |
Ok dann sollte das ganze jetzt so aussehen:
[mm] \pmat{ 1 & 7&2&1&1 \\ 0 & 10&3&9&0\\0&0&3&-20&0\\0&0&0&-88&-1 }
[/mm]
Wie ist der nächste schritt?
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Hmm...
also ich hab jetzt deine Werte nicht genau nachgerechnet, sie sehen aber ein wenig seltsam aus, nur so als Bauchgefühl^^
Wenn du die Dreiecksgestalt hast, kannst du doch nun von unten nach oben alle Lösungen ablesen, z.B. [mm] -88x_4=-1.
[/mm]
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 So 18.01.2009 | | Autor: | husbert |
Dein Bauchgefühl lag richtig ^^.
Vielen Dank!
gruß bert
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