Linearität des EW < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich beschäftige mich für einen Vortrag derzeit mit der Linearität des Erwartungswertes. Dabei habe ich mir selbst ein Beispiel überlegt welches offenbar nicht funktioniert. Ich frage mich nur warum:
Ein Glücksspielautomat besitzt zwei Glücksreder. Durch Einfwurf von 10cent können dieses gestartet und unabhängig voneinander gestoppt werden. Interessant für die Auszahlung ist die Summe der im Fenster stehenden Ziffern vgl. Abbildung 1:
![[]](/images/popup.gif) http://img5.imageshack.us/img5/3131/lk2021kopie2.jpg
Beträgt die Summe der Ziffern 2 so erhält man 50cent
Beträgt die Summe der Ziffern 4 so erhält man 20cent
Beträgt die Summe der Ziffern 6 so erhält man 10cent
Was ist der erwartete Gewinn?
Schaut man sich die relevanten Realisiationen (für die Summe) an so ergibt sich
Die 2 tritt mit einer relativen H. von 2/100 auf
Die 4 tritt mit einer relativen H. von 24/100 auf
Die 6 tritt mit einer relativen H. von 36/100 auf.
Also
E(X+Y) = 2/100*50cent + 24/100*20cent + 36/100*10cent = 9,4cent.
Soweit so gut... ABER:
Der EW ist ein linearer Operator also gilt E(X+Y) = E(X) + E(Y)
Da X und Y aber jeweils nur die 2 als einzige Gewinnbringende Realisiation annehmen folgt
E(X) = 3/10 * 50cent
E(Y) = 2/10 * 50cent
=> E(X+Y) = (3/10+2/10)*50cent = 25cent
Der einzige Knackpunkt ist glaub ich der Auszahlungsplan. Aber warum geht das nicht mit Auszahlungsplan? Dadurch wird zwar eine stochastische Abhängigkeit hervorgerufen (Wenn X=1 dann kann X+Y nicht mehr = 6 sein). Aber stoch unabh. ist keine Voraussetzung für die Lin des EW.
Wo liegt der Fehler/das Problem?
Add: Wenn ich sage es wird einfach die Summe der Zahlen ausgezahlt. Dann scheint es zu klappen...
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Huhu,
dein Problem liegt darin, dass ich nirgends eine saubere Definition deiner Zufallsvariablen sehe....
Was ist denn überhaupt "X+Y"? Es kann NICHT die Summe der beiden Räder sein, ansonsten würde da als Erwartungswert kein Centbetrag herauskommen.
Du schmeisst da halt einfach Sachen in einen Topf, die nicht zusammengehören.
Dass da nix konsistentes bei rumkommen kann, verwundert dann auch nicht mehr.
Also: Was ist X, was ist Y? Bitte anständig definieren.
Schreibst du dir es sauber hin, wird sich dein Problem in wohlgefallen auflosen.
Desweiteren als Hinweis: Du sollst den "Gewinn" berechnen.
Der Gewinn ist aber nicht gleichbedeutend mit der Ausschüttung, sondern Ausschüttung - Einsatz.
Das hast du komplett unter den Tisch fallen lassen.
MFG,
Gono.
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ok, an die 10cent einsatz habe ich nicht mehr gedacht. Das ist aber klar, dass die noch abgezogen werden müssen. Zu den Zufallsvariablen:
Sei X die ZV, die den Wert im Fenster auf Scheibe 1 beschreibt.
Sei Y die ZV, die den Wert im Fenster auf Scheibe 2 beschreibt.
Dann ist (X+Y) die ZV, die die Summe der Werte in beiden Fenstern anzeigt. Also nicht die ZV die den Gewinn anzeigt.
Wie könnte ich X / Y definieren, damit ich in X+Y den Gewinn betrachten kann? Gar nicht? Bzw das ginge dann vermutlich nur ohne eine solche Auszahlungstabelle, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Fr 20.05.2011 | | Autor: | gfm |
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> ok, an die 10cent einsatz habe ich nicht mehr gedacht. Das
> ist aber klar, dass die noch abgezogen werden müssen. Zu
> den Zufallsvariablen:
>
> Sei X die ZV, die den Wert im Fenster auf Scheibe 1
> beschreibt.
> Sei Y die ZV, die den Wert im Fenster auf Scheibe 2
> beschreibt.
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> Dann ist (X+Y) die ZV, die die Summe der Werte in beiden
> Fenstern anzeigt. Also nicht die ZV die den Gewinn
> anzeigt.
> Wie könnte ich X / Y definieren, damit ich in X+Y den
> Gewinn betrachten kann? Gar nicht? Bzw das ginge dann
> vermutlich nur ohne eine solche Auszahlungstabelle, oder?
>
Du hast zwei unabhängige ZV [mm] X,Y:\Omega\to\{1,2,3\} [/mm] gegeben.
Der Gewinn G zu einem Einsatz E ist eine Funktion der Summe der ZVn
[mm] G:=-E+\summe_i g_i*1_{A_i}(X+Y)
[/mm]
wobei die [mm] g_i [/mm] die Gewinne sind, wenn die Summe in der Menge [mm] A_i [/mm] liegt.
Der Erwartungswert ist
[mm] E(G)=-E+\summe_i g_i*E(1_{A_i}(X+Y))=-E+\summe_i g_i*P(\{X+Y\in A_i\})
[/mm]
LG
gfm
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![[]](http://img5.imageshack.us/img5/3131/lk2021kopie2.jpg){kind=small}
http://img5.imageshack.us/img5/3131/lk2021kopie2.jpg