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Forum "HochschulPhysik" - Linearisierung
Linearisierung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Linearisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Mi 26.02.2014
Autor: Theb

Aufgabe
Am oberen Scheitelpunkt eines feststehenden Zylinders mit dem Raius R wird ein Fadenpendel befestigt (idealer Faden, an dessen Freiem Ende ein körper mit der Punktmasse m hängt). Der Winkel [mm] \varphi [/mm] bezeichne die Auslenkung des Fadens gegenüber dem Lot. Die nichtlineare Bewegungsgleichung lautet:
[mm] (l+R\varphi)*\ddot{\varphi} [/mm] + [mm] g*sin(\varphi) [/mm] + R [mm] \dot{\varphi}^2 [/mm] = 0

für den Bereich [mm] |\varphi [/mm] | < [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]

a) Bestimmen sie die Ruhelage [mm] \varphi^0 [/mm] des Sytems
b) Linearisieren sie die Bewegungsgleichungen um diese Ruhelage und geben sie die linearisierten "Bewegungsgleichungen" für das kleinsignal [mm] \tilde \varphi =\varphi [/mm] - [mm] \varphi^0 [/mm] an.
c) Beschreiben sie die Bewegung des Pendels in analytischer Form bei einer kleinen Anfangsauslenkung [mm] \tilde \varphi(0)=\tilde \varphi^a [/mm] und verschwindender Anfangswinkelgeschwindigkeit [mm] \dot{\tilde \varphi}(0) [/mm] = 0 um die Ruhelag im Zeitbereich.



Hallo,
mein Problem ist eher Aufgabe 1b.
Zu Aufgabe 1a habe ich für [mm] \varphi^0=0 [/mm] rausbekommen, ist das soweit korrekt?
Als nächstes habe ich mich an der linearisierung versucht. Das Kleinsignalverhalten sagt mir doch das ich Taylor-Entwicklung machen soll. Jedoch weiß ich nicht welche Gleichung ich entwickeln soll. Denn der Term
[mm] $(\ell+R*\varphi)*\ddot{\varphi}+g*\sin(\varphi)+R*\dot{\varphi}^2=0$ [/mm] ist ja noch keine gleichung um nach etwas abzuleiten. Also ich weiß nicht nach was ich diese Gleichung umstellen muss bzw soll.
Ein weiterer Ansatz von mir wäre das ich sage für sehr kleine [mm] \varphi [/mm] nutze ich die näherungen:

[mm] $\sin(\varphi)=\varphi$ [/mm] ; [mm] $\ddot{\varphi}=0$ [/mm] ; [mm] $\dot{\varphi}^2=0$ [/mm]

jedoch wird meine Linearisierte Bgl. dann zu [mm] g*\varphi=0 [/mm] und das kann ich mir irgendwie nicht vorstellen.

Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen wie ich weiter vorgehen kann?

MfG Seb

PS: ich hoffe man kann sich den Vorgang auch ohne Skizze / Bild vortellen

        
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Linearisierung: Latex-Darstellung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:25 Mi 26.02.2014
Autor: Loddar

Hallo Theb!


Die Ableitungspunkte über den Variablen kannst Du hier wie folgt darstellen:

\dot{\varphi} ergibt  [mm]\dot{\varphi}[/mm]

\ddot{\varphi} ergibt  [mm]\ddot{\varphi}[/mm]

Ich habe mir mal erlaubt, das in Deinem Artikel zu editieren.


Gruß
Loddar

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Linearisierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:34 Mi 26.02.2014
Autor: Theb

Danke :)
Wollte ich auch eigentlich noch nachfragen :D

lg

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Linearisierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Mi 26.02.2014
Autor: Diophant

Hallo Theb,

zu deinem Dateianhang: das ist so leider für uns nicht nachvollziehbar. Bitte habe Verständnis, dass wir uns zum Zwecke der Prüfung solcher Anhänge nicht erst igrnendwo anmelden können. Ohne ist aber nicht zu überprüfen, ob dein Anhang so gedruckt wie er ist frei ist.

Sei doch so gut und male die Skizze von Hand nach, das kannst du dann ohne Probleme hier hochladen.

Gruß, Diophant

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Linearisierung: Verschoben in Physik
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Mi 26.02.2014
Autor: Infinit

Hallo Theb,
mit Regelungstechnik hat diese Aufgabe wirklich nichts zu tun. Sie kommt aus der Mechanik in der Physik und dorthin verschiebe ich sie nun mal. Der Zuspruch ist dort hoffentlich größer als in der Regelungstechnik. 
Viele Grüße,
Infinit

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Linearisierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 Mi 26.02.2014
Autor: Theb

Vielen Dank, jedoch ist dies eine Prüfungsaufgabe aus der Regelungstechnik, deshalb meine Entscheidung.

Lg Seb

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Linearisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Mi 26.02.2014
Autor: leduart

Hallo
du sollst doch [mm] \dot{\varphi}=\phi-\phi_0 [/mm] nehmen, also bei Vernachlässigung von [mm] \phi^2 [/mm] gegen [mm] \phi*˜phi_0 [/mm]
es ist sicher nicht [mm] \phi'=0 [/mm]
gruss leduart

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Linearisierung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:45 Mi 26.02.2014
Autor: Theb


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Linearisierung: verwechslung?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:48 Mi 26.02.2014
Autor: Theb


> Hallo
>  du sollst doch [mm]\dot{\varphi}=\phi-\phi_0[/mm] nehmen, also bei

es steht [mm] \tilde{\varphi} [/mm] nicht   [mm] \dot{\varphi} [/mm]

> Vernachlässigung von [mm]\phi^2[/mm] gegen [mm]\phi*˜phi_0[/mm]
>  es ist sicher nicht [mm]\phi'=0[/mm]
>  gruss leduart


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Linearisierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Do 27.02.2014
Autor: chrisno

Ich denke auch, dass es sich nur um eine Variablentransformation handelt. In diesem Fall reduziert sie sich auf die Identität. da die Ruhelage bei Null ist.
Ich würde gerne ein Bild sehen, um die Differentialgleichung zu verstehen.

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Linearisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Do 27.02.2014
Autor: chrisno

$ [mm] (L+R\varphi) \cdot \ddot{\varphi} [/mm]  + g [mm] \cdot \sin(\varphi) [/mm] + R [mm] \dot{\varphi}^2 [/mm]  = 0$
Ist eine "Bewegungsgleichung zu der die Lösung [mm] $\varphi(t)$ [/mm] gesucht ist.
Mit der Näherung für "kleine" [mm] $\varphi$: [/mm]
aus [mm] $(L+R\varphi)$ [/mm] wird L,
aus [mm] $\sin(\varphi)$ [/mm] wird [mm] $\varphi$ [/mm]
aus [mm] $\dot{\varphi}^2$ [/mm] wird 0.
Dann bleibt die Bewegungsgleichung für eine harmonische Schwingung übrig.



Bezug
                
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Linearisierung: skizze und frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Do 27.02.2014
Autor: Theb

Aufgabe
[a]Datei-Anhang
hier die Skizze zur Aufgabe.

> [mm](L+R\varphi) \cdot \ddot{\varphi} + g \cdot \sin(\varphi) + R \dot{\varphi}^2 = 0[/mm]
>  

Hallo, vielen Dank schonmal für deine antwort

> Ist eine "Bewegungsgleichung zu der die Lösung [mm]\varphi(t)[/mm]
> gesucht ist.
>  Mit der Näherung für "kleine" [mm]\varphi[/mm]:
> aus [mm](L+R\varphi)[/mm] wird L,
> aus [mm]\sin(\varphi)[/mm] wird [mm]\varphi[/mm]
>  aus [mm]\dot{\varphi}^2[/mm] wird 0.
>  Dann bleibt die Bewegungsgleichung für eine harmonische
> Schwingung übrig.

Also bedeutet das, dass meine linearisierte BGL
[mm] l\cdot \ddot{\varphi}+ [/mm] g [mm] \cdot \varphi [/mm] = 0
ist?
Aber dafür nutze ich doch garnicht mein kleinsignalverhalten oder? Also mein [mm] \tilde \varphi [/mm] = [mm] \varphi [/mm] - [mm] \varphi_0 [/mm]

und vor allem verstehe ich nicht wieso nach Bewegungsgleichungen
gefragt ist. Ich habe doch nur eine?

LG Seb

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Linearisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Do 27.02.2014
Autor: chrisno


> [a]Datei-Anhang
>  hier die Skizze zur
> Aufgabe.

Danke. So komme ich auf die Differentialgleichung, bis auf den merkwürdigen Vorfaktor beim Reibungsterm. Steht da wirklich der Zylinderradius? Eigentlich müsste da im Nenner die Masse und $(l + [mm] R\varphi)$ [/mm] und im Zähler noch ein weiterer Vorfaktor, der den Reibungskoeffizienten beinhaltet, stehen. Andererseits stimmen die Einheiten, also kann ich vom Prinzip her nicht meckern.

> ...
>  Also bedeutet das, dass meine linearisierte BGL
> [mm]l\cdot \ddot{\varphi}+[/mm] g [mm]\cdot \varphi[/mm] = 0 ist?

[ok]

>  Aber dafür nutze ich doch garnicht mein
> kleinsignalverhalten oder? Also mein [mm]\tilde \varphi = \varphi - \varphi_0[/mm]

Ja und nein. Dadurch, dass [mm] $\varphi_0 [/mm] = 0$ musst Du dafür nichts tun. Das ist eben ein Spezialfall.

>  
> und vor allem verstehe ich nicht wieso nach
> Bewegungsgleichungen
>  gefragt ist. Ich habe doch nur eine?

Das halte ich für einen Fehler in der Aufgabe. Für so ein System gibt es nur eine Bewegungsgleichung.

Mir bereitet noch die Näherung [mm] $\dot{\varphi}^2 [/mm] = 0$ Bauchschmerzen. Diese ergibt sich nicht aus der Bedingung, dass kleine [mm] $\varphi$ [/mm] betrachtet werden. Die Bewegungsgleichung mit Stokesscher Reibung ist auch integrierbar, kann das im Bereich der Anforderungen liegen?


Bezug
                                
Bezug
Linearisierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 Do 27.02.2014
Autor: Theb

Hallo, danke für deine ausführlichen Antworten,
also

das [mm] \dot {\varphi} [/mm] = 0 kommt bei uns daher, weil gesagt wird das es sich um eine Ruhelage handelt, d.h. keine Bewegungen.

ich habe das ganze jetzt noch einmal mit der Taylorentwicklung Linearisiert und siehe da, ich bekomme das selbe Ergebnis.
Bzw eigentlich müsste die BGL

l [mm] \cdot \ddot {\tilde\varphi} [/mm] + g [mm] \cdot \tilde \varphi [/mm] = 0
lauten.  (also mit den Tilden)

Der "Knackpunkt" war der gewesen, das der Funktionswert der Ruhelage, wieder die Ruhelage selbst ist, damit sind die Bewegungen (Geschwindigkeiten und Beschleunigungen) wieder 0.
ich habe diese Rechnungsweise mit einigen anderen Übungsaufgaben ausprobiert. Da es sich bei uns bisher immer um Ruhelagen handelt, werden die Zeitableitungen von [mm] \varphi_0 [/mm] = 0 gesetzt.(auch bei den Lösungswegen vom Prof.)

Ob diese Bewegungsgleichung physikalisch korrekt ist, kann ich nicht beurteilen, denn eigentlich geht es hier um Regelungstechnik
(jedoch hat das Thema den Moderatoren hier nicht zu Regelungstechnik gepasst ;) )
und ja es geht um einen feststehenden Zylinder. Ich würde auch behaupten das man die Reibungen vernachlässigt, sicher dabei bin ich mir jedoch nicht, da ich nur ein Schema zur Linearisierung von nichtlinearen Differentialgleichungen anwende.

aber vielen dank trotzdem für deine hilfe

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