Linearfaktoren über Z/37Z < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Fr 24.04.2009 | | Autor: | AnitaSu |
| Aufgabe | | Sei [mm] f(x)=x^6-1. [/mm] Zerfällt f über Z/37Z in Linearfaktoren? |
Ich habe eine Lösung für diese Aufgabe die aber recht aufwendig ist und würde gerne wissen ob es einfacher geht.
Meine Lösung: Man sieht sofort [mm] x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)
[/mm]
Nun sind die Nullstellen 1 und -1 ersichtlich und ich berechne die Restpolynome mit Polynomdivision.
Das ergibt: [mm] x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) [/mm] und [mm] x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
[/mm]
Ich suche weitere Nullstellen mittels [mm] x^2=-x-1(mod37) [/mm] und [mm] x^2=x-1(mod37)
[/mm]
und ab hier habe ich einfach im Taschenrechner ausprobiert und bin auf 10 und 11 gekommen, -11 und -10 haben sich dann durch polynomdivision ergeben,
so dass [mm] x^6-1=(x+1)(x-1)(x+10)(x-10)(x+11)(x-11) [/mm] ist. und somit in Linearfaktoren zerfällt.
Kann mir jemand sagen wie das besser gehen würde, denn so viel zeit habe ich in der Klausur nicht dass ich einfach wild ausprobieren kann.
schon mal vielen Dank für die Antworten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Fr 24.04.2009 | | Autor: | statler |
Hallo Anita und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm]f(x)=x^6-1.[/mm] Zerfällt f über Z/37Z in Linearfaktoren?
> Ich habe eine Lösung für diese Aufgabe die aber recht
> aufwendig ist und würde gerne wissen ob es einfacher geht.
>
> Meine Lösung: Man sieht sofort [mm]x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)[/mm]
> Nun sind die Nullstellen 1 und -1 ersichtlich und ich
> berechne die Restpolynome mit Polynomdivision.
> Das ergibt: [mm]x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)[/mm] und [mm]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/mm]
> Ich suche weitere Nullstellen mittels [mm]x^2=-x-1(mod37)[/mm] und
> [mm]x^2=x-1(mod37)[/mm]
> und ab hier habe ich einfach im Taschenrechner ausprobiert
> und bin auf 10 und 11 gekommen, -11 und -10 haben sich dann
> durch polynomdivision ergeben,
> so dass [mm]x^6-1=(x+1)(x-1)(x+10)(x-10)(x+11)(x-11)[/mm] ist. und
> somit in Linearfaktoren zerfällt.
>
> Kann mir jemand sagen wie das besser gehen würde, denn so
> viel zeit habe ich in der Klausur nicht dass ich einfach
> wild ausprobieren kann.
(Z/37)* ist eine zyklische Gruppe mit 36 Elementen, in der gibt es genau eine Untergruppe der Ordnung 6, und die Elemente dieser Untergruppe sind gerade die Nullstellen deines Polynoms. Wenn du sie also nicht explizit bestimmen sollst, kannst du als Antwort einfach JA hinschreiben (evtl mit dieser Begründung).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Fr 24.04.2009 | | Autor: | AnitaSu |
vielen dank für deine Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Sa 25.04.2009 | | Autor: | AnitaSu |
Warum hat Z/37Z nur 36 und nicht 37 Elemente?
Denn Rest der Argumentation verstehe, ich aber hier steh ich auf dem Schlauch. Wird etwa das Neutrale element [0] bei der Ordnung nicht mitgezählt?
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Hallo AnitaSu,
> Warum hat Z/37Z nur 36 und nicht 37 Elemente?
Dieter hat ja auch nicht von [mm] $\left(\IZ/37\IZ\right)$ [/mm] gesprochen, sondern von der Einheitengruppe (oder prime Restklassengruppe) [mm] $\left(\IZ/37\IZ\right)^{\star}$, [/mm] in der sämtliche Restklassen von zu 37 teilerfremden Zahlen drin sind. Da wird natürlich die (Restklasse der) Null rausgenommen ...
Und das sind eben [mm] $\varphi(37)=37-1=36$ [/mm] an der Zahl [mm] ($\varphi$: [/mm] Eulersche [mm] $\varphi$-Funktion)
[/mm]
> Denn Rest der Argumentation verstehe, ich aber hier steh
> ich auf dem Schlauch. Wird etwa das Neutrale element [0]
> bei der Ordnung nicht mitgezählt?
LG
schachuzipus
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