Linearität einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 So 18.05.2014 | | Autor: | weeky |
Hallo,
ich habe ein Regelungstechnisches Problem und habe dazu eine Differentialgleichung für den Zustandsraum. Es geht um die Winkelgeschwindigkeitsregelung einer Windkraftanlage. Dabei ist
[mm]v(t) = v_{mittel} + v_{Stoerung}(t) [/mm] die Windgeschwindigkeit und [mm]\alpha[/mm] die vom Regler zu verstellende Größe.
Ich habe folgende Differentialgleichung erster Ordnung für die Winkelgeschwindigkeit aufgestellt:
[mm]\dot \omega(t)=\frac{k_1}{I_x} \cdot \alpha \cdot \omega(t) \cdot v(t) + \frac{k_2}{I_x} \cdot \omega(t) \cdot v(t) + \frac{k_3}{I_x} \cdot \alpha \cdot v(t)^2 + \frac{k_4}{I_x} \cdot v(t)^2 - \frac{d}{I_x} \cdot \omega (t)[/mm], wobei [mm]k_1,\,k_2,\,k_3,\,k_4,\,I_x,\,d,\,v_{mittel}[/mm] Konstanten sind.
Laut Aufgabenstellung ist die Differentialgleichung für den Zustandsraum nicht linear.
Eine DGL ist doch dann linear, wenn die Funktion, in diesem Falle [mm] \omega(t),\,\dot \omega(t)[/mm] nur linear vorkommt. Das ist doch hier der Fall oder ? [mm]v(t)[/mm] ist doch in diesem Falle nur ein nicht-konstanter Koeffizient ? Oder gilt vielleicht [mm]\alpha(\omega)[/mm] ?
Kann mir jemand helfen wo mein Denkfehler ist ? Danke
Ich habe diese Frage auch hier gepostet:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=541096
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Mo 19.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn das [mm] \alpha [/mm] ? oft bezeichnet man in Physik [mm] \dot \omega(t)=\alpha(t)
[/mm]
wenn [mm] \alppha [/mm] eine Konstante ist ist die Dgl linear inhomogen.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 Mo 19.05.2014 | | Autor: | weeky |
[mm]\alpha[/mm] ist hier in diesem Falle der Anstellwinkel der Rotorblätter des Windrades. Er kommt im aerodynamischen Moment vor:
[mm]M_A = k_1 \alpha \omega(t) v(t) + k_2 \omega(t) v(t) + k_3 \alpha v(t)^2 + k_4 v(t)^2[/mm]
welches durch den Drallsatz [mm]\dot \omega \cdot I_x = \sum M_i[/mm] in die DGL eingebunden wird
Es handelt sich um die Stellgröße des Systems, ist also auch zeitabhängig und somit [mm]\alpha(t)[/mm].
Das würde aber auch nichts an der Linearität der DGL ändern nehme ich an ?
Wahrscheinlich übersehe ich einen Regelungstechnischen Zusammenhang, statt einen mathematischen
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Mo 19.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Deine DGL ist von der Form
[mm] \dot \omega(t)=(c_1v(t)+c_2)* \omega(t)+c_3v(t)^3
[/mm]
Das ist eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
FRED
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