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Linearfaktoren einer Funktion: Zusammenhang verstehen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Fr 03.05.2013
Autor: alinus

Kann mir jemand erkären, warum sich die Linearfaktoren einer Polynomfunktion aus den Nullstellen dieser Polynomfunktion ergeben? Bzw. warum es gerade die Nullstellen sind?
Danke :-)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Linearfaktoren einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Fr 03.05.2013
Autor: Marcel

Hallo,

ich weiß gerade nicht, ob ich Deine Frage:

> Kann mir jemand erkären, warum sich die Linearfaktoren
> einer Polynomfunktion aus den Nullstellen dieser
> Polynomfunktion ergeben? Bzw. warum es gerade die
> Nullstellen sind?

richtig verstehe: Kannst Du sie nochmal umformulieren?
(Du kannst es auch mit einem Beispiel verdeutlichen!)

Falls ich sie richtig verstehe: Das begründet sich bspw. mit
der Polynomdivision!
(Man kann es auch anders begründen, aber gibt's da was schulgerechtes?)

P.S. Wenn Du irgendwie dran kommst, schau mal in "Heuser, Analyis I",
vielleicht findest Du auch mit Googel books entsprechende Stellen. Da
steht - soweit ich mich erinnere - einiges sehr ausführlich zu
Polynomfunktionen. Ich muss leider jetzt weg...

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Linearfaktoren einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:11 Sa 04.05.2013
Autor: Marcel

Hallo,

genaueres findest Du etwa im Heuser, etwa []Satz 15.3 (Divisionssatz):
[]Klick! (Seite 125)

Ich hoffe, bei Dir läßt Dich die Leseprobe reingucken...

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Linearfaktoren einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:33 Sa 04.05.2013
Autor: alinus

Hallo Marcel,

vielen Dank für die Antworten!

ich akzeptiere jetzt einfach, das sich jedes Polynom durch eindeutig bestimmbare andere Polynome darstellen lassen.
Wenn ich das Polynom p gegeben habe und es durch x-x1 teilen möchte, dann geht das nur, wenn x1 eine Nullstelle von p ist.
So wie das auch im Heuser beschrieben wird.
Das reicht mir erstmal :-)




Bezug
                        
Bezug
Linearfaktoren einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 Sa 04.05.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>  
> vielen Dank für die Antworten!
>  
> ich akzeptiere jetzt einfach, das sich jedes Polynom durch
> eindeutig bestimmbare andere Polynome darstellen lassen.
>  Wenn ich das Polynom p gegeben habe und es durch x-x1

schreibe das als [mm] $x-x_1$ [/mm] ($x-x_1$)

> teilen möchte, dann geht das nur, wenn x1 eine Nullstelle
> von p ist.

Ne, Polynomdivision kannst Du natürlich immer betreiben. Ist halt die
Frage, "ob sie dann abbricht" (ähnlich, wie Du etwa bei der schriftlichen
Division [mm] $17:7\,$ [/mm] ja auch rechnen kannst - übrigens macht man bei beiden
Verfahren prinzipiell sogar das gleiche; man verwendet eigentlich nur
sowas wie das Distributiv-, Ass. und Kommutativgesetz und "schaut sich
Differenzen an"), bzw. sagen wir es mal besser: Wenn [mm] $x_1\,$ [/mm] Nullstelle von
[mm] $p\,$ [/mm] ist, dann entsteht bei der Polynomdivision [mm] $p:(x-x_1)$ [/mm] wieder ein
Polynom (ohne "Rest, der eine 'echte' rationale Funktion ist").

> So wie das auch im Heuser beschrieben wird.
>  Das reicht mir erstmal :-)

Okay. Wie gesagt: Genaueres steht im Heuser, das ist auch nicht so schwer
verständlich (lies Dir die paar zugehörigen Seiten zuvor auch noch durch).
Du kannst aber auch gerne nochmal nachfragen.

Und nur als Beispiel:
[mm] $p(x)=(x^2-1)$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] hat genau die Nullstellen [mm] $x=1\,$ [/mm] bzw. [mm] $x=-1\,.$ [/mm]

Du kannst aber dennoch rechnen:

    [mm] $(x^2-1):(x+3)=x+...$ [/mm]

Jetzt rechnest Du [mm] $(x^2-1)-x*(x+3)=x^2-1-x^2-3=-4$ [/mm] und siehst so

    [mm] $(x^2-1):(x+3)=x+\frac{-4}{x+3}$ [/mm]

Da steht halt rechterhand nur kein Polynom.

Gruß,
  Marcel

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