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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Do 29.12.2005 | | Autor: | tms |
| Aufgabe | ich hab hier ein LGS in Matrixschreibform:
[mm] \pmat{ 1 & t & 1 & -1 \\ 8 & 2 & 2 & 0 \\ -t & 2 & 0 & -1}
[/mm]
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und möchte dies nun in die "Dreiecksform" mit Hilfe des Gauß-Algorithmus bringen:
Die erste Gleichung kann ich ja stehen lassen:
1 t 1 -1
Die zweite hab ich einfach minus 8x die erste gemacht:
0 2-8t -6 0
und die dritte mit t mal der zweiten geteilt durch 8 addiert:
0 2+1/4*t 1/4*t -1
Dann jedoch bin ich ratlos: Wie bekomm ich in der 3. Gleichung das 2+1/4*t weg??
Thomas
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.piranho.com/home/boards/37,37028,1.html
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Hallo,
wenn du die erste Zeile mit -8 multiplizierst, musst du das auch auf der rechten Seite machen, d.h. man hat ausgehend von
[mm] \pmat{ 1 & t & 1 & -1 \\ 8 & 2 & 2 & 0 \\ -t & 2 & 0 &-1} [/mm]
folgende Matrix [mm] \pmat{ 1 & t & 1 & -1 \\ 0 & 2-8t & -6 & 8 \\ 0 & 2+t^{2} & t & -1-t } [/mm] . Die zweite Zeile hab ich wie du (nur halt die rechte Seite auch mit der 8 verrechnet. Die dritte Zeile hab ich einfach mit der ersten verrechnet, also dritte Zeile + erste Zeile mal t. Ganz einfach. Bei Gauß am besten im ersten Schritt immer erst die zweite mit der ersten, dann die dritte mit der ersten. Jetzt musst du dir das kgV der beiden Einträge der 2. und 3. Zeile suchen, zur Not halt mit dem anderen multiplizieren.
Ich teile der Einfachheit halber mal die 2. Zeile durch 2:
[mm] \pmat{ 1 & t & 1 & -1 \\ 0 & 1-4t & -3 & 4 \\ 0 & 2+t^{2} & t & -1-t }.
[/mm]
Jetzt die dritte Zeile mal (1-4t) und die zweite Zeile mal [mm] (2+t^2), [/mm] dann subtrahieren, so hast du die Dreiecksform. TATA!!
Ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet, aber das Prinzip sollte klar sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Do 29.12.2005 | | Autor: | tms |
| Aufgabe | | Wann gibt es eine eindeutiges oder eine unlösliches Ergebnis? |
Das geschieht ja für die t, wenn x3=0 ist und für alle Äquivalenzumformungen mit 0.
[mm] \pmat{ 1 & t & 1 & -1 \\ 0 & 2-8t & -6 & 8 \\ 0 & 0 & -14t²-2t-12 & 16t²+6t+14 }
[/mm]
Bie der Multiplikation mit (2+t²) kann es ja nicht null werden, bei der Multiplikation mit (2-8t) wird es bei t=1/4 0.
Da ja nach der Matrix (-14t²-2t-12) x3 = 16t²+6t+14 gilt und x3 0 sein muss gilt ja: 0=(16t²+6t+14)/(-14t²-2t-12).
Damit das ganze null ist muss ja nur der Zähler 0 sein, dass ist er aber für kein t, da die Diskriminante negativ ist.
Also müsste ich nur den Fall t=0,25 extra anschauen.
Laut meiner Lösung müsste es jedoch 2 und -3 sein. Ersteres sollte ein eindeutiges Ergebnis liefern, zweiteres keines.
Erkennt ihr meinen Fehler?
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Hallo tms,
> Wann gibt es eine eindeutiges oder eine unlösliches
> Ergebnis?
> Das geschieht ja für die t, wenn x3=0 ist und für alle
> Äquivalenzumformungen mit 0.
>
> [mm]\pmat{ 1 & t & 1 & -1 \\ 0 & 2-8t & -6 & 8 \\ 0 & 0 & -14t²-2t-12 & 16t²+6t+14 }[/mm]
>
> Bie der Multiplikation mit (2+t²) kann es ja nicht null
> werden, bei der Multiplikation mit (2-8t) wird es bei t=1/4
> 0.
>
> Da ja nach der Matrix (-14t²-2t-12) x3 = 16t²+6t+14 gilt
> und x3 0 sein muss gilt ja: 0=(16t²+6t+14)/(-14t²-2t-12).
> Damit das ganze null ist muss ja nur der Zähler 0 sein,
> dass ist er aber für kein t, da die Diskriminante negativ
> ist.
>
> Also müsste ich nur den Fall t=0,25 extra anschauen.
>
> Laut meiner Lösung müsste es jedoch 2 und -3 sein. Ersteres
> sollte ein eindeutiges Ergebnis liefern, zweiteres keines.
hier handelt es sich um einen Vorzeichenfehler bei den Sonderfällen.
Laut meiner Rechnung wird die Determinante der Matrix 0, wenn t=-2 oder t=3 ist.
>
> Erkennt ihr meinen Fehler?
>
Da ist ein Fehler beim Ausmultiplizieren passiert.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Fr 30.12.2005 | | Autor: | tms |
[mm] \pmat{ 1 & t & 1 & -1 \\ 0 & 2-8t & -6 & 8 \\ 0 & 0 & 2t-2t-12 & -6t+18 } [/mm]
So, hab jetzt den Rechenfehler gefunden und nochmals das ganze null gesetzt: -6t+18=0 ==> t=-3
Leider ist mir jetzt aufgefallen, dass nicht wie oben angegeben -3 und 2 sondern 3 und -2 die Ergebnisse sind.
Kann mir jemand meinen Rechenfehler sagen und wie ich zu der 2 als 2.Lösung komme?
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Hallo tms,
MathePower hat die Determinante deiner Matrix bestimmt. In deinem Fall ist diese eine Parabel. Er hat dann die Nullstellen dieser Parabel bestimmt.
Wenn ihr euch aber nicht mit Determinanten beschäftigt habt, müssen wir es wohl so versuchen. Also wenden wir den Gauss-Algorithmus an, und schauen, ob sich nicht irgendwo eine Situation ergibt, wo wir den Definitionsbereich von [mm]t[/mm] einschränken müssen, damit der Algorithmus funktioniert. Wir müssen hier also den Algorithmus anwenden, und dabei sicherstellen, daß er auch wirklich bei einem gegebenen [mm]t[/mm] in dem jeweiligen Schritt funktioniert. (Stell' dir einfach ein Programm vor, welches den Gauß-Algorithmus ausführt, und dabei bei einem Schritt abstürzt, weil es den Versuch einer Division durch Null gegeben hat!  Solche Schritte wollen wir erkennen.):
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der letzte Schritt ist schonmal interessant, weil der Nenner des Bruches mit dem wir die 2te Zeile multiplizieren für [mm]t = \frac{1}{4}[/mm] Null wird. Allerdings ist das nur ein scheinbares Problem, weil es sich hier um ein Pivotelement handelt wie man durch Nachrechnen herausfinden kann. Während der Algorithmus ausgeführt wird, wird also $2-8t = 0$ und es findet eine Zeilenvertauschung der 2ten und 3ten Zeile statt, wodurch der Algorithmus ohne Probleme ausgeführt werden kann. Also haben wir hier noch keinen Widerspruch gefunden. Nach der letzten Umformung erhalten wir als Endergebnis des Gauss-Algorithmus:
[mm]\left(\begin{array}{ccc|c}1 & t & 1 & -1\\0 & 2-8t & -6 & 8\\0&0&\frac{(t+2)(t-3)}{4t-1}&\frac{3(3-t)}{4t-1}\end{array}\right)[/mm]
Und hier sehen wir nun, daß die komplette letzte Zeile des Gleichungssystems für [mm]t = -2[/mm] oder [mm]t = 3[/mm] Null wird. Damit erhalten wir ein System mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten, was keine eindeutige Lösung (aber eine Lösungsmenge für [mm]t=3[/mm]) besitzt.
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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