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| Aufgabe | Ein Auto fährt eine Steigung hinauf.
Gegeben:
Vortriebskraft des Motors [mm]F_{Vortrieb}(t) = (k_1 - k_2 v(t)) \cdot \mu(t)[/mm]
Position des Gaspedals [mm]\mu = \mu(t) \in [0,1], \mu = 1[/mm] bedeutet "Gaspedal durchgetreten"
Geschwindigkeit [mm]v = v(t), v \geq 0[/mm]
Beschleunigung des Autos [mm]\dot v = \dot v(t)[/mm]
Konstanten [mm]k_1, k_2, k_3, k_4, k_5[/mm]
1.1
Die Fahrdynamik des Autos kann mit Hilfe der folgenden Gleichung beschrieben werden:
[mm]F_{Vortrieb}(t) = k_3 \cdot \bruch{dv(t)}{dt} + k_4 + k_5 \cdot v^2(t)[/mm]
Welche der Größen [mm] $\mu$ [/mm] und $v$ sind die Eingangsgröße $u(t)$ und die Zustandsgröße $x(t)$ der obigen Gleichung?
1.2
Formen Sie die Gleichung aus 1.1 um in ein mathematisches Modell der Form
[mm]\dot x(t) = a + b \cdot x^2(t) + c \cdot u(t) + d \cdot u(t) \cdot x(t)[/mm]! (1)
Wie lauten die Größen $a$, $b$, $c$ und $d$ als Funktionen von [mm] k_1, k_2, k_3, k_4 [/mm] und [mm] k_5?
[/mm]
1.3
Welche Geschwindigkeit erreicht das Auto im Arbeitspunkt [mm] x_R [/mm] (stationärer Zustand), wenn das Gaspedal voll durchgetreten ist, d.h. [mm] $\mu(t) [/mm] = 1$? Geben Sie [mm] x_R [/mm] als Funktion von [mm] k_1, k_2, k_3, k_4 [/mm] und [mm] k_5 [/mm] für t [mm] \rightarrow \infty [/mm] an!
1.4
Die Gleichung (1) aus Teil 1.2 soll um den Arbeitspunkt [mm] x_R [/mm] linearisiert werden. Für die Linearisierung soll [mm] $\mu [/mm] (t) = 1$ angenommen werden. Geben Sie die Größen $A$ und $B$ der Gleichung [mm]\Delta \dot x(t) = A \cdot \Delta x(t) + B \cdot \Delta u(t)[/mm] als Funktionen von [mm] k_1, k_2, k_3, k_4 [/mm] und [mm] k_5 [/mm] an! |
Hallo zusammen. Bei der Aufgabe handelt es sich um eine Altklausuraufgabe, bei der ich Aufgabenteil 1.1 bis 1.3 bereits gelöst habe (siehe unten). Bei der Aufgabe 1.4 habe ich leider noch nicht wirklich eine Idee.
1.1
[mm] $\mu$ [/mm] ist Eingangsgröße $u(t)$
$v$ ist Zustandsgröße $x(t)$
1.2
[mm]F_{Vortrieb}(t) = k_3 \cdot \bruch{dv(t)}{dt} + k_4 + k_5 \cdot v^2(t)[/mm]
[mm]F_{Vortrieb}(t) = (k_1 - k_2 \cdot v(t)) \cdot \mu(t)[/mm]
Gleichsetzen:
[mm]\Rightarrow (k_1 - k_2 \cdot v(t)) \cdot \mu(t) = k_3 \cdot \bruch{dv(t)}{dt} + k_4 + k_5 \cdot v^2(t)[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \dot x(t) = -\bruch{k_4}{k_3} - \bruch{k_5}{k_3} \cdot x^2(t) + \bruch{k_1}{k_3} \cdot u(t) - \bruch{k_2}{k_3} \cdot x(t) \cdot u(t)[/mm]
[mm]a = -\bruch{k_4}{k_3}, b = -\bruch{k_5}{k_3}, c = \bruch{k_1}{k_3}, d= -\bruch{k_2}{k_3}[/mm]
1.3
[mm]\mu(t) \overset{!}{=} 1 \Rightarrow u(t) = 1[/mm]
[mm]\Rightarrow \dot x(t) = \bruch{k_1}{k_3} - \bruch{k_2}{k_3} \cdot x(t) - \bruch{k_4}{k_3}- \bruch{k_5}{k_3} \cdot x^2(t) = 0[/mm]
[mm]\Rightarrow \dots \Rightarrow[/mm]
[mm]x_{R_{1,2}} = \bruch{-k_2 \pm \sqrt{k_2^2 + 4k_5k_1 - 4k_5k_4}}{2k_5}[/mm]
Zum einen wäre es schön, wenn sich jemand von Euch die Zeit nehmen könnte, um zu überprüfen, ob das was ich hier gemacht habe denn auch korrekt ist und zum anderen bräuchte ich eine allgemeine Vorgehensweise bei der 1.4. Kann mir da jemand mit ner Formel auf die Sprünge helfen? Mit dem was ich bisher gefunden habe, bin ich bisher noch nicht auf nen grünen Zweig gekommen.
Vielen Dank für Eure Bemühungen!
schneidross
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Hallo schneidross,
> Ein Auto fährt eine Steigung hinauf.
>
> Gegeben:
> Vortriebskraft des Motors [mm]F_{Vortrieb}(t) = (k_1 - k_2 v(t)) \cdot \mu(t)[/mm]
>
> Position des Gaspedals [mm]\mu = \mu(t) \in [0,1], \mu = 1[/mm]
> bedeutet "Gaspedal durchgetreten"
> Geschwindigkeit [mm]v = v(t), v \geq 0[/mm]
> Beschleunigung des
> Autos [mm]\dot v = \dot v(t)[/mm]
> Konstanten [mm]k_1, k_2, k_3, k_4, k_5[/mm]
>
> 1.1
> Die Fahrdynamik des Autos kann mit Hilfe der folgenden
> Gleichung beschrieben werden:
> [mm]F_{Vortrieb}(t) = k_3 \cdot \bruch{dv(t)}{dt} + k_4 + k_5 \cdot v^2(t)[/mm]
>
> Welche der Größen [mm]\mu[/mm] und [mm]v[/mm] sind die Eingangsgröße [mm]u(t)[/mm]
> und die Zustandsgröße [mm]x(t)[/mm] der obigen Gleichung?
>
> 1.2
> Formen Sie die Gleichung aus 1.1 um in ein mathematisches
> Modell der Form
> [mm]\dot x(t) = a + b \cdot x^2(t) + c \cdot u(t) + d \cdot u(t) \cdot x(t)[/mm]!
> (1)
> Wie lauten die Größen [mm]a[/mm], [mm]b[/mm], [mm]c[/mm] und [mm]d[/mm] als Funktionen von
> [mm]k_1, k_2, k_3, k_4[/mm] und [mm]k_5?[/mm]
>
> 1.3
> Welche Geschwindigkeit erreicht das Auto im Arbeitspunkt
> [mm]x_R[/mm] (stationärer Zustand), wenn das Gaspedal voll
> durchgetreten ist, d.h. [mm]\mu(t) = 1[/mm]? Geben Sie [mm]x_R[/mm] als
> Funktion von [mm]k_1, k_2, k_3, k_4[/mm] und [mm]k_5[/mm] für t [mm]\rightarrow \infty[/mm]
> an!
>
> 1.4
> Die Gleichung (1) aus Teil 1.2 soll um den Arbeitspunkt
> [mm]x_R[/mm] linearisiert werden. Für die Linearisierung soll [mm]\mu (t) = 1[/mm]
> angenommen werden. Geben Sie die Größen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] der
> Gleichung [mm]\Delta \dot x(t) = A \cdot \Delta x(t) + B \cdot \Delta u(t)[/mm]
> als Funktionen von [mm]k_1, k_2, k_3, k_4[/mm] und [mm]k_5[/mm] an!
> Hallo zusammen. Bei der Aufgabe handelt es sich um eine
> Altklausuraufgabe, bei der ich Aufgabenteil 1.1 bis 1.3
> bereits gelöst habe (siehe unten). Bei der Aufgabe 1.4
> habe ich leider noch nicht wirklich eine Idee.
>
> 1.1
> [mm]\mu[/mm] ist Eingangsgröße [mm]u(t)[/mm]
> [mm]v[/mm] ist Zustandsgröße [mm]x(t)[/mm]
>
> 1.2
> [mm]F_{Vortrieb}(t) = k_3 \cdot \bruch{dv(t)}{dt} + k_4 + k_5 \cdot v^2(t)[/mm]
>
> [mm]F_{Vortrieb}(t) = (k_1 - k_2 \cdot v(t)) \cdot \mu(t)[/mm]
>
> Gleichsetzen:
> [mm]\Rightarrow (k_1 - k_2 \cdot v(t)) \cdot \mu(t) = k_3 \cdot \bruch{dv(t)}{dt} + k_4 + k_5 \cdot v^2(t)[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \dot x(t) = -\bruch{k_4}{k_3} - \bruch{k_5}{k_3} \cdot x^2(t) + \bruch{k_1}{k_3} \cdot u(t) - \bruch{k_2}{k_3} \cdot x(t) \cdot u(t)[/mm]
>
> [mm]a = -\bruch{k_4}{k_3}, b = -\bruch{k_5}{k_3}, c = \bruch{k_1}{k_3}, d= -\bruch{k_2}{k_3}[/mm]
>
> 1.3
> [mm]\mu(t) \overset{!}{=} 1 \Rightarrow u(t) = 1[/mm]
> [mm]\Rightarrow \dot x(t) = \bruch{k_1}{k_3} - \bruch{k_2}{k_3} \cdot x(t) - \bruch{k_4}{k_3}- \bruch{k_5}{k_3} \cdot x^2(t) = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \dots \Rightarrow[/mm]
> [mm]x_{R_{1,2}} = \bruch{-k_2 \pm \sqrt{k_2^2 + 4k_5k_1 - 4k_5k_4}}{2k_5}[/mm]
>
Bis hierhin ist alles korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zum einen wäre es schön, wenn sich jemand von Euch die
> Zeit nehmen könnte, um zu überprüfen, ob das was ich
> hier gemacht habe denn auch korrekt ist und zum anderen
> bräuchte ich eine allgemeine Vorgehensweise bei der 1.4.
> Kann mir da jemand mit ner Formel auf die Sprünge helfen?
> Mit dem was ich bisher gefunden habe, bin ich bisher noch
> nicht auf nen grünen Zweig gekommen.
>
Stelle den nichlinearen Teil der Gleichung
als lineares Taylorpolynom um den Arbeitspunkt dar.
> Vielen Dank für Eure Bemühungen!
>
> schneidross
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Ich bin nun ein Stückchen weiter gekommen:
Gleichung aus 1.2:
[mm]\dot x(t) = a + b \cdot x^2(t) + c \cdot u(t) + d \cdot u(t) \cdot x(t)[/mm]
Aus [mm]\mu(t) = u(t) = 1[/mm] folgt:
[mm]\Rightarrow \dot x(t) = a + b \cdot x^2(t) + c + d \cdot x(t)[/mm]
[mm]\Rightarrow \dot x(t) = b \cdot x^2(t) + d \cdot x(t) + a + c[/mm]
Nichtlinearer Teil der Gleichung:
[mm]f(t) = b \cdot x^2(t)[/mm]
Taylorpolynom 1. Grades:
[mm]T_1(x) = f(x_R) + f'(x_R) \cdot (t - x_R)[/mm]
[mm]= b \cdot x^2(x_R) + 2b \cdot x(x_R) \cdot (t - x_R)[/mm]
(Ist das bis hier schonmal richtig?)
Ich habe nun zwei Probleme:
1. Ich bin mir unsicher beim Einsetzen von [mm] x_R, [/mm] weil es für [mm] x_R [/mm] nach meiner Rechnung ja eigentlich zwei Lösungen gibt, ich weiß also nicht welche von beiden ich einsetzen soll bzw. ob ich eine ausschließen kann.
2. Wie geht's weiter? Wie bringe ich das Ganze jetzt in die gewünschte Form:
[mm]\Delta \dot x(t) = A \cdot \Delta x(t) + B \cdot \Delta u(t)[/mm]?
(Insbesondere, da $u(t)$ ja eigentlich 1 ist, oder?).
Über weitere Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Viele Grüße
schneidross
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Hallo schneidross,
> Hallo MathePower,
>
> vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Ich bin nun ein
> Stückchen weiter gekommen:
>
> Gleichung aus 1.2:
> [mm]\dot x(t) = a + b \cdot x^2(t) + c \cdot u(t) + d \cdot u(t) \cdot x(t)[/mm]
>
> Aus [mm]\mu(t) = u(t) = 1[/mm] folgt:
> [mm]\Rightarrow \dot x(t) = a + b \cdot x^2(t) + c + d \cdot x(t)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \dot x(t) = b \cdot x^2(t) + d \cdot x(t) + a + c[/mm]
>
> Nichtlinearer Teil der Gleichung:
> [mm]f(t) = b \cdot x^2(t)[/mm]
> Taylorpolynom 1. Grades:
> [mm]T_1(x) = f(x_R) + f'(x_R) \cdot (t - x_R)[/mm]
> [mm]= b \cdot x^2(x_R) + 2b \cdot x(x_R) \cdot (t - x_R)[/mm]
>
> (Ist das bis hier schonmal richtig?)
>
Der nichtlineare Teil lautet doch
[mm]b*x^{2}+d*u*x[/mm]
Dieser Teil ist um den Punkt [mm]\left(x_{R},1\right)[/mm] zu linearisieren.
Wenn
[mm]g\left(x,u\right):=b*x^{2}+d*u*x[/mm]
dann ist die Linearisierung um den genannten Punkt:
[mm]g\left(x,u\right) \approx g\left(x_{R},1\right)+\left \bruch{\partial g}{\partial x} \right|_{\left(x_{R},1\right)}*\left(x-x_{R}\right)+\left \bruch{\partial g}{\partial u} \right|_{\left(x_{R},1\right)}*\left(u-1\right)[/mm]
Den linearisierten Teil setzt Du nun
anstelle des nichtlinearen Teils in die DGL ein.
> Ich habe nun zwei Probleme:
> 1. Ich bin mir unsicher beim Einsetzen von [mm]x_R,[/mm] weil es
> für [mm]x_R[/mm] nach meiner Rechnung ja eigentlich zwei Lösungen
> gibt, ich weiß also nicht welche von beiden ich einsetzen
> soll bzw. ob ich eine ausschließen kann.
> 2. Wie geht's weiter? Wie bringe ich das Ganze jetzt in
> die gewünschte Form:
> [mm]\Delta \dot x(t) = A \cdot \Delta x(t) + B \cdot \Delta u(t)[/mm]?
>
> (Insbesondere, da [mm]u(t)[/mm] ja eigentlich 1 ist, oder?).
>
> Über weitere Hilfe würde ich mich sehr freuen.
>
> Viele Grüße
>
> schneidross
Gruss
MathePower
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Hi Mathepower,
vielen Dank für Deine Antwort!
Die Gleichung aus 1.2 lautet:
[mm]\dot x(t) = a + b \cdot x^2(t) + c \cdot u(t) + d \cdot u(t) \cdot x(t)[/mm]
Jetzt gehe ich mal davon aus, dass der nichtlineare Teil dieser Gleichung wie folgt lautet (wie Du es geschrieben hast):
[mm]g(x, u) = b \cdot x^2 + d \cdot u \cdot x[/mm]
Linearisierung um Arbeitspunkt [mm] (x_R, [/mm] 1) nach Deiner Anleitung:
[mm]g(x, u) \approx g(x_R, 1) + \left. \bruch{\partial g}{\partial x} \right|_{(x_R, 1)} \cdot (x - x_R) + \left. \bruch{\partial g}{\partial u} \right|_{(x_R, 1)} \cdot (u - 1)[/mm]
[mm]= b \cdot x_R^2 + d \cdot x_R + (2b \cdot x_R + d)(x - x_R) + d \cdot x_R(u - 1)[/mm]
[mm]= (2 \cdot b \cdot x_R + d) \cdot x - b \cdot x_R^2 - d \cdot x_R + d \cdot x_R \cdot u[/mm]
Ist das korrekt?
Wenn ich das Ganze jetzt an Stelle des ursprünglich nichtlinearen Teils in die Gleichung aus 1.2 einsetze, bekommen ich was total unhandliches raus:
[mm]\dot x(t) = (2bx_R + d)x(t) - bx_R^2 - dx_R + dx_R u(t) + cu(t) + a[/mm]
Sollte das, was ich bisher gemacht habe auch nur annähernd richtig sein, dann stellt sich mir immer noch die Frage, was ich für [mm] $x_R$ [/mm] einsetzen soll (denn es gibt ja zwei Lösungen für [mm] x_R) [/mm] und wie ich das gesamte Konstrukt dann in die folgende finale Form bringen kann:
[mm]\Delta \dot x(t) = A \cdot \Delta x(t) + B \cdot \Delta u(t)[/mm]
Weil von den [mm] $\Delta$s [/mm] ist bei mir ja noch keine Rede.
Ich bin Dir angesichts Deiner Bemühungen sehr dankbar!
Viele Grüße
schneidross
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Hallo schneidross,
> Hi Mathepower,
>
> vielen Dank für Deine Antwort!
>
> Die Gleichung aus 1.2 lautet:
> [mm]\dot x(t) = a + b \cdot x^2(t) + c \cdot u(t) + d \cdot u(t) \cdot x(t)[/mm]
>
> Jetzt gehe ich mal davon aus, dass der nichtlineare Teil
> dieser Gleichung wie folgt lautet (wie Du es geschrieben
> hast):
> [mm]g(x, u) = b \cdot x^2 + d \cdot u \cdot x[/mm]
> Linearisierung
> um Arbeitspunkt [mm](x_R,[/mm] 1) nach Deiner Anleitung:
> [mm]g(x, u) \approx g(x_R, 1) + \left. \bruch{\partial g}{\partial x} \right|_{(x_R, 1)} \cdot (x - x_R) + \left. \bruch{\partial g}{\partial u} \right|_{(x_R, 1)} \cdot (u - 1)[/mm]
>
> [mm]= b \cdot x_R^2 + d \cdot x_R + (2b \cdot x_R + d)(x - x_R) + d \cdot x_R(u - 1)[/mm]
>
> [mm]= (2 \cdot b \cdot x_R + d) \cdot x - b \cdot x_R^2 - d \cdot x_R + d \cdot x_R \cdot u[/mm]
>
> Ist das korrekt?
>
Ja, das ist korrekt.
Lass das aber so stehen:
[mm]b \cdot x_R^2 + d \cdot x_R + (2b \cdot x_R + d)\left(x-x_{R}\right) + d \cdot x_R\left( u-1\right)[/mm]
> Wenn ich das Ganze jetzt an Stelle des ursprünglich
> nichtlinearen Teils in die Gleichung aus 1.2 einsetze,
> bekommen ich was total unhandliches raus:
> [mm]\dot x(t) = (2bx_R + d)x(t) - bx_R^2 - dx_R + dx_R u(t) + cu(t) + a[/mm]
>
Mit [mm]\Delta x=x-x_{R}[/mm] und [mm]\Delta u=u-1[/mm] wird das zu:
[mm]\dot x=b \cdot x_R^2 + d \cdot x_R + (2b \cdot x_R + d)\blue{\Delta x} + d \cdot x_R\blue{\Delta u}+c*u+a[/mm]
Stelle das noch vorhande u so dar:
[mm]u=\Delta u + 1[/mm]
Dies dann eingesetzt und der entstehende
konstante Ausdruck sollte Dir bekannt vorkommen.
> Sollte das, was ich bisher gemacht habe auch nur annähernd
> richtig sein, dann stellt sich mir immer noch die Frage,
> was ich für [mm]x_R[/mm] einsetzen soll (denn es gibt ja zwei
> Lösungen für [mm]x_R)[/mm] und wie ich das gesamte Konstrukt dann
> in die folgende finale Form bringen kann:
> [mm]\Delta \dot x(t) = A \cdot \Delta x(t) + B \cdot \Delta u(t)[/mm]
>
> Weil von den [mm]\Delta[/mm]s ist bei mir ja noch keine Rede.
>
> Ich bin Dir angesichts Deiner Bemühungen sehr dankbar!
>
> Viele Grüße
> schneidross
Gruss
MathePower
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Hallo,
vielen Dank für Deine Antwort!
Nach dem Ersetzen von [mm] $\Delta [/mm] x$ und [mm] $\Delta [/mm] u$ komme ich insgesamt auf das folgende Ergebnis:
[mm]\dot x = (2bx_R + d) \cdot \Delta x + (dx_R + c) \cdot \Delta u + a + bx_R^2 + c + dx_R[/mm]
Jetzt stelle ich mal die kesse Vermutung an, dass mir der konstante Anteil deshalb so bekannt vorkommt, weil es sich dabei genau um die ursprüngliche Gleichung handelt, bei der der Arbeitspunkt $(x, u) = [mm] (x_R, [/mm] 1)$ eingesetzt wurde.
Liege ich weiter damit richtig, dass dieser dann gleich 0 ist, weil [mm] $\dot [/mm] x$ im Arbeitspunkt 0 sein muss?
Wenn ich jetzt noch behaupte, dass [mm] $\Delta \dot [/mm] x = [mm] \dot [/mm] x$ gilt, dann müsste die Lösung doch wie folgt lauten:
[mm]\Delta \dot x(t) = A \cdot \Delta x(t) + B \cdot \Delta u(t)[/mm]
mit
[mm]A = 2bx_R + d = 2 \cdot (-\bruch{k_5}{k_3}) \cdot \bruch{-k_2 \pm \sqrt{k_2^2 + 4k_5k_1 - 4k_5k_4}}{2k_5} - \bruch{k_2}{k_3}[/mm]
und
[mm]B = dx_R + c = - \bruch{k_2}{k_3} \cdot \bruch{-k_2 \pm \sqrt{k_2^2 + 4k_5k_1 - 4k_5k_4}}{2k_5} + \bruch{k_1}{k_3}[/mm]
Hab ich das richtig gemacht? Unsicher bin ich mir nach wie vor noch beim Einsetzen von [mm] $x_R$, [/mm] weil es hier ja wie bereits erwähnt eigentlich um zwei Lösungen handelt, oder kann ich das einfach so stehen lassen?
Viele Grüße
schneidross
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Hallo schneidross,
> Hallo,
>
> vielen Dank für Deine Antwort!
>
> Nach dem Ersetzen von [mm]\Delta x[/mm] und [mm]\Delta u[/mm] komme ich
> insgesamt auf das folgende Ergebnis:
>
> [mm]\dot x = (2bx_R + d) \cdot \Delta x + (dx_R + c) \cdot \Delta u + a + bx_R^2 + c + dx_R[/mm]
>
> Jetzt stelle ich mal die kesse Vermutung an, dass mir der
> konstante Anteil deshalb so bekannt vorkommt, weil es sich
> dabei genau um die ursprüngliche Gleichung handelt, bei
> der der Arbeitspunkt [mm](x, u) = (x_R, 1)[/mm] eingesetzt wurde.
> Liege ich weiter damit richtig, dass dieser dann gleich 0
> ist, weil [mm]\dot x[/mm] im Arbeitspunkt 0 sein muss?
>
Ja.
> Wenn ich jetzt noch behaupte, dass [mm]\Delta \dot x = \dot x[/mm]
> gilt, dann müsste die Lösung doch wie folgt lauten:
>
Das ist auch richtig.
> [mm]\Delta \dot x(t) = A \cdot \Delta x(t) + B \cdot \Delta u(t)[/mm]
>
> mit
> [mm]A = 2bx_R + d = 2 \cdot (-\bruch{k_5}{k_3}) \cdot \bruch{-k_2 \pm \sqrt{k_2^2 + 4k_5k_1 - 4k_5k_4}}{2k_5} - \bruch{k_2}{k_3}[/mm]
>
> und
> [mm]B = dx_R + c = - \bruch{k_2}{k_3} \cdot \bruch{-k_2 \pm \sqrt{k_2^2 + 4k_5k_1 - 4k_5k_4}}{2k_5} + \bruch{k_1}{k_3}[/mm]
>
> Hab ich das richtig gemacht? Unsicher bin ich mir nach wie
Ja.
> vor noch beim Einsetzen von [mm]x_R[/mm], weil es hier ja wie
> bereits erwähnt eigentlich um zwei Lösungen handelt, oder
> kann ich das einfach so stehen lassen?
>
Das kannst Du so stehen lassen.
Ich kann keinen Anhaltspunkt erkennen,
welche Lösung der richtige Arbeitspunkt sein soll.
> Viele Grüße
> schneidross
Gruss
MathePower
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Klasse! Vielen Dank für Deine Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Do 28.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ich verschiebe den Thread mal in die Hochschulmathematik rein, mit E-Technik hat dies nichts zu tun.
Viele Grüße,
Infinit
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