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Hallo
Folgende Aufgabe gilt es zu bearbeiten:
[mm] v_{1}=4e_{1}+4e_{2}-2e_{3}
[/mm]
[mm] v_{2}=4e_{1}-2e_{2}+4e_{3}
[/mm]
[mm] v_{3}=-2e_{1}+4e_{2}+4e_{3} [/mm] sind Vektoren
a) Man zeige, dass die Vektoren linear unabhängig sind. (welche besondere Eigenschaft haben diese Vektoren bezüglich Länge und gegenseitiger Lage?)
--> habe jeweils vor [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] einen Faktor [mm] \alpha_{i} [/mm] gesetzt
--> erhalte dann ein GLS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten
--> alle müssen 0 sein, also ist das ganze linear unabhängig
Frage: geht das auch einfacher? Also muss ich den Faktor davor nehmen?
--> die Länge von allen drei Vektoren ist gleich, da man ja das Quadrat bildet und somit das negative Vorzeichen egal ist
Frage: Wie sieht es mit der Lage aus? Ich habe mir selber ein Bild davon gemacht, aber kann jetzt nicht wirklich etwas dazu sagen.
b) Man stelle die Vektoren [mm] e_{i} [/mm] als Linearkombination der Vektoren dar.
Wie mache ich das denn? Die Gleichung für eine Linearkombination kenne ich natürlich, aber wie gehe ich ran. Wenn ich nur einfach umstelle, dann bleiben doch immer zwei e's drin.
also ich gehe von
[mm] \alpha_{1}v_{1}+....\alpha_{n}v_{n} [/mm] aus als Formel für eine Linearkombination allgemein.
Wäre dankbar für jede Hilfe
sunshinenight
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Do 27.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Hallo
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> Folgende Aufgabe gilt es zu bearbeiten:
> [mm]v_{1}=4e_{1}+4e_{2}-2e_{3}[/mm]
> [mm]v_{2}=4e_{1}-2e_{2}+4e_{3}[/mm]
> [mm]v_{3}=-2e_{1}+4e_{2}+4e_{3}[/mm] sind Vektoren
>
> a) Man zeige, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
> (welche besondere Eigenschaft haben diese Vektoren
> bezüglich Länge und gegenseitiger Lage?)
>
> --> habe jeweils vor [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm] einen Faktor
> [mm]\alpha_{i}[/mm] gesetzt
> --> erhalte dann ein GLS mit drei Gleichungen und drei
> Unbekannten
> --> alle müssen 0 sein, also ist das ganze linear
> unabhängig
Also, du hast gefolgert, dass allo Koeffizienten 0 sein müssen ?
Dann wäre es richtig.
> Frage: geht das auch einfacher? Also muss ich den Faktor
> davor nehmen?
Man könnte es auch über die Determinante rechnen, aber wenn ihr nur eine Version der linearen Unabhängigkeit habt, dann geht es wohl nicht einfacher.
> --> die Länge von allen drei Vektoren ist gleich, da man
> ja das Quadrat bildet und somit das negative Vorzeichen
> egal ist
> Frage: Wie sieht es mit der Lage aus? Ich habe mir selber
> ein Bild davon gemacht, aber kann jetzt nicht wirklich
> etwas dazu sagen.
Du kannst noch die Winkel zwischen den Vektoren ausrechnen und so etwas auf die Lage schließen - wenn sie paarweise senkrecht zueinander sind, sind sie natürlich auch linear unabhängig.
> b) Man stelle die Vektoren [mm]e_{i}[/mm] als Linearkombination der
> Vektoren dar.
> Wie mache ich das denn? Die Gleichung für eine
> Linearkombination kenne ich natürlich, aber wie gehe ich
> ran. Wenn ich nur einfach umstelle, dann bleiben doch immer
> zwei e's drin.
für den ersten Standardvektor setze an:
[mm] $a*\vektor{4\\4\\-2}+b*\vektor{4\\-2\\4}+c*\vektor{-2\\4\\4}=\vektor{1\\0\\0}$
[/mm]
das sind wieder drei Gleichungen mit drei Unbekannten...
(und dies für alle drei Standardvektoren einzelnt)
Wenn ihr schon Invertierbarkeit und mehr Theorie hattet, kannst du dir es mit einer  Transformationsmatrix vereinfachen.
viele Grüße
DaMenge
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