Linienintegral und Stokes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 26.06.2012 | | Autor: | adefg |
| Aufgabe | | Betrachten Sie das Vektorfeld [mm] \vec A(\vec r)=\frac{1}{2}\vec b\times\vec [/mm] r mit [mm] \vec [/mm] b = [mm] (0,b,0)^T. [/mm] Berechnen Sie das Linienintegral [mm] \int_C \vec A(\vec r)\cdot d\vec [/mm] r über die Kreislinie C in der (x,z)-Ebene mit Radius R und Zentrum im Koordinatenursprung, und zwar durch explizite Berechnung des Linienintegrals und unter Verwendung des Stokes'schen Satzes durch Berechnung des entsprechenden Flächenintegrals. |
Hallo,
ich habe obige Aufgabe versucht zu lösen, erhalte jedoch bei meiner Rechnung jeweils verschiedene Lösungen, finde aber keinen Fehler. Vielleicht kann mir da wer helfen:
Wegparametrisierung: [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] (R\cos [/mm] t, 0, [mm] R\sin [/mm] t), [mm] t\in [0,2\pi]
[/mm]
[mm] \Rightarrow\int_0^{2\pi} \langle \gamma', A(\gamma(t))\rangle [/mm] dt = [mm] \int_0^{2\pi} -b\cdot R^2\sin t\cos [/mm] t [mm] +b\cdot R^2\sin t\cos [/mm] t dt = 0
Beim Flächenintegral haben wir eine Kreisscheibe in der (x,z)-Ebene mit Flächennormale n = [mm] (0,1,0)^T [/mm] und rot A(r)=(0,b,0), mit Polarkoordinaten erhalten wir:
[mm] \Rightarrow \int_C [/mm] A(r) dr = [mm] \int_F \nabla \times [/mm] A(r) [mm] \cdot [/mm] df = [mm] \int_0^R \int_0^{2\pi} b\cdot [/mm] r [mm] d\phi [/mm] dr = [mm] 2b\pi\int_0^R [/mm] r dr = [mm] \pibR^2
[/mm]
Nach dem Integralsatz müssten diese beiden Ergebnisse aber doch gleich sein? Kann mir jemand sagen was ich falsch mache?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Di 26.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Betrachten Sie das Vektorfeld [mm]\vec A(\vec r)=\frac{1}{2}\vec b\times\vec[/mm]
> r mit [mm]\vec[/mm] b = [mm](0,b,0)^T.[/mm] Berechnen Sie das Linienintegral
> [mm]\int_C \vec A(\vec r)\cdot d\vec[/mm] r über die Kreislinie C
> in der (x,z)-Ebene mit Radius R und Zentrum im
> Koordinatenursprung, und zwar durch explizite Berechnung
> des Linienintegrals und unter Verwendung des Stokes'schen
> Satzes durch Berechnung des entsprechenden
> Flächenintegrals.
> Hallo,
> ich habe obige Aufgabe versucht zu lösen, erhalte jedoch
> bei meiner Rechnung jeweils verschiedene Lösungen, finde
> aber keinen Fehler. Vielleicht kann mir da wer helfen:
>
> Wegparametrisierung: [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm](R\cos[/mm] t, 0, [mm]R\sin[/mm] t),
> [mm]t\in [0,2\pi][/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\int_0^{2\pi} \langle \gamma', A(\gamma(t))\rangle[/mm]
> dt = [mm]\int_0^{2\pi} -b\cdot R^2\sin t\cos[/mm] t [mm]+b\cdot R^2\sin t\cos[/mm]
> t dt = 0
Der Integrand ist völlig falsch. Schreib mal das Vektorfeld und die Ableitung der Parametrisierung explizit hin und berechne dann erneut das Skalarprodukt.
>
> Beim Flächenintegral haben wir eine Kreisscheibe in der
> (x,z)-Ebene mit Flächennormale n = [mm](0,1,0)^T[/mm] und rot
> A(r)=(0,b,0), mit Polarkoordinaten erhalten wir:
>
> [mm]\Rightarrow \int_C[/mm] A(r) dr = [mm]\int_F \nabla \times[/mm] A(r)
> [mm]\cdot[/mm] df = [mm]\int_0^R \int_0^{2\pi} b\cdot[/mm] r [mm]d\phi[/mm] dr =
> [mm]2b\pi\int_0^R[/mm] r dr = [mm]\pibR^2[/mm]
Überprüfe Deine Rechnungen nochmal, schon die Rotation ist falsch.
Kommt Dir das Ergebnis nicht seltsam vor? Da sind Faktoren wie b,r un pi enthalten und am Ende kommt 2 raus?
>
> Nach dem Integralsatz müssten diese beiden Ergebnisse aber
> doch gleich sein? Kann mir jemand sagen was ich falsch
> mache?
Wenn Du richtig rechnest, sind auch beide gleich.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 26.06.2012 | | Autor: | adefg |
Dass beim zweiten Integral nicht 2 rauskommt ist mir klar, das muss beim Tippen falsch gelaufen sein, da kommt [mm] \pi R^2 [/mm] b raus.
A(r) = [mm] \frac{1}{2}\left( \begin{array}{c} 0 \\ b \\ 0 \end{array}\right)\times \left( \begin{array}{c} x \\ y \\z\end{array}\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \left( \begin{array}{c} bz \\ 0 \\ -bx\end{array}\right)
[/mm]
[mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] (R\cos t,0,R\sin [/mm] t)
[mm] \gamma'(t) [/mm] = [mm] (-R\sin t,0,R\cos [/mm] t)
[mm] \Rightarrow \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\left( \begin{array}{c} -R\sin t\\ 0 \\ R\cos t\end{array}\right)\cdot \left( \begin{array}{c} b\cdot R\cos t \\ 0 \\ -b\cdot R\sin t \end{array}\right) [/mm] dt = [mm] \int_0^{2\pi} -bR^2\cdot (\sin^2 [/mm] t+ [mm] \cos^2 [/mm] t)dt = [mm] -b\pi R^2
[/mm]
Im ersten Integral hab ich meinen Fehler da auch schon gefunden, ich habe [mm] A(\gamma'(t)) [/mm] gebildet statt [mm] A(\gamma(t)).
[/mm]
Bis auf ein Vorzeichen sind die Ergebnisse jetzt gleich.
[mm] \nabla \times [/mm] A(r) = [mm] \frac{1}{2}\left( \begin{array}{c} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z\end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} bz \\ 0 \\ -bx \end{array}\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\left( \begin{array}{c} 0 \\ b - (-b) \\ 0 \end{array}\right) [/mm] = [mm] \left( \begin{array}{c} 0 \\ b \\ 0 \end{array}\right)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \int_F \nabla\times [/mm] A(r) [mm] \cdot [/mm] df = [mm] \int_0^R\int_0^{2\pi} b\cdot [/mm] r [mm] d\phi [/mm] dr = [mm] 2\pi [/mm] b [mm] \int_0^{2pi} [/mm] r dr = [mm] 2\pi [/mm] b [mm] \left[\frac{r^2}{2}\right]_0^{R} [/mm] = [mm] R^2\pi [/mm] b
Kann das an der Flächennormalen liegen, dh. müsste diese eigentlich in Richtung (0,-1,0) zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Di 26.06.2012 | | Autor: | notinX |
> Dass beim zweiten Integral nicht 2 rauskommt ist mir klar,
> das muss beim Tippen falsch gelaufen sein, da kommt [mm]\pi R^2[/mm]
> b raus.
>
> A(r) = [mm]\frac{1}{2}\left( \begin{array}{c} 0 \\ b \\ 0 \end{array}\right)\times \left( \begin{array}{c} x \\ y \\z\end{array}\right)[/mm]
> = [mm]\frac{1}{2} \left( \begin{array}{c} bz \\ 0 \\ -bx\end{array}\right)[/mm]
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm](R\cos t,0,R\sin[/mm] t)
> [mm]\gamma'(t)[/mm] = [mm](-R\sin t,0,R\cos[/mm] t)
>
> [mm]\Rightarrow \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\left( \begin{array}{c} -R\sin t\\ 0 \\ R\cos t\end{array}\right)\cdot \left( \begin{array}{c} b\cdot R\cos t \\ 0 \\ -b\cdot R\sin t \end{array}\right)[/mm]
> dt = [mm]\int_0^{2\pi} -bR^2\cdot (\sin^2[/mm] t+ [mm]\cos^2[/mm] t)dt =
> [mm]-b\pi R^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Im ersten Integral hab ich meinen Fehler da auch schon
> gefunden, ich habe [mm]A(\gamma'(t))[/mm] gebildet statt
> [mm]A(\gamma(t)).[/mm]
>
> Bis auf ein Vorzeichen sind die Ergebnisse jetzt gleich.
>
> [mm]\nabla \times[/mm] A(r) = [mm]\frac{1}{2}\left( \begin{array}{c} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z\end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} bz \\ 0 \\ -bx \end{array}\right)[/mm]
> = [mm]\frac{1}{2}\left( \begin{array}{c} 0 \\ b - (-b) \\ 0 \end{array}\right)[/mm]
> = [mm]\left( \begin{array}{c} 0 \\ b \\ 0 \end{array}\right)[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \int_F \nabla\times[/mm] A(r) [mm]\cdot[/mm] df =
> [mm]\int_0^R\int_0^{2\pi} b\cdot[/mm] r [mm]d\phi[/mm] dr = [mm]2\pi[/mm] b
> [mm]\int_0^{2pi}[/mm] r dr = [mm]2\pi[/mm] b [mm]\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^{R}[/mm]
> = [mm]R^2\pi[/mm] b
>
> Kann das an der Flächennormalen liegen, dh. müsste diese
> eigentlich in Richtung (0,-1,0) zeigen?
Ja, genau.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Di 26.06.2012 | | Autor: | adefg |
Okay, super, danke! :>
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