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Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe Fragen zu allen Teilaufgaben.
Zunächst aber eine zu [mm] U^0. U^0 [/mm] ist ja die Menge aller Linearformen, die falls man sie auf U einschränkt alle Elemente auf 0 abbilden. Richtig?
Zu Teilaufgabe a:
Ich soll zeigen, dass [mm] U^0 [/mm] ein Untervektorraum von [mm] V^{*} [/mm] ist. Dazu muss ich ja einfach die Untervektorraumkriterien nachweise.
(i) Die Nullabbildung muss in [mm] U^0 [/mm] sein. Das ist genau dann der Falls, falls [mm] U^0 \not= \emptyset, [/mm] da ja jedes Element aus [mm] U^0 [/mm] die Nullabbildung ist.
(ii) Für [mm] \phi_1, \phi_2 \in U^0 [/mm] mit x [mm] \IK [/mm] gilt: [mm] \underbrace{\phi_1(x)}_{=0} [/mm] + [mm] \underbrace{\phi_2(x)}_{=0} [/mm] = [mm] \underbrace{(\phi_1 + \phi_2)}_{=0}(x) [/mm] und daraus folgt, dass [mm] (\phi_1 [/mm] + [mm] \phi_2) \in U^0.
[/mm]
(iii) Für [mm] \alpha \in \IK, \phi \in U^0 [/mm] gilt: [mm] \alpha \underbrace{\phi(x)}_{=0} \Rightarrow (\alpha \phi(x)) \in U^0.
[/mm]
Soweit alles richtig?
Dann zu Teilaufgabe b:
Zum Verständnis: Falls ich [mm] \overline{\phi} [/mm] ein Argument z.B x+U [mm] \in [/mm] V/U übergebe, so wird nur das "x" des Argumentes weitergereicht an [mm] \phi. [/mm] Und [mm] \phi [/mm] bildet ja alles auf 0 ab.
Ich soll nun zeigen, dass [mm] \overline{\phi} [/mm] wohldefiniert und linear ist. Was in diesem Zusammenhand wohldefiniert bedeutet ist mir unklar. Die Linearität habe ich wie folge bewiesen:
Seien (x + U), (y + U) [mm] \in [/mm] V/U, dann
[mm] \overline{\phi}(x [/mm] + U) + [mm] \overline{\phi}(y [/mm] + U) = [mm] \phi(x) [/mm] + [mm] \phi(y) [/mm] = [mm] \phi(x [/mm] + y) = [mm] \overline{\phi}((x [/mm] + U) + (y + U))
Wobei ich mir beim letzten Schritt absolut unsicher bin.
Nun müsste ich das selbe noch mit der Skalarmultiplikation zeigen, was ich analog machen würde.
Richtig so?
Zu Teilaufgabe c)
f Isomorphismus [mm] \gdw [/mm] f injektiv und f surjektiv. Aber mit dem Ansatz komme ich wohl nicht weit. Oder doch? Ich denke mal, dass ich bei der Teilaufgabe c mit dem Kern, Bild von f arbeiten muss. Allerdings habe ich zur Aufgabe c keine wirklich gute Idee. Hilfe :D
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich habe Fragen zu allen Teilaufgaben.
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> Zunächst aber eine zu [mm]U^0. U^0[/mm] ist ja die Menge aller
> Linearformen, die falls man sie auf U einschränkt alle
> Elemente auf 0 abbilden. Richtig?
Hallo,
ja, richtig.
>
> Zu Teilaufgabe a:
> Ich soll zeigen, dass [mm]U^0[/mm] ein Untervektorraum von [mm]V^{*}[/mm]
> ist. Dazu muss ich ja einfach die Untervektorraumkriterien
> nachweise.
Ja.
>
> (i) Die Nullabbildung muss in [mm]U^0[/mm] sein.
Ja.
Das ist genau dann
> der Falls, falls [mm]U^0 \not= \emptyset,[/mm] da ja jedes Element
> aus [mm]U^0[/mm] die Nullabbildung ist.
Diese Begründung ist ziemlich kraus.
Du mußt sagen, warum die Null aus [mm] V^{\*} [/mm] in [mm] U^0 [/mm] ist.
>
> (ii) Für [mm]\phi_1, \phi_2 \in U^0[/mm] mit x [mm]\IK[/mm] gilt:
Das wird aber überhaupt nicht klappen! [mm] \phi_i [/mm] ist doch nicht auf Elementen von [mm] \IK [/mm] definiert.
Also: für x [mm] \in [/mm] ? gilt:
0=0+0
> [mm]\underbrace{\phi_1(x)}_{=0}[/mm] + [mm]\underbrace{\phi_2(x)}_{=0}[/mm] =
> [mm]\underbrace{(\phi_1 + \phi_2)}_{=0}(x)[/mm] und daraus folgt,
> dass [mm](\phi_1[/mm] + [mm]\phi_2) \in U^0.[/mm]
>
> (iii) Für [mm]\alpha \in \IK, \phi \in U^0[/mm] gilt:
Und das x?
> [mm]\alpha \underbrace{\phi(x)}_{=0} \Rightarrow (\alpha \phi(x)) \in U^0.[/mm]
>
> Soweit alles richtig?
Richtig gemeint.
[mm] 0=\alpha*0=\alpha*\phi (x)=(\alpha\phi)(x) [/mm] ==> [mm] \alpha\phi \in U^0.
[/mm]
>
> Dann zu Teilaufgabe b:
>
> Zum Verständnis: Falls ich [mm]\overline{\phi}[/mm] ein Argument z.B
> x+U [mm]\in[/mm] V/U übergebe, so wird nur das "x" des Argumentes
> weitergereicht an [mm]\phi.[/mm]
[mm] \overline{\phi}(x+U)=\phi(x)
[/mm]
> Und [mm]\phi[/mm] bildet ja alles auf 0 ab.
Nein. [mm] \phi [/mm] bildet ledigleich die Elemente aus U auf die Null ab.
> Ich soll nun zeigen, dass [mm]\overline{\phi}[/mm] wohldefiniert und
> linear ist. Was in diesem Zusammenhand wohldefiniert
> bedeutet ist mir unklar.
Es geht um die Repräsentantenunabhängigkeit.
Du mußt zeigen, daß für x+U=y+U auch [mm] \overline{\phi}(x+U)=\overline{\phi}(y+U) [/mm] ist.
(Das ist nichts Triviales, denn x+U=y+U bedeutet nicht, daß zwangsläufig x=y ist.)
Die Linearität habe ich wie folge
> bewiesen:
>
> Seien (x + U), (y + U) [mm]\in[/mm] V/U, dann
>
> [mm]\overline{\phi}(x[/mm] + U) + [mm]\overline{\phi}(y[/mm] + U) = [mm]\phi(x)[/mm] +
> [mm]\phi(y)[/mm] = [mm]\phi(x[/mm] + y) = [mm]\overline{\phi}((x[/mm] + U) + (y + U))
>
> Wobei ich mir beim letzten Schritt absolut unsicher bin.
Du solltest noch einen Schritt dazwischenschieben: [mm] ...\overline{\phi}((x+y) [/mm] + U)) [mm] =\overline{\phi}((x [/mm] + U) + (y + U))
Überlege Dir, wie Du jeden Schritt begründen kannst.
>
> Nun müsste ich das selbe noch mit der Skalarmultiplikation
> zeigen, was ich analog machen würde.
Ja.
> Zu Teilaufgabe c)
>
> f Isomorphismus [mm]\gdw[/mm] f injektiv und f surjektiv. Aber mit
> dem Ansatz komme ich wohl nicht weit. Oder doch? Ich denke
> mal, dass ich bei der Teilaufgabe c mit dem Kern, Bild von
> f arbeiten muss.
Naja, das hat doch gerade etwas mit injektiv und surjektiv zu tun.
> Allerdings habe ich zur Aufgabe c keine
> wirklich gute Idee.
Ich würde zunächst versuchen zu zeigen, daß Kernf nur die Null enthält. Damit hast Du die Injektivität.
Gruß v. Angela
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"Diese Begründung ist ziemlich kraus.
Du mußt sagen, warum die Null aus $ [mm] V^{\cdot{}} [/mm] $ in $ [mm] U^0 [/mm] $ ist."
Hmmm. Sorry ich stehe da auf dem Schlauch...
"Also: für x $ [mm] \in [/mm] $ ? gilt:"
Ja sorry. für x [mm] \in [/mm] U - oder?
"Und das x?"
Was meinst du damit?
"Du solltest noch einen Schritt dazwischenschieben:"
Ich glaube da hast du dich bei den Formeln vertippt. Jedenfalls wird das bei mir nicht korrekt angezeigt. Könntest du da nochmal drüber schauen und korrigieren? Dann würde ich vielleicht auch das verstehen, was du schreibst. :) Danke.
"Ich würde zunächst versuchen zu zeigen, daß Kernf nur die Null enthält. Damit hast Du die Injektivität."
Werde ich mal versuchen.
Vielen Dank für deien Mühe.
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> "Diese Begründung ist ziemlich kraus.
> Du mußt sagen, warum die Null aus [mm]V^{\cdot{}}[/mm] in [mm]U^0[/mm]
> ist."
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> Hmmm. Sorry ich stehe da auf dem Schlauch...
Hallo,
aber daß die Null aus [mm] V^{\cdot{}} [/mm] in [mm] U^0 [/mm] enthalten sein muß, ist Dir doch klar, oder?
Du brauchst nun eine Begründung dafür.
Warum ist die Abbildung [mm] \phi_{null}:V\to \IK [/mm] mit [mm] \phi_{null}(x):=0 [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] V
in [mm] U^0 [/mm] enthalten?
(Deine Begründung war nicht in Ordnung: erstens setzt Du [mm] U^0\not=\emptyset [/mm] voraus, was wir ja überhaupt erst noch wissen wollen, und zweitens ist nicht nur die Nullabbildung in [mm] U^0.)
[/mm]
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> "Also: für x [mm]\in[/mm] ? gilt:"
> Ja sorry. für x [mm]\in[/mm] U - oder?
Ja.
>
> "Und das x?"
> Was meinst du damit?
Ich meine damit, daß Du nicht gesagt hast, aus welcher Menge Du Dein x nehmen möchtest. Aus V? Nein. Aus U.
>
> "Du solltest noch einen Schritt dazwischenschieben:"
> Ich glaube da hast du dich bei den Formeln vertippt.
Kaum. Ein mm in eckige Klammern war mir dazwischengeraten, das ist inzwischen ausgemerzt.
> "Ich würde zunächst versuchen zu zeigen, daß Kernf nur die
> Null enthält. Damit hast Du die Injektivität."
> Werde ich mal versuchen.
Ja, tu das. Überlege Dir zunächst, was mit "Null" gemeint ist, die Null eines welchen Raumes.
Gruß v. Angela
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"aber daß die Null aus $ [mm] V^{\cdot{}} [/mm] $ in $ [mm] U^0 [/mm] $ enthalten sein muß, ist Dir doch klar, oder?"
Weil jede Linearform die 0 immer auf die 0 abbildet?
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> "aber daß die Null aus [mm]V^{\*}[/mm] in [mm]U^0[/mm] enthalten sein
> muß, ist Dir doch klar, oder?"
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> Weil jede Linearform die 0 immer auf die 0 abbildet?
Nein, das ist nicht der Grund.
In [mm] U^0 [/mm] sind doch die Linearformen, die eingeschränkt auf U die Nullabbildung sind.
Nun gucken wir die Nullabbildung aus [mm] V^{\*} [/mm] an. Ist die auf U eingeschränkt die Nullabbildung? Natürlich!!! Also ist sie drin in [mm] U^0.
[/mm]
(Ich habe das Gefühl, daß es Dir nicht zu jeder Zeit klar ist, daß in [mm] U^0 [/mm] Abbildungen enthalten sind, deren Definitionsbereich V ist.)
Gruß v. Angela
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Danke.
Hmmm der Definitionsbereich ist V - das ist mir klar. Aber es werden doch nur Werte aus U der Abbildung übergeben...
Eine Frage zu:
"Es geht um die Repräsentantenunabhängigkeit.
Du mußt zeigen, daß für x+U=y+U auch $ [mm] \overline{\phi}(x+U)=\overline{\phi}(y+U) [/mm] $ ist.
(Das ist nichts Triviales, denn x+U=y+U bedeutet nicht, daß zwangsläufig x=y ist.) "
Mein kleiner - mit Sicherheit falscher (wie üblich) Ansatz:
x+U=y+U [mm] \gdw [/mm] (y-x) [mm] \in [/mm] U (Gleichheit der Nebenklassen)
Dann gilt [mm] \overline{\phi}((y-x) [/mm] + U) = [mm] \phi(y-x) [/mm] = [mm] \phi(y) [/mm] - [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \overline{\phi}(y+U) [/mm] - [mm] \overline{\phi}(x+U) \Rightarrow \overline{\phi}(y+U) [/mm] = [mm] \overline{\phi}(x+U)
[/mm]
Darf ich mich nun in die Ecke stellen?
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> Danke.
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> Hmmm der Definitionsbereich ist V - das ist mir klar. Aber
> es werden doch nur Werte aus U der Abbildung übergeben...
>
Reden wir gerade über verschiedene Dinge??? Wir plauderten doch gerade darüber, warum die Abbildung [mm] \phi_{null} [/mm] in [mm] U^0 [/mm] enthalten ist. (?)
Ich weiß wirklich nicht, was Du hier mit "übergeben" meinst. [mm] U^0 [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] V^{\*}, [/mm] in [mm] U^0 [/mm] sind also gewisse Elemente aus [mm] V^{\*} [/mm] enthalten, und warum [mm] \phi_{null} [/mm] in diesem illustren Kreis ist, das war doch die Frage.
Und - falls Du das falsch verstanden hast, was ich stark vermute: es sind in [mm] U^0 [/mm] nicht (!) die Einschränkungen der Linearform auf U, sondern Linearformen auf V.
> Eine Frage zu:
>
> "Es geht um die Repräsentantenunabhängigkeit.
>
> Du mußt zeigen, daß für x+U=y+U auch
> [mm]\overline{\phi}(x+U)=\overline{\phi}(y+U)[/mm] ist.
>
> (Das ist nichts Triviales, denn x+U=y+U bedeutet nicht, daß
> zwangsläufig x=y ist.) "
>
> Mein kleiner - mit Sicherheit falscher (wie üblich)
> Ansatz:
>
> x+U=y+U [mm]\gdw[/mm] (y-x) [mm]\in[/mm] U (Gleichheit der Nebenklassen)
>
> Dann gilt [mm]\overline{\phi}((y-x)[/mm] + U) = [mm]\phi(y-x)[/mm] = [mm]\phi(y)[/mm]
> - [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\overline{\phi}(y+U)[/mm] - [mm]\overline{\phi}(x+U) \Rightarrow \overline{\phi}(y+U)[/mm]
> = [mm]\overline{\phi}(x+U)[/mm]
>
> Darf ich mich nun in die Ecke stellen?
Nein, das was Du getan hast, ist nicht übel.
Eine Frage bleibt noch offen: warum folgt, daß [mm] \overline{\phi}(y+U)=\overline{\phi}(x+U) [/mm] ?
Gruß v. Angela
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"Eine Frage bleibt noch offen: warum folgt, daß $ [mm] \overline{\phi}(y+U)=\overline{\phi}(x+U) [/mm] $ ?"
Hmmm vielleicht weil:
[mm] \underbrace{\phi(y)}_{=0} [/mm] - [mm] \underbrace{\phi(x)}_{=0} [/mm] = 0 - 0 = 0
Jetzt kann man ja einfach [mm] \phi(x) [/mm] addieren:
[mm] \phi(y) [/mm] = [mm] \phi(x) [/mm] und das ist ja gerade [mm] \overline{\phi}(y+U)=\overline{\phi}(x+U) [/mm] - oder?
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> "Eine Frage bleibt noch offen: warum folgt, daß
> [mm]\overline{\phi}(y+U)=\overline{\phi}(x+U)[/mm] ?"
>
> Hmmm vielleicht weil:
>
> [mm]\underbrace{\phi(y)}_{=0}[/mm] - [mm]\underbrace{\phi(x)}_{=0}[/mm] = 0 -
> 0 = 0
Warum sollten [mm] \phi [/mm] (x) und [mm] \phi [/mm] (y) jeweils =0 sein? Ich sehe keinen Grund dafür.
Gruß v. Angela
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Hmm weil doch (y-x) [mm] \in [/mm] U und [mm] \phi(y-x) [/mm] = 0 - dann ist auch, da [mm] \phi [/mm] linear [mm] \phi(y) [/mm] - [mm] \phi(x) [/mm] = 0 - oder?
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> Hmm weil doch (y-x) [mm]\in[/mm] U und [mm]\phi(y-x)[/mm] = 0 - dann ist
> auch, da [mm]\phi[/mm] linear [mm]\phi(y)[/mm] - [mm]\phi(x)[/mm] = 0 - oder?
Ja, so ist das richtig.
(Aber Dir ist klar, daß hieraus nicht etwa [mm] \phi(y)=\phi(x)=0 [/mm] folgt, ja?)
Gruß v. Angela
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