Linearität zeigen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Di 29.05.2012 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Sei [mm] C^1([0,1]):=\{f:[0,1]\to \IR: f ist stetig diffbar\}
[/mm]
[mm] D:C^1([0,1])\to [/mm] C([0,1]), [mm] f\mapsto [/mm] Df durch
(Df)(x)=f´(x)
(a) Zeigen Sie: D ist linear |
Also für lineare Funktionen muss gelten
f(x+y)=f(x)+f(y)
Tja, und genau da ist mein Problem. Ich hab keine Idee wie ich dort anfangen könnte.
Ich weiss ja so nichts über die Funktion, außer das sie stetig diffbar ist.
Also sind f und f´stetige Funktionen.
Aber da sehe ich jetz nicht wie mir das bei der Linearität helfen könnte.
Für einen tipp, ansatz wäre ich sehr dankbar.
mfg. Frosch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]C^1([0,1]):=\{f:[0,1]\to \IR: f ist stetig diffbar\}[/mm]
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> [mm]D:C^1([0,1])\to[/mm] C([0,1]), [mm]f\mapsto[/mm] Df durch
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> (Df)(x)=f´(x)
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> (a) Zeigen Sie: D ist linear
> Also für lineare Funktionen muss gelten
>
> f(x+y)=f(x)+f(y)
>
> Tja, und genau da ist mein Problem. Ich hab keine Idee wie
> ich dort anfangen könnte.
>
> Ich weiss ja so nichts über die Funktion, außer das sie
> stetig diffbar ist.
> Also sind f und f´stetige Funktionen.
> Aber da sehe ich jetz nicht wie mir das bei der
> Linearität helfen könnte.
>
> Für einen tipp, ansatz wäre ich sehr dankbar.
Seien f,g [mm] \in C^1([0,1]) [/mm] und a [mm] \in \IR.
[/mm]
Was ist (f+g)' ? Was ist [mm] (\alpha*f)' [/mm] ?
Was ist D(f+g) ? Was ist [mm] D(\alpha*f) [/mm] ?
FRED
>
> mfg. Frosch
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Di 29.05.2012 | | Autor: | Frosch20 |
> > Sei [mm]C^1([0,1]):=\{f:[0,1]\to \IR: f ist stetig diffbar\}[/mm]
>
> >
> > [mm]D:C^1([0,1])\to[/mm] C([0,1]), [mm]f\mapsto[/mm] Df durch
> >
> > (Df)(x)=f´(x)
> >
> > (a) Zeigen Sie: D ist linear
> > Also für lineare Funktionen muss gelten
> >
> > f(x+y)=f(x)+f(y)
> >
> > Tja, und genau da ist mein Problem. Ich hab keine Idee wie
> > ich dort anfangen könnte.
> >
> > Ich weiss ja so nichts über die Funktion, außer das sie
> > stetig diffbar ist.
> > Also sind f und f´stetige Funktionen.
> > Aber da sehe ich jetz nicht wie mir das bei der
> > Linearität helfen könnte.
> >
> > Für einen tipp, ansatz wäre ich sehr dankbar.
>
> Seien f,g [mm]\in C^1([0,1])[/mm] und a [mm]\in \IR.[/mm]
>
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> Was ist (f+g)' ? Was ist [mm](\alpha*f)'[/mm] ?
(f+g)'=(f+g) und [mm](\alpha*f)'[/mm]=[mm](\alpha*f)[/mm]
> Was ist D(f+g) ? Was ist [mm]D(\alpha*f)[/mm] ?
D(f+g)=(f+g)´ und [mm]D(\alpha*f)[/mm]=[mm](\alpha*f)'[/mm]
oda ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei [mm]C^1([0,1]):=\{f:[0,1]\to \IR: f ist stetig diffbar\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]D:C^1([0,1])\to[/mm] C([0,1]), [mm]f\mapsto[/mm] Df durch
> > >
> > > (Df)(x)=f´(x)
> > >
> > > (a) Zeigen Sie: D ist linear
> > > Also für lineare Funktionen muss gelten
> > >
> > > f(x+y)=f(x)+f(y)
> > >
> > > Tja, und genau da ist mein Problem. Ich hab keine Idee wie
> > > ich dort anfangen könnte.
> > >
> > > Ich weiss ja so nichts über die Funktion, außer das sie
> > > stetig diffbar ist.
> > > Also sind f und f´stetige Funktionen.
> > > Aber da sehe ich jetz nicht wie mir das bei der
> > > Linearität helfen könnte.
> > >
> > > Für einen tipp, ansatz wäre ich sehr dankbar.
> >
> > Seien f,g [mm]\in C^1([0,1])[/mm] und a [mm]\in \IR.[/mm]
> >
> >
> > Was ist (f+g)' ? Was ist [mm](\alpha*f)'[/mm] ?
>
> (f+g)'=(f+g)
Nein. (f+g)'=f'+g'
> und [mm](\alpha*f)'[/mm]=[mm](\alpha*f)[/mm]
Nein.
[mm](\alpha*f)'[/mm]=[mm]\alpha*f'[/mm]
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> > Was ist D(f+g) ? Was ist [mm]D(\alpha*f)[/mm] ?
>
> D(f+g)=(f+g)´ und [mm]D(\alpha*f)[/mm]=[mm](\alpha*f)'[/mm]
Ja
FRED
>
> oda ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Di 29.05.2012 | | Autor: | Frosch20 |
Achso ich dachte irgenwie das [mm] f^1 [/mm] auf f abgebiledet wird.
Muss ich jetz zeigen das
(f+g)´=f´+g´ oder was muss ich hier jetz genau zeigen.
Ich bin verwirrt irgendwie ?
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Hallo Frosch20,
> Achso ich dachte irgenwie das [mm]f^1[/mm] auf f abgebiledet wird.
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> Muss ich jetz zeigen das
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> (f+g)´=f´+g´ oder was muss ich hier jetz genau zeigen.
>
> Ich bin verwirrt irgendwie ?
Du musst zeigen:
1) [mm]D(f+g)=D(f)+D(g)[/mm] für alle [mm]f,g\in C^1([0,1])[/mm]
2) [mm]D(\alpha\cdot{}f)=\alpha\cdot{}D(f)[/mm] für [mm]\alpha\in\IR, f\in C^1([0,1])[/mm]
Die Gleichheit von Funktionen zeigt man punktweise. Benutze die Def. von [mm]D[/mm] und dass [mm](f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)[/mm] ist und [mm](\alpha\cdot{}f(x))'=\alpha\cdot{}f'(x)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Di 29.05.2012 | | Autor: | Frosch20 |
Ah okay dann hab ich´s jetz danke :D
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