Linearfaktorzerlegung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Lieber matheraum,
mir stellt sich gerade die Frage, wann ich davon ausgehen kann, dass ein Polynom in Linearfaktoren zerfällt, wenn ich es in einem Modul betrachte.
Ich habe folgende Aufgabe: Wann lässt sich eine vollständige Linearfaktorzerlegung für [mm] x^4 \pm x^3 \pm x^2 \pm [/mm] x [mm] \pm [/mm] 1 [mm] \equiv [/mm] p angeben. Bzw für welche p existiert diese.?
Unser Übungsleiter meinte, wir sollten uns zuerst den Fall anschauen, dass wir überall ein plus stehen haben.
Leider schaffe ich diesen Spezialfall schon nicht, könntet ihr mir dafür einen Tipp geben?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 So 17.06.2012 | | Autor: | hippias |
Also fuer welche Primzahlen $p$ zerfaellt $f:= [mm] x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\in \IZ_{p}[x]$ [/mm] vollstaendig in Linearfaktoren? Beachte dazu, dass [mm] $f\vert x^{5}-1$, [/mm] und dass die Nullstellenmenge von [mm] $x^{5}-1$ [/mm] eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe von [mm] $\IZ_{p}$ [/mm] ist. Ueber die Ordnung dieser Untergruppe muesste man ein Kriterium ableiten koennen. Eventuell ist eine Fallunterscheidung $p= 5$ und [mm] $p\neq [/mm] 5$ nuetzlich.
|
|
|
| |
|
Hallo, schonmal danke für die Antwort.
Das f [mm] x^5-1 [/mm] teilt ist klar. Aber [mm] x^5-1 [/mm] hat ja gegebenenfalls 1 Nullstelle mehr. Ich weiß natürlich, dass wenn [mm] x^5-1 [/mm] in Linearfaktoren zerfällt, dass dann auch [mm] x^4 [/mm] ... ebenso in Linearfaktoren zerfällt. Aber so bekomme ich doch nicht alle Primzahlen heraus, sondern nur eine Teilmenge davon oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Mo 18.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, schonmal danke für die Antwort.
> Das f [mm]x^5-1[/mm] teilt ist klar. Aber [mm]x^5-1[/mm] hat ja
> gegebenenfalls 1 Nullstelle mehr. Ich weiß natürlich,
> dass wenn [mm]x^5-1[/mm] in Linearfaktoren zerfällt, dass dann auch
> [mm]x^4[/mm] ... ebenso in Linearfaktoren zerfällt. Aber so bekomme
> ich doch nicht alle Primzahlen heraus, sondern nur eine
> Teilmenge davon oder?
Wenn $f$ eine Nullstelle in [mm] $\IZ_p$ [/mm] hat, dann gibt es nur zwei Moeglichkeiten fuer die Ordnung der Nullstelle in der multiplikativen Gruppe. Und die eine kann nur dann auftreten, wenn die Nullstelle gleich 1 ist (und das wiederum kann nur im Fall $p = 5$ auftreten).
LG Felix
|
|
|
| |
|
Wir hatten als Ordnung von a mod p bis jetzt immer nur die kleinste Zahl n, sodass [mm] a^n \equiv [/mm] 1 mod p. Meint ihr diese Ordnung?
Ich komm leider überhaupt nicht mit =(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mo 18.06.2012 | | Autor: | hippias |
Genau diese Ordnung ist gemeint. Uebrigens: die eventuell zusaetzliche Nullstelle, die durch Betrachtung von [mm] $x^{5}-1$ [/mm] ins Spiel kommt, hat man im Griff, weil Du Dir ueberlegen kannst, dass es stets die $1$ ist.
|
|
|
| |
|
Dann weiß ich jetzt immerhin wodrüber ihr mit mir redet. Aber einen Schimmer wie ich diese mit einbauen soll habe ich noch nicht.
Ich untersuche das Polynom [mm] x^5-1. [/mm] Die zusätzliche Nullstelle ist die 1, es ist ja quasi (x-1) * mein Ausgangspolynom. Dann weiß ich natürlich, dass die Ordnung der 1 immer 1 ist. Und wie mach ich jetzt weiter? Was mach ich mit der Ordnung der restlichen Nullstellen modulo p?
Aber schonmal Danke für die Zeitinvestition!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Di 19.06.2012 | | Autor: | hippias |
1. Zeige: Die Menge [mm] $\{x|x^{5}= 1\}$ [/mm] bildet eine multiplikative Untergruppe.
2. Ueberlege Dir welche Ordnung (=Anz. der Elemente) diese Gruppe haben kann; die Ordnung wird von $p$ abhaengen und Dir eventuell schon das gesuchte Kriterium liefern.
|
|
|
|
