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| Aufgabe | Gegeben ist das Kraftfeld: F = [mm] {y/(1+x²+y²)\choose-x/(1+x²+y²)}
[/mm]
Berechnen sie die Arbeit beim Verschieben einer Masse vom Punkt P1=(1,0) zum Punkt p2=(-1,0) längs zweier verschiedener Wege:
a) entlang des oberen Halbkreises
b) entlang des unteren Halbkreises
c) Geben Sie eine ANSCHAULICHE Erklärung für den Unterschied. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Najut, Hier haette ich zwei Fragen - Erstens, ob ich richtig gerechnet habe (Rechenweg im folgenden) und zweitens Wie ich c) löse, sprich, eine anschauliche Erklärung geben kann.
Mein Rechenweg:
[mm] r(\alpha)={(x(\alpha))\choose(y(\alpha))}={(cos(\alpha))\choose(sin(\alpha))}
[/mm]
Damit ist
[mm] r'(\alpha)={(-sin(\alpha))\choose(cos(\alpha))}
[/mm]
Da [mm] x(\alpha)=cos(\alpha) [/mm] und [mm] y(\alpha)=sin(\alpha) [/mm] ergibt sich fuer F nun:
[mm] F={y/(1+x²+y²)\choose-x/(1+x²+y²)}={sin(\alpha)/(1+cos²(\alpha)+sin²(\alpha))\choose-cos(\alpha)/(1+cos²(\alpha)+sin²(\alpha))}={sin(\alpha)/2\choose-cos(\alpha)/2}
[/mm]
,da sin²x+cos²x=1
Das Integral für a) lautet also:
[mm] \integral_{0}^{180} F.r'(\alpha)\, d\alpha [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{180} {sin(\alpha)/2\choose-cos(\alpha)/2}.{(-sin(\alpha))\choose(cos(\alpha))}\, d\alpha [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{180} (-sin²(\alpha)/2-cos²(\alpha)/2)\, d\alpha [/mm] =-0,5 [mm] \integral_{0}^{180} (sin²(\alpha)+cos²(\alpha)\, d\alpha [/mm]
[mm] =-0,5\integral_{0}^{180} 1\, d\alpha [/mm] =-90degree
Für das Integral
[mm] \integral_{360}^{180} 1\, d\alpha [/mm] =90degree
Wie erkläre ich nun den Unterschied ? Und, bedeuten die beiden Gradzahlen, wenn ich sie in [mm] x=cos(\alpha) [/mm] und [mm] y=sin²(\alpha) [/mm] einsetze, folgendes ?:
a)
[mm] {(cos(-90))\choose(sin(-90))}={0 \choose-1}
[/mm]
b)
[mm] {(cos(90))\choose(sin(90))}={0 \choose1}
[/mm]
Bedeutet dies das Die gesuchte Arbeit in y Richtung füer Fall a) -1 und füer Fall b) -1 beträgt?
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Nun, deine Rechnung scheint erstmal OK zu sein.
Dann eine Warnung: Das Gradmaß ist was zum reinen Messen von Winkeln, zum Rechnen taugt es nicht viel. Sobald du integrierst und differenzierst, oder allgemein Formeln hast, wo der Winkel auch außerhalb der trig. Funktionen steht, MUSST du ZWINGEND das Bogenmaß benutzen, sonst erhälst du falsche Ergebnisse. Dein ergebnis ist also eigentlich sowas wie [mm] $\pm\bruch{\pi}{2}$.
[/mm]
Hier hast du nochmal Glück gehabt, aber bei anderen Rechnungen kann sowas richtig in die Hose gehen, und dann ist es nicht mehr mit einer reinen Umformung getan.
Zu diesem Wert: Das solltest du nun nicht als Winkel interpretieren, sondern als Wert des Integrals! Es ist einfach ein Zahlenwert, physikalisch gesehen ist es die Energie (Kraft x Weg), die du aufwendest / herausbekommst, um den gegebenen Weg zurückzulegen.
Nun die Intepretation: Du kannst den Nenner erstmal vor den Kraftvektor ziehen. er erzeugt nur die Stärke der Kraft, nicht aber die Richtung. Dann schau dir mal die Richtung der Kraft an, die ist jetzt [mm] \vektor{y\\-x}
[/mm]
Mach dir dochmal ein Bild von diesem Vektorfeld. Setze also für x,y mal jeweils +1;0;-1 ein und zeichne diese Vektoren (naja, Richtung reicht in dem Fall).
Du erhälst einen wunderbaren Wirbel im Uhrzeigersinn!
Das heißt: beim Weg oben rum mußt du einen Massepunkt gegen den Strom schieben, also Energie hineinstecken. Die Energiebillanz des Massepunktes ist negativ, weil er Energie benötigt.
Anders bei dem unteren Punkt: Der Punkt bewegt sich mit dem Strom, hat also Rückenwind und gewinnt so Energie!
Also ist das auch wieder ein nicht konservatives Feld.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Do 17.08.2006 | | Autor: | Cyberleon |
Allet klar ich werd s mir merken - nie mit Winkeln Integrieren ;) Vielen Dank fuer die prompte Antwort ;)
mfg, Leon
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