Lineares Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Angabelink:
http://img829.imageshack.us/i/mathbastechnikenvopruef.jpg/ |
Hallo,
also a) löse ich indem ich die Gleichung in der Notation anschreibe
5 Variablen = 5 Dimensionen
b) ich schaffe es nicht die Gleichungungen zu lösen, da ich nur x3 wegbekomme, indem ich III+II rechne, dann hab ich immernoch x4 und x5 und ich muss ja elimieren bis ich zumindest mal eine Variable bekomme...
Ich weiß auch nicht, wie mir die erste Gleichung dabei helfen soll, denn sobald ich mit der agiere bekomme x1 und x2 dazu und die kann ich ja nicht brauchen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 So 27.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist keine Aufgabe die man in Kl8 lösen kann, also berichtige bitte dein Profil.
Hast du denn a) gelöst? dann weisst du doch schon wieviele der [mm] x_i [/mm] du willkürlich wählen kannst.
natürlich kannst du nicht aus 3 Gl mit 5 unbekannten die bestimmen.
Beispiel
[mm] x_1+x_2+x_3=1
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] =2
daraus [mm] x_1+x_3=-1
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] beliebig =r [mm] x_3=-1-r
[/mm]
Lösung: [mm] \vektor{0\\2\\-1}+r*\vektor{1\\0\\-1}
[/mm]
entsprechend geh an deine Aufgabe
Gruss leduart
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Dann habe ich wohl a) nicht gelöst :P
Ich schaffe es nur bis hierher, indem ich III+II rechne, aber ich schaffe es nicht eine einzelne Variable zu isolieren...
[mm] \vmat{ 2 & 3 & -1 & -1 & 1 & =1\\ 0 & 0 &1 & -2 & -1 & =-8\\ 0 & 0 & 0 &-1 &+1 & =4}
[/mm]
PS: Der Rang sind einfach die Treppenstufen addiert oder?
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Hallo downandout,
> Dann habe ich wohl a) nicht gelöst :P
>
> Ich schaffe es nur bis hierher, indem ich III+II rechne,
> aber ich schaffe es nicht eine einzelne Variable zu
> isolieren...
>
> [mm]\vmat{ 2 & 3 & -1 & -1 & 1 & =1\\
0 & 0 &1 & -2 & -1 & =-8\\
0 & 0 & 0 &-1 &+1 & =4}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> PS: Der Rang sind einfach die Treppenstufen addiert oder?
Nein, der Rang ist die Anzahl der Nicht-Nullzeilen der Matrix in Zeilenstufenform. (=Dimension des Zeilen- bzw. Spaltenraumes)
Hier also 3, du hast demnach [mm]5-3=2[/mm] frei wählbare Parameter.
Wähle [mm]x_5=t[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm]
Dann kannst du in Zeile 3 [mm]x_4[/mm] berechnen.
Dann [mm]x_3[/mm] us Zeile 2
Weiter setze [mm]x_2=s[/mm] mit [mm]s\in\IR[/mm] und löse in Zeile 1 nach [mm]x_1[/mm] auf ...
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank, die Sache beginnt wirklich Sinn zu ergeben :D
Gut habe daran gearbeitet:
[mm] x_{5}=t
[/mm]
[mm] x_{4}: -x_{4}+t [/mm] = 4
[mm] x_{4}= [/mm] t-4
[mm] x_{3}: x_{3}-2t+8-t=-8
[/mm]
[mm] x_{3}-t [/mm] = -16
[mm] x_{3}=t-16
[/mm]
[mm] x_{2}=s
[/mm]
[mm] x_{1}: 2x_{1}+3s+16-t-t+4+t=1
[/mm]
[mm] 2x_{1}+3s-t+20=1
[/mm]
[mm] 3s-t+19=-2x_{1}
[/mm]
[mm] x_{1}= -\bruch{3}{2}s +\bruch{t}{2} [/mm] - [mm] \bruch{19}{2}
[/mm]
korrekt?
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\\x_{4}\\x_{5}} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{19}{2} \\ 0 \\ -16 \\-4\\0} [/mm] + s [mm] \vektor{ -\bruch{3}{2}\\ 1\\0\\0\\0} [/mm] +t [mm] \vektor{\bruch{1}{2}\\0\\1\\1\\1}
[/mm]
korrekt? habe ich damit c) gelöst?
wenn ja wie geht d) bzw. c) ?
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Hallo, bei [mm] x_3 [/mm] ist der 1. Fehler passiert
[mm] x_3-2*(t-4)-t=-8
[/mm]
[mm] x_3-2t+8-t=-8
[/mm]
[mm] x_3=3t-16
[/mm]
jetzt überprüfe [mm] x_1
[/mm]
Steffi
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Danke dann habe ich für x1 das rausbekommen:
[mm] -\bruch{3}{2}s+\bruch{3}{2}t+\bruch{19}{3}
[/mm]
Was ist mit dem Vektor X gemeint, ich habe doch 3 Vektoren?
In welchem Vektorraum liegt der Vektor x(Dimension) das bedeutet?
was ist sein Bild y= f(x)? und in welchem Vektorraum liegt er?
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Hallo downandnut,
> Danke dann habe ich für x1 das rausbekommen:
>
> [mm]-\bruch{3}{2}s+\bruch{3}{2}t+\bruch{19}{3}[/mm]
>
> Was ist mit dem Vektor X gemeint, ich habe doch 3
> Vektoren?
> In welchem Vektorraum liegt der Vektor x(Dimension) das
> bedeutet?
> was ist sein Bild y= f(x)? und in welchem Vektorraum liegt
> er?
Stelle erstmal die lineare Funktion auf, dann erkennst Du
in welchen Vektorräumen die Vektoren x und y liegen.
Gruss
MathePower
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Ich habe versucht es herauszufinden, aber nichts gefunden... Wie stelle ich die lineare Funktion auf, was kann ich mir darunter vorstellen?
Ein Ansatz bitte? :)
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Hallo downandout,
> Ich habe versucht es herauszufinden, aber nichts
> gefunden... Wie stelle ich die lineare Funktion auf, was
> kann ich mir darunter vorstellen?
Die lineare Funktion ist die linke Seite des Gleichungssystems.
Schreibe diese linke Seite als Produkt einer Matrix A
und einem Vektor x.
> Ein Ansatz bitte? :)
Gruss
MathePower
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Lösung in Parameterform:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\\x_{4}\\x_{5}} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{19}{2} \\ 0 \\ -16 \\-4\\0} [/mm] + s [mm] \vektor{- \bruch{3}{2}\\ 1\\0\\0\\0} [/mm] +t [mm] \vektor{\bruch{3}{2}\\0\\3\\1\\1} [/mm]
c)
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe:
[mm] \pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\ 0 & 0 &1 &-2 &-1 \\ 0& 0&-1 &+1 &+2 }\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\\x_{4}\\x_{5}}=\vektor{1 \\ -8 \\ 12}
[/mm]
Und jetzt weiter, in wie fern hilft mir das?
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>
> c)
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe:
> [mm]\pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\
0 & 0 &1 &-2 &-1 \\
0& 0&-1 &+1 &+2 }\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}}=\vektor{1 \\
-8 \\
12}[/mm]
Hallo,
Du solltest den Aufgabentext besser lesen.
A ist die Koeffiientenmatrix Deines Gleichungssystems, also [mm] A:=\pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\
0 & 0 &1 &-2 &-1 \\
0& 0&-1 &+1 &+2 },
[/mm]
und Du sollst hinschreiben f(x)=Ax.
Also mußt Du schreiben
[mm] f(\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})=\pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\
0 & 0 &1 &-2 &-1 \\
0& 0&-1 &+1 &+2 }*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}},
[/mm]
und dann steht da, daß Du das in Vektorform aufschreiben sollst, also mit einem Vektor auf der rechten Seite:
[mm] f(\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})= [/mm] ...,
bei den ... schreib das hin, was rauskommt, wenn Du [mm] \pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\
0 & 0 &1 &-2 &-1 \\
0& 0&-1 &+1 &+2 }*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}} [/mm] ausrechnest, also das Produkt ausführst.
>
> Und jetzt weiter, in wie fern hilft mir das?
Insofern, als daß Du damit die gestellte Aufgabe erfüllt hast.
zu d)
welchem Raum [mm] x:=\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}} [/mm] entstammt, ist kein großes Geheimnis, und spätestens, wenn Du in c) das Produkt ausgeführt hast, siehst Du, in welchem Raum die Bilder von f liegen.
Gruß v. Angela
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Stimmt, ich sollte die Angabe genauer lesen :)
Also dann müsste das so aussehen:
[mm] \pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\
0 & 0 &1 &-2 &-1 \\
0& 0&-1 &+1 &+2 }*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}} =\pmat{ 2x_{1} & 3x_{2} &-x_{3}&-x_{4}&x_{5} \\
0&0&x_{3} &-2x_{4} &-x_{5} \\
0&0&-x_{3} &x_{4} &2x_{5}}
[/mm]
[mm] f(\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})=\pmat{ 2x_{1} & 3x_{2} &-x_{3}&-x_{4}&x_{5} \\
0&0&x_{3} &-2x_{4} &-x_{5} \\
0&0&-x_{3} &x_{4} &2x_{5}}
[/mm]
zu d)
In welchem Vektorraum liegt der Vektor x (Dimension)
Vorher habe ich gehört:Nein, der Rang ist die Anzahl der Nicht-Nullzeilen der Matrix in Zeilenstufenform. (=Dimension des Zeilen- bzw. Spaltenraumes)
also in [mm] \IR [/mm] 5?
y=f(x)
[mm] f(\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})=
[/mm]
Jetzt soll ich schauen, wo der Vektor [mm] (\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}}) [/mm] in [mm] \pmat{ 2x_{1} & 3x_{2} &-x_{3}&-x_{4}&x_{5} \\
0&0&x_{3} &-2x_{4} &-x_{5} \\
0&0&-x_{3} &x_{4} &2x_{5}} [/mm] reinpasst?
Wie soll ich das anstellen :P, ich meine in der ersten Zeile der Matrix Ax sind alle enthalten oder was ist sein BILD?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Mo 28.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt, ich sollte die Angabe genauer lesen :)
>
> Also dann müsste das so aussehen:
> [mm]\pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\
0 & 0 &1 &-2 &-1 \\
0& 0&-1 &+1 &+2 }*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}} =\pmat{ 2x_{1} & 3x_{2} &-x_{3}&-x_{4}&x_{5} \\
0&0&x_{3} &-2x_{4} &-x_{5} \\
0&0&-x_{3} &x_{4} &2x_{5}}[/mm]
Das ist doch Quatsch !
Wie multipl. Du eine Matrix mit einem Vektor ????
Es ist [mm] \pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\
0 & 0 &1 &-2 &-1 \\
0& 0&-1 &+1 &+2 }*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}} =\vektor{2x_1+3x_2-x_3-x_4+x_5 \\ x_3-2x_4-x_5 \\ -x_3+x_4+2x_5}
[/mm]
FRED
>
> [mm]f(\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})=\pmat{ 2x_{1} & 3x_{2} &-x_{3}&-x_{4}&x_{5} \\
0&0&x_{3} &-2x_{4} &-x_{5} \\
0&0&-x_{3} &x_{4} &2x_{5}}[/mm]
>
>
> zu d)
>
> In welchem Vektorraum liegt der Vektor x (Dimension)
>
> Vorher habe ich gehört:Nein, der Rang ist die Anzahl der
> Nicht-Nullzeilen der Matrix in Zeilenstufenform.
> (=Dimension des Zeilen- bzw. Spaltenraumes)
>
> also in [mm]\IR[/mm] 5?
>
> y=f(x)
> [mm]f(\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})=[/mm]
>
> Jetzt soll ich schauen, wo der Vektor [mm](\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})[/mm]
> in [mm]\pmat{ 2x_{1} & 3x_{2} &-x_{3}&-x_{4}&x_{5} \\
0&0&x_{3} &-2x_{4} &-x_{5} \\
0&0&-x_{3} &x_{4} &2x_{5}}[/mm]
> reinpasst?
>
> Wie soll ich das anstellen :P, ich meine in der ersten
> Zeile der Matrix Ax sind alle enthalten oder was ist sein
> BILD?
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Machen die Nuller den so einen bösen Unterschied -.-
Naja, Teilfrage von https://matheraum.de/read?i=781745 ist noch offen ;)> > Stimmt, ich sollte die Angabe genauer lesen :)
> >
> > Also dann müsste das so aussehen:
> > [mm]\pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\
0 & 0 &1 &-2 &-1 \\
0& 0&-1 &+1 &+2 }*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}} =\pmat{ 2x_{1} & 3x_{2} &-x_{3}&-x_{4}&x_{5} \\
0&0&x_{3} &-2x_{4} &-x_{5} \\
0&0&-x_{3} &x_{4} &2x_{5}}[/mm]
>
> Das ist doch Quatsch !
>
> Wie multipl. Du eine Matrix mit einem Vektor ????
>
>
> Es ist [mm]\pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\
0 & 0 &1 &-2 &-1 \\
0& 0&-1 &+1 &+2 }*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}} =\vektor{2x_1+3x_2-x_3-x_4+x_5 \\ x_3-2x_4-x_5 \\ -x_3+x_4+2x_5}[/mm]
>
>
> FRED
>
>
> >
> > [mm]f(\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})=\pmat{ 2x_{1} & 3x_{2} &-x_{3}&-x_{4}&x_{5} \\
0&0&x_{3} &-2x_{4} &-x_{5} \\
0&0&-x_{3} &x_{4} &2x_{5}}[/mm]
>
> >
> >
> > zu d)
> >
> > In welchem Vektorraum liegt der Vektor x (Dimension)
> >
> > Vorher habe ich gehört:Nein, der Rang ist die Anzahl der
> > Nicht-Nullzeilen der Matrix in Zeilenstufenform.
> > (=Dimension des Zeilen- bzw. Spaltenraumes)
> >
> > also in [mm]\IR[/mm] 5?
> >
> > y=f(x)
> > [mm]f(\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})=[/mm]
>
> >
> > Jetzt soll ich schauen, wo der Vektor [mm](\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})[/mm]
> > in [mm]\pmat{ 2x_{1} & 3x_{2} &-x_{3}&-x_{4}&x_{5} \\
0&0&x_{3} &-2x_{4} &-x_{5} \\
0&0&-x_{3} &x_{4} &2x_{5}}[/mm]
> > reinpasst?
> >
> > Wie soll ich das anstellen :P, ich meine in der ersten
> > Zeile der Matrix Ax sind alle enthalten oder was ist sein
> > BILD?
>
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> Machen die Nuller den so einen bösen Unterschied -.-
Hallo,
die Nullen als solche weniger.
Der große Unterschied ist der, daß ein Spaltenvektor mit 3 Einträgen herauskommt (eine [mm] 3\times [/mm] 1-Matrix), Du aber eine [mm] 3\times [/mm] 5-Matrix hingeschrieben hast.
>
> Naja, Teilfrage von https://matheraum.de/read?i=781745 ist
> noch offen ;)
Die Beantwortung sollte Dir nun besser gelingen.
Die Frage mal ein wenig umformuliert:
von wo nach wo bildet die durch f(x):=Ax definierte Abbildung ab?
was darf man für x einsetzen und was kommt für y:=f(x) raus?
Wir machen ein kleines Quiz daraus, so wie man es von Günther Palawa kennt:
1. Für x darf man einsetzen
A. natürliche Zahlen
B. Elemente des [mm] \IR^5
[/mm]
C. Elemente des [mm] \IR^3
[/mm]
D. [mm] 5\times [/mm] 3- Matrizen
1. Für y kommen raus
A. natürliche Zahlen
B. Elemente des [mm] \IR^5
[/mm]
C. Elemente des [mm] \IR^3
[/mm]
D. [mm] 5\times [/mm] 3- Matrizen
> > Stimmt, ich sollte die Angabe genauer
> lesen :)
> > >
> > > Also dann müsste das so aussehen:
> > > [mm]\pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\
0 & 0 &1 &-2 &-1 \\
0& 0&-1 &+1 &+2 }*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}} =\pmat{ 2x_{1} & 3x_{2} &-x_{3}&-x_{4}&x_{5} \\
0&0&x_{3} &-2x_{4} &-x_{5} \\
0&0&-x_{3} &x_{4} &2x_{5}}[/mm]
>
> >
> > Das ist doch Quatsch !
> >
> > Wie multipl. Du eine Matrix mit einem Vektor ????
> >
> >
> > Es ist [mm]\pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\
0 & 0 &1 &-2 &-1 \\
0& 0&-1 &+1 &+2 }*\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}} =\vektor{2x_1+3x_2-x_3-x_4+x_5 \\
x_3-2x_4-x_5 \\
-x_3+x_4+2x_5}[/mm]
>
> >
> >
> > FRED
> >
> >
> > >
> > > [mm]f(\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})=\pmat{ 2x_{1} & 3x_{2} &-x_{3}&-x_{4}&x_{5} \\
0&0&x_{3} &-2x_{4} &-x_{5} \\
0&0&-x_{3} &x_{4} &2x_{5}}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > zu d)
> > >
> > > In welchem Vektorraum liegt der Vektor x (Dimension)
> > >
> > > Vorher habe ich gehört:Nein, der Rang ist die Anzahl der
> > > Nicht-Nullzeilen der Matrix in Zeilenstufenform.
> > > (=Dimension des Zeilen- bzw. Spaltenraumes)
> > >
> > > also in [mm]\IR[/mm] 5?
> > >
> > > y=f(x)
> > > [mm]f(\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})=[/mm]
>
> >
> > >
> > > Jetzt soll ich schauen, wo der Vektor [mm](\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}})[/mm]
> > > in [mm]\pmat{ 2x_{1} & 3x_{2} &-x_{3}&-x_{4}&x_{5} \\
0&0&x_{3} &-2x_{4} &-x_{5} \\
0&0&-x_{3} &x_{4} &2x_{5}}[/mm]
> > > reinpasst?
> > >
> > > Wie soll ich das anstellen :P, ich meine in der ersten
> > > Zeile der Matrix Ax sind alle enthalten oder was ist sein
> > > BILD?
Kleiner Tip:
wenn Begriffe nicht klar sind, dann hilft meist ein Blick ins Skript oder ein Buch...
Das Bild von x unter der Abbildung f ist der Funktionswert von x, also f(x). (Steht auch in der Aufgabe.)
Gruß v. Angela
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Also für x kann man die Elemente aus [mm] \IR3 [/mm] einsetzen
und das Bild y = f(x) liegt auch in [mm] \IR3?
[/mm]
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> Also für x kann man die Elemente aus [mm]\IR3[/mm] einsetzen
Hallo,
wir hatten doch
f(x):=$ [mm] \pmat{ 2 & 3 &-1&-1&+1 \\ 0 & 0 &1 &-2 &-1 \\ 0& 0&-1 &+1 &+2 }\cdot{}*x.
[/mm]
Welchem Raum muß der Vektor x entstammen, damit dieses Produkt ausgeführt werden kann.
Klappt's mit [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}?
[/mm]
Wenn's funktioniert, hast Du richtig geraten, und wenn's nicht funktioniert, hast Du falsch geraten.
Gruß v. Angela
>
> und das Bild y = f(x) liegt auch in [mm]\IR3?[/mm]
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Ok dann is beides R5, ich dachte ich muss den Vektor den wir gerade bekommen haben dort die x Zahlen einsetzen... -.-
Aber vielen Dank für deine Geduld, ihr hab mir echt viel weitergeholfen =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Di 29.03.2011 | | Autor: | downandout |
Nochmal danke euch allen für die Gedult und die wirklich verständliche Erklärform, matheraum.de ist einer der besten Foren die ich kenne!
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