Linienintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe | a) Wir nennen zwei Kurven [mm] \gamma_1,\gamma_2 [/mm] (Kurve= stetige Funktion von einem Intervall in einen Vektorraum) äquivalent, wenn es eine [mm] C^1 [/mm] Parametertransformation [mm] \phi [/mm] gibt mit [mm] \gamma_1=\gamma_2 \circ \phi. [/mm] Zeigen Sie, Äquivalenz von Kurven ist eine Äquivalenzrelation.
b) Gegeben seien die Punkte [mm] x_0=(0,0)^T [/mm] und [mm] x_1=(1,1)^T. [/mm] Geben Sie drei verschiedene, nicht äquivalente Kurven [mm] \gamma: [/mm] [0,1] [mm] \rightarrow \mathbb{R}^2 [/mm] an mit [mm] \gamma(j)=x_j [/mm] für j=0,1, dabei soll mindestens eine Kurve einen Punkt mit mindestens einer negativen Koordinate enthalten.
c) Betrachten Sie die Funktion f: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}: [/mm] x [mm] \mapsto \frac{x_1^2x_2^2}{\parallel x\parallel_2}, x\neq [/mm] 0 und f(0) = 0 und berechnen Sie für die von Ihnen im Teil b gewählten Kurven das Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{Df(\gamma(t))\gamma'(t) dt}
[/mm]
Interpretieren Sie das Ergebnis! Geben Sie eine intuitive Begründung für die naheliegende Vermutung. |
'Nabend,
obige Aufgabe steht auf meinem Blatt. Den Beweis dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt habe ich schon fertig und meine drei Kurven sind:
[mm] \gamma_1: [/mm] [0,1] [mm] \rightarrow \mathbb{R}: [/mm] t [mm] \mapsto (t,t)^T
[/mm]
[mm] \gamma_2: [/mm] [0,1] [mm] \rightarrow \mathbb{R}: [/mm] t [mm] \mapsto (t,t^2)^T
[/mm]
[mm] \gamma_3: [/mm] [0,1] [mm] \rightarrow \mathbb{R}: [/mm] t [mm] \mapsto (t,sin(\frac{5}{4}\pi t))^T
[/mm]
Allerdings bereitet mir der Aufgabenteil c Schwierigkeiten. Das angegebene Integral ist ein Linienintegral und damit hängt auch schon meine erste Frage zusammen. Was ist/macht ein Linienintegral?
Wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz:
[mm] (V,\parallel\*\parallel_V) [/mm] sei Banachraum, U [mm] \subset [/mm] V sei eine Wegezusammenhängende Menge, x,y [mm] \in [/mm] U. [mm] \gamma:[0,1] \rightarrow [/mm] U sei eine differenzierbare Kurve mit [mm] \gamma(0)=x [/mm] und [mm] \gamma(1)=y.
[/mm]
Dann ist [mm] f(y)-f(x)=\integral_{0}^{1}{Df(\gamma(t))\gamma'(t) dt}
[/mm]
Problem: Wir haben in dem Satz nie ein f definiert...
Für meine Aufgabe würde dies bedeuten, dass das Linienintegral jeder meiner Kurven denselben Wert hat und das kann doch nicht sein, oder?
Wäre super, wenn mir vielleicht mit diesem Linienintegral jemand helfen könnte.
Danke schon mal und einen angenehmen Abend,
Theta
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> a) Wir nennen zwei Kurven [mm]\gamma_1,\gamma_2[/mm] (Kurve= stetige
> Funktion von einem Intervall in einen Vektorraum)
> äquivalent, wenn es eine [mm]C^1[/mm] Parametertransformation [mm]\phi[/mm]
> gibt mit [mm]\gamma_1=\gamma_2 \circ \phi.[/mm] Zeigen Sie,
> Äquivalenz von Kurven ist eine Äquivalenzrelation.
>
> b) Gegeben seien die Punkte [mm]x_0=(0,0)^T[/mm] und [mm]x_1=(1,1)^T.[/mm]
> Geben Sie drei verschiedene, nicht äquivalente Kurven
> [mm]\gamma:[/mm] [0,1] [mm]\rightarrow \mathbb{R}^2[/mm] an mit [mm]\gamma(j)=x_j[/mm]
> für j=0,1, dabei soll mindestens eine Kurve einen Punkt mit
> mindestens einer negativen Koordinate enthalten.
>
> c) Betrachten Sie die Funktion f: [mm]\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}:[/mm]
> x [mm]\mapsto \frac{x_1^2x_2^2}{\parallel x\parallel_2}, x\neq[/mm]
> 0 und f(0) = 0 und berechnen Sie für die von Ihnen im Teil
> b gewählten Kurven das Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{Df(\gamma(t))\gamma'(t) dt}[/mm]
> Interpretieren Sie das Ergebnis! Geben Sie eine intuitive
> Begründung für die naheliegende Vermutung.
> 'Nabend,
>
> obige Aufgabe steht auf meinem Blatt. Den Beweis dass es
> sich um eine Äquivalenzrelation handelt habe ich schon
> fertig und meine drei Kurven sind:
> [mm]\gamma_1:[/mm] [0,1] [mm]\rightarrow \mathbb{R}:[/mm] t [mm]\mapsto (t,t)^T[/mm]
>
> [mm]\gamma_2:[/mm] [0,1] [mm]\rightarrow \mathbb{R}:[/mm] t [mm]\mapsto (t,t^2)^T[/mm]
>
> [mm]\gamma_3:[/mm] [0,1] [mm]\rightarrow \mathbb{R}:[/mm] t [mm]\mapsto (t,sin(\frac{5}{4}\pi t))^T[/mm]
>
> Allerdings bereitet mir der Aufgabenteil c Schwierigkeiten.
> Das angegebene Integral ist ein Linienintegral und damit
> hängt auch schon meine erste Frage zusammen. Was ist/macht
> ein Linienintegral?
> Wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz:
> [mm](V,\parallel\*\parallel_V)[/mm] sei Banachraum, U [mm]\subset[/mm] V sei
> eine Wegezusammenhängende Menge, x,y [mm]\in[/mm] U. [mm]\gamma:[0,1] \rightarrow[/mm]
> U sei eine differenzierbare Kurve mit [mm]\gamma(0)=x[/mm] und
> [mm]\gamma(1)=y.[/mm]
> Dann ist
> [mm]f(y)-f(x)=\integral_{0}^{1}{Df(\gamma(t))\gamma'(t) dt}[/mm]
Bist Du Dir sicher, dass dort $Df$ und nicht doch vielleicht $f$ stehen soll. Ein anderer Begriff fuer Linienintegral ist Kurvenintegral oder Wegintegral. Siehe mal z.B. unter Wikipedia oder Google nach.
> Problem: Wir haben in dem Satz nie ein f definiert...
Es ist allgemein [mm] $f:\IR^2\rightarrow\IR^2$ [/mm] eine stetige Funktion. Wegen der Isomorphie von [mm] $\IR^2\cong\IC$ [/mm] kannst Du $f$ auch als stetige komplexe Funktion [mm] $f:\IC\rightarrow\IC$ [/mm] auffassen.
> Für meine Aufgabe würde dies bedeuten, dass das
> Linienintegral jeder meiner Kurven denselben Wert hat und
> das kann doch nicht sein, oder?
Doch, das kann sein. Stichwort: Wegunabhaengigkeit.
Siehe mal hier: Da findest Du auch die Definitionen
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral
http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral#Wegunabh.C3.A4ngigkeit
> Wäre super, wenn mir vielleicht mit diesem Linienintegral
> jemand helfen könnte.
>
>
> Danke schon mal und einen angenehmen Abend,
>
> Theta
Gruss Denny
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