Linearisierung einer Funktion < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Do 11.08.2011 | | Autor: | Haiza |
| Aufgabe | Man linearisiere die Funktion $ z=5 [mm] \cdot \bruch{y^2}{x} [/mm] $ in der Umgebung von x = 1, y = 2,
berechne mit dieser Näherungsfunktion den Funktionswert an der Stelle x = 1,1, y = 1,8 und vergleiche diesen Näherungswert mit dem exakten Funktionswert. |
Hallo,
ich habe in dieser Aufgabe einfach das Wort "linearisiere" überlese, da ich es noch nicht kannte. Begann also die Fkt nach x und nach y abzuleiten. Anschließend gab ich jeweils die Anfangswerte und die veränderten Werte in Gleichung für das "totale/vollständige Differential" ein und erhielt Annäherungswerte. Anschließend gab ich die Anfangswerte und die veränderten Werte in die Ursprüngliche Funktion ein und erhielt Werte. So konnt ich einsehen in wie fern die Funktion den totalen Differentials von den korrekten Werten abweicht.
Anscheinand war dies aber nicht Sinn der Aufgabe. Nun habe ich mit dem Wort "linearisiere" auseinander gesetzt. Es bedeutet aus einer Differentialgleichung eine linieare Funktion zu "bauen" bzw in einem Punkt anzunähern also eine Tangente anzulegen.
Nun weiß ich aber nicht mehr weiter. Die Lösung sagt mir dass es einen Arbeitspunkt P (1;2;20) gibt. Woher kommt aber die 20? Ebenso sagt mir die Lösung das die linearisierte Funktion $ z=-20x+20y $ ist.
Ich weiß aber nicht so recht wie ich dahin komme.
Gruß
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Hallo Haiza,
> Man linearisiere die Funktion [mm]z=5 \cdot \bruch{y^2}{x}[/mm] in
> der Umgebung von x = 1, y = 2,
> berechne mit dieser Näherungsfunktion den Funktionswert
> an der Stelle x = 1,1, y = 1,8 und vergleiche diesen
> Näherungswert mit dem exakten Funktionswert.
> Hallo,
>
> ich habe in dieser Aufgabe einfach das Wort "linearisiere"
> überlese, da ich es noch nicht kannte. Begann also die Fkt
> nach x und nach y abzuleiten. Anschließend gab ich jeweils
> die Anfangswerte und die veränderten Werte in Gleichung
> für das "totale/vollständige Differential" ein und
> erhielt Annäherungswerte. Anschließend gab ich die
> Anfangswerte und die veränderten Werte in die
> Ursprüngliche Funktion ein und erhielt Werte. So konnt ich
> einsehen in wie fern die Funktion den totalen Differentials
> von den korrekten Werten abweicht.
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> Anscheinand war dies aber nicht Sinn der Aufgabe. Nun habe
> ich mit dem Wort "linearisiere" auseinander gesetzt. Es
> bedeutet aus einer Differentialgleichung eine linieare
> Funktion zu "bauen" bzw in einem Punkt anzunähern also
> eine Tangente anzulegen.
>
> Nun weiß ich aber nicht mehr weiter. Die Lösung sagt mir
> dass es einen Arbeitspunkt P (1;2;20) gibt. Woher kommt
> aber die 20?
Deine Funktion lautet [mm] $z=f(x,y)=\frac{5y^2}{x}$
[/mm]
Die Stelle [mm] $(x_0,y_0)=(1,2)$
[/mm]
Damit ist [mm] $P=(x_0,y_0,z_0)=(x_0,y_0,f(x_0,y_0)=\left(1,2,\frac{5\cdot{}2^2}{1}\right)=(1,2,20)$
[/mm]
> Ebenso sagt mir die Lösung das die
> linearisierte Funktion [mm]z=-20x+20y[/mm] ist.
>
> Ich weiß aber nicht so recht wie ich dahin komme.
Wie in der anderen Aufgabe mit der Tangentialebene berechne hier die Tangentialebene in Koordinatenform für $f$ im Punkt $P=(1,2,20)$
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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