Linearkombinationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 So 14.11.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo!
Kann mir da jemand helfen:
Stelle die Vektoren der kanonischen Basis von R(4x1) als Linearkombinationen der folgenden Menge von Vektoren dar:
[mm] \{\pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 2 \\ 3 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 0 \\ 3 \\4 },\pmat{ 5 \\ 0 \\ 0 \\ 4 } \}.
[/mm]
Sind diese Vektoren Basis von R(4x1)?
Danke im Voraus,
Nilez
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 So 14.11.2004 | | Autor: | Nilez |
Tut leid! Habs ins falsche Forum gepostet!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:51 So 14.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Kann mir da jemand helfen:
> Stelle die Vektoren der kanonischen Basis von R(4x1) als
> Linearkombinationen der folgenden Menge von Vektoren dar:
Also, ich bin mir zwar im Moment nicht so sicher, ob ich da richtig liege (was ist denn eine Basis von R(4x1)?), aber ich würde jetzt mal sagen, deine kanonische Basis ist:
[mm] e_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] e_2= \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] e_3= \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] e_4= \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
> [mm]\{\pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 2 \\ 3 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 0 \\ 3 \\4 },\pmat{ 5 \\ 0 \\ 0 \\ 4 } \}.
[/mm]
Und jetzt musst du versuchen, eine Linearkombination zu finden, so dass du die einzelnen Basisvektoren mit den anderen Vektoren darstellen kannst.
Sorry, ich hatte die Aufgabe zuerst anders herum verstanden, so weiß ich leider noch keine Lösung. Ich würde es erstmal mit Ausprobieren versuchen, vielleicht gibt's aber auch ein System dafür.
> Sind diese Vektoren Basis von R(4x1)?
Vielleicht folgt das aus dem ersten Teil, aber falls nicht, muss du gucken, ob sie linear unabhängig sind, wenn ja, dann sind sie eine Basis.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 So 14.11.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo, Bastiane!
Wenn sich die kanonischen Basisvektoren, dr. diese Maenge erzeugen lassen, stellen sie ganz bestimmt eine Basis von R(4x1) dar, denn man könnte dann das Austauschlemma (Steinitz) anwenden und sie durch die kanonischen ersetzten!
Ausprobiert hab ich schon, auch schon mittels Gl.syst. die Skalare für die Darstellungen zu bekommen; gelungen is mir jedoch nicht!
Liebe Grüße, Nilez
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 14.11.2004 | | Autor: | Nilez |
Kann Mir niemand helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nilez,
> Kann Mir niemand helfen?
Ist die Mir nicht bereits kontrolliert zu Boden gegangen? 
Deine Frage ist doch jetzt beantwortet, mit zwergs und Bastianes Antworten, oder?
Eine weitere Möglichkeit, die lineare Abhängigkeit von vier Vektoren im [mm] $\IR^4$ [/mm] festzustellen, ist übrigens, die vier Vektoren in die Spalten einer [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrix zu schreiben und davon dann entweder die Determinante zu berechnen oder das diese Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Dreiecksgestalt zu bringen. Es gilt dann nämlich:
Die Vektoren sind linear abhängig
[mm] $\gdw$ [/mm] die Determinante ist Null
[mm] $\gdw$ [/mm] die Dreiecksgestalt hat eine Zeile, die nur aus Nullen besteht.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 14.11.2004 | | Autor: | zwerg |
moin nilez!
hmm versuche mal dir zu helfen:
deine vier Vektoren sind genau dann linear unabhängig, d.h. bilden eine Basis des [mm] R^{4} [/mm] wenn sie linear unabhängig sind. D.h.
[mm] a_{1} \vektor{1\\2\\0\\0} [/mm] + [mm] a_{2} \vektor{0\\2\\3\\0} +a_{3} \vektor{0\\0\\4\\4} [/mm] + [mm] a_{4} \vektor{5\\0\\0\\4} [/mm] = 0 ,gdw.
[mm] a_{1} =a_{2} =a_{3} =a_{4} [/mm] =0
du hast also ein LGS zu lösen
Stelle die kanonische Basis des [mm] R^{4} [/mm] als Linearkombination der gegebenen Vektoren [mm] v_{1} [/mm] - [mm] v_{4} [/mm] dar.
[mm] B_{k} [/mm] = [mm] (e_{1} ,e_{2} ,e_{3} ,e_{4} [/mm] ) wie von Bastiane beschrieben die kanonische Basis.
zu lösen sind 4 LGS :
[mm] e_{1} [/mm] = [mm] a_{1} v_{1} +a_{2} v_{2} +a_{3} v_{3} +a_{4} v_{4}
[/mm]
[mm] e_{2} [/mm] = [mm] b_{1} v_{1} +b_{2} v_{2} +b_{3} v_{3} +b_{4} v_{4}
[/mm]
[mm] e_{3} [/mm] = [mm] c_{1} v_{1} +c_{2} v_{2} +c_{3} v_{3} +c_{4} v_{4}
[/mm]
[mm] e_{4} [/mm] = [mm] d_{1} v_{1} +d_{2} v_{2} +d_{3} v_{3} +d_{4} v_{4}
[/mm]
hoffe deine Frage nicht falsch verstanden zu haben.
MfG zwerg
|
|
|
|
