Links-und Rechtsinverse < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $V$ der [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] der Polynome P in einer Variablen $x$ mit reellen koeffizienten. Wir definieren die Funktion [mm] $T:V\rightarrow [/mm] V$ und [mm] $D:V\rightarrow [/mm] V$ durch $ T(P)=xP $ und $D(P)=P'$, wobei $P'$ die Ableitung von $P$ nach $x$ bezeichnet.
b) Entscheiden Sie (mit Beweis) ob D und T Rechts- oder Linksinverse besitzen.
c)Entscheiden sie nun, ob die in b) gefundene(n) Umkehrfunktion(en) linear sind. |
Also zur b) habe ich mir folgende Gedanken gemacht:
Es muss ja gelten für Linksinverse:
$X(D(P))=P$
$Y(T(P))=P$
Dann hätte ich beispielsweise als Linksinverse zu T:
[mm] $Y(P)=\bruch{1}{x}P$, [/mm] da doch gilt:
[mm] $Y(T(P))=Y(\bruch{1}{x}P)=x*\bruch{1}{x}P=P, [/mm] dies gilt aber nur für [mm] $x\not= [/mm] 0$
Jedoch wäre für $x=0$ ja P=0 und somit $T(P)=T(0)=0*0=0=P$ und damit ja die Identische Abbildung, oder?
Oder bin ich da auf dem falschen weg?
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Ich hätte noch eine Frage zu der Aufgabe.
Im a)-Teil soll ich die linearität beweisen.
Jetzt habe ich in der Aufgabenstellung aber gar keine Einschränkung für den Grad der Polynome.
Heißt das dann, dass ich ein [mm] $P\in [/mm] V$ nicht als
[mm] $\summe_{i=0}^{n}a_i x^i$ [/mm] darstellen kann?
Muss ich das dann als
[mm] $\summe_{i=1}^{\infty}a_i x^i$ [/mm] darstellen?
Vielen Dank
LG Dudi
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Hallo DudiPupan,
> Ich hätte noch eine Frage zu der Aufgabe.
> Im a)-Teil soll ich die linearität beweisen.
> Jetzt habe ich in der Aufgabenstellung aber gar keine
> Einschränkung für den Grad der Polynome.
> Heißt das dann, dass ich ein [mm]P\in V[/mm] nicht als
> [mm]\summe_{i=0}^{n}a_i x^i[/mm] darstellen kann?
> Muss ich das dann als
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_i x^i[/mm] darstellen?
Ja, letzteres, wobei nur endlich viele [mm] $a_i\neq [/mm] 0$ sind ...
>
> Vielen Dank
>
> LG Dudi
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Fr 13.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Okay :)
Vielen Dank :)
Kannst du mir bei meiner ersten Frage vllt auch helfen?
LG
Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:56 Sa 14.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Niemand einen Tipp für meine erste Frage :-(
LG Lucas
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> Es sei [mm]V[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum der Polynome P in einer
> Variablen [mm]x[/mm] mit reellen koeffizienten. Wir definieren die
> Funktion [mm]T:V\rightarrow V[/mm] und [mm]D:V\rightarrow V[/mm] durch
> [mm]T(P)=xP[/mm] und [mm]D(P)=P'[/mm], wobei [mm]P'[/mm] die Ableitung von [mm]P[/mm] nach [mm]x[/mm]
> bezeichnet.
>
> b) Entscheiden Sie (mit Beweis) ob D und T Rechts- oder
> Linksinverse besitzen.
> c)Entscheiden sie nun, ob die in b) gefundene(n)
> Umkehrfunktion(en) linear sind.
Hallo,
in a) solltest Du sicher zeigen, daß T und D linear sind, oder?
Deine Frage ist auffällig lange unbeantwortet geblieben, und ich hoffe, daß ich mich nicht aufs Glatteis begebe oder - schlimmer - auf einen nur dünn zugefrorenen Teich...
Polynome sind bei Euch ja keine Polynomfunktionen, oder?
Die Variable ist eine formale Variable, richtig?
Wenn das so ist, würde ich sagen, daß Deine Idee richtig ist.
> Also zur b) habe ich mir folgende Gedanken gemacht:
> Es muss ja gelten für Linksinverse:
> [mm]X(D(P))=P[/mm]
> [mm]Y(T(P))=P[/mm]
Ja. Für alle [mm] P\in [/mm] V.
> Dann hätte ich beispielsweise als Linksinverse zu T:
> [mm]Y(P)=\bruch{1}{x}P[/mm], da doch gilt:
Ich würd' lieber schreiben [mm] Y(P):=x^{-1}P.
[/mm]
> [mm]Y(T(P))=Y(\bruch{1}{x}P)=x*\bruch{1}{x}P=P,[/mm]
EDIT: ab hier habe ich den Beitrag aufgrund von mathfunnels Hinweisen editiert.
Ja. Es muß heißen [mm] Y(T(P))=Y(xP)=\bruch{1}{x}xP=P.
[/mm]
> dies gilt
> aber nur für [mm]x\not=[/mm] 0
Nun, sofern x wirklich eine formale Variable ist, ist das ja schnuppe, denn es wird gar nichts für x eingesetzt, und über x=0 brauchen wir somit gar nicht nachzudenken.
Und wenn x keine formale Variable wäre, hätt' ich irgendwie schon mit der Def. [mm] Y(P):=x^{-1}P [/mm] ein Problem... Man müßte ja sagen, was x ist...
> Jedoch wäre für [mm]x=0[/mm] ja P=0 und somit [mm]T(P)=T(0)=0*0=0=P[/mm]
> und damit ja die Identische Abbildung, oder?
>
> Oder bin ich da auf dem falschen weg
Wie gesagt ist ja x eine formale Variable, so daß wir über x=0 nicht nachdenken sollten.
Es gibt aber ein anderes Problem (danke mathfunnel!):
Wenn man Deine Funktion auf ganz V definiert, ist das Bild keine Teilmenge von V.
(Wenn nämlich [mm] P=ax^0 [/mm] ist der Funktionswert unter Y kein Polynom.)
Hier müßte man schauen, ob man irgendwie noch die Kurve bekommt - ich bin skeptisch.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Sa 14.01.2012 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Angela!
Eine winzige Anmerkung:
Hier ist $Y$ bisher nur auf $xV$ definiert.
Es wird aber wohl eher ein linksinverses Element in [mm] $V^V$ [/mm] bzw. sogar in [mm] $End_\mathbb [/mm] R(V) [mm] \subseteq V^V$ [/mm] gesucht.
Die verbleibende Frage ist also: Wie sollte $Y$ auf (ganz) $V$ erweitert werden?
> > Es sei [mm]V[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum der Polynome P in einer
> > Variablen [mm]x[/mm] mit reellen koeffizienten. Wir definieren die
> > Funktion [mm]T:V\rightarrow V[/mm] und [mm]D:V\rightarrow V[/mm] durch
> > [mm]T(P)=xP[/mm] und [mm]D(P)=P'[/mm], wobei [mm]P'[/mm] die Ableitung von [mm]P[/mm] nach [mm]x[/mm]
> > bezeichnet.
> >
> > b) Entscheiden Sie (mit Beweis) ob D und T Rechts- oder
> > Linksinverse besitzen.
> > c)Entscheiden sie nun, ob die in b) gefundene(n)
> > Umkehrfunktion(en) linear sind.
>
> Hallo,
>
> in a) solltest Du sicher zeigen, daß T und D linear sind,
> oder?
>
> Deine Frage ist auffällig lange unbeantwortet geblieben,
> und ich hoffe, daß ich mich nicht aufs Glatteis begebe
> oder - schlimmer - auf einen nur dünn zugefrorenen
> Teich...
>
> Polynome sind bei Euch ja keine Polynomfunktionen, oder?
> Die Variable ist eine formale Variable, richtig?
> Wenn das so ist, würde ich sagen, daß Deine Idee richtig
> ist.
>
> > Also zur b) habe ich mir folgende Gedanken gemacht:
> > Es muss ja gelten für Linksinverse:
> > [mm]X(D(P))=P[/mm]
> > [mm]Y(T(P))=P[/mm]
>
> Ja. Für alle [mm]P\in[/mm] V.
>
> > Dann hätte ich beispielsweise als Linksinverse zu T:
> > [mm]Y(P)=\bruch{1}{x}P[/mm], da doch gilt:
>
> Ich würd' lieber schreiben [mm]Y(P):=x^{-1}P.[/mm]
>
> > [mm]Y(T(P))=Y(\bruch{1}{x}P)=x*\bruch{1}{x}P=P,[/mm]
>
Hier meint Lucas wohl $Y(T(P)) = Y(xP) = P$.
> Ja.
>
>
> > dies gilt
> > aber nur für [mm]x\not=[/mm] 0
>
> Nun, sofern x wirklich eine formale Variable ist, ist das
> ja schnuppe, denn es wird gar nichts für x eingesetzt, und
> über x=0 brauchen wir somit gar nicht nachzudenken.
>
> Und wenn x keine formale Variable wäre, hätt' ich
> irgendwie schon mit der Def. [mm]Y(P):=x^{-1}P[/mm] ein Problem...
> Man müßte ja sagen, was x ist...
>
> Wie gesagt: ich denke, Deine Idee ist richtig.
> Schauen wir einfach mal, ob es hier noch Kritik gibt.
>
> @alle:
> Wer merkt, daß ich dummes Zeug rede, möge sich bitte zu
> Worte melden.
> Ansonsten bin ich natürlich auch für Kommentare wie
> "Angela, toll gemacht!" sehr empfänglich...
>
> LG Angela
>
>
> > Jedoch wäre für [mm]x=0[/mm] ja P=0 und somit [mm]T(P)=T(0)=0*0=0=P[/mm]
> > und damit ja die Identische Abbildung, oder?
> >
> > Oder bin ich da auf dem falschen weg?
>
LG mathfunnel
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> Hallo Angela!
>
> Eine winzige Anmerkung:
Hallo,
vielen Dank für Deinen Hinweis.
Ich hatte ja schon ein etwas ungutes Gefühl...
>
> Hier ist [mm]Y[/mm] bisher nur auf [mm]xV[/mm] definiert.
Oder bildet halt, sofern man Y auf V definiert, nicht in die Menge V ab.
Daß ich das übersehen konnte!
LG Angela
> Es wird aber wohl eher ein linksinverses Element in [mm]V^V[/mm]
> bzw. sogar in [mm]End_\mathbb R(V) \subseteq V^V[/mm] gesucht.
>
> Die verbleibende Frage ist also: Wie sollte [mm]Y[/mm] auf (ganz) [mm]V[/mm]
> erweitert werden?
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| Aufgabe | Es sei $V$ der [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] der Polynome in einer Variablen $x$ mit reellen Koeffizienten. Wir definieren die Funktionen [mm] $T:V\rightarrow [/mm] V$ und [mm] $D:V\rightarrow [/mm] V$ durch $T(P)=xP'$ und dann $D(P)=P'$ Wobei $P'$ die Ableitung von $P$ nach $x$ bezeichnet.
a)Zeigen Sie: D und T sind linear auf V. Bestimmen sie TD-DT.
b) Zu [mm] $F:V\righarrow [/mm] V$ heißt [mm] $G:V\rightarrow [/mm] V$ rechtsinvers bzw. linksinvers, falls [mm] $F\circ [/mm] G=id$ bzw. [mm] $G\circ [/mm] F = id$. Entscheiden Sie (mit Beweis) ob D und T Rechts oder Linksinverse besitzen.
c)Entscheiden Sie nun, ob die in b) gefundene(n) Umkehrfunktion(en) linear sind. |
Ich habe hier oben nochmals die komplette Aufgabe gepostet, vllt schafft das etwas klarheit.
>
> > Hallo Angela!
> >
> > Eine winzige Anmerkung:
>
> Hallo,
>
> vielen Dank für Deinen Hinweis.
> Ich hatte ja schon ein etwas ungutes Gefühl...
>
> >
> > Hier ist [mm]Y[/mm] bisher nur auf [mm]xV[/mm] definiert.
>
> Oder bildet halt, sofern man Y auf V definiert, nicht in
> die Menge V ab.
> Daß ich das übersehen konnte!
Was bedeutet das denn dann für meine Lösung?
Dass Sie falsch ist?
Vielen Dank
LG Dudi
>
>
> LG Angela
>
>
> > Es wird aber wohl eher ein linksinverses Element in [mm]V^V[/mm]
> > bzw. sogar in [mm]End_\mathbb R(V) \subseteq V^V[/mm] gesucht.
> >
> > Die verbleibende Frage ist also: Wie sollte [mm]Y[/mm] auf (ganz) [mm]V[/mm]
> > erweitert werden?
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 So 15.01.2012 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo Dudi,
leider habe ich im Moment nicht so viel Zeit, um mir Gedanken darüber zu machen, warum du $T$ einmal so und einmal so definierst! ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
LG mathfunnel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 So 15.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Da ist mir ein kleiner Fehler unterlaufen, das tut mir leid.
Das sollte heißen:
[mm] $Y(P):=x^{-1}P$
[/mm]
und dann:
[mm] $Y(T)=Y(T(P))=Y(xP)=x^{-1}xP=P$
[/mm]
LG
Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 So 15.01.2012 | | Autor: | mathfunnel |
> Da ist mir ein kleiner Fehler unterlaufen, das tut mir
> leid.
> Das sollte heißen:
> [mm]Y(P):=x^{-1}P[/mm]
> und dann:
> [mm]Y(T)=Y(T(P))=Y(xP)=x^{-1}xP=P[/mm]
>
> LG
> Dudi
Diesen kleinen Schreibfehler meine ich selbstverständlich nicht!
Ich meine einen anderen kleinen Schreibfehler!
Zitat:
> Es sei $ V $ der $ [mm] \IR [/mm] $-Vektorraum der Polynome in einer Variablen $ x $ mit reellen Koeffizienten. Wir definieren die Funktionen $ [mm] T:V\rightarrow [/mm] V $ und $ [mm] D:V\rightarrow [/mm] V $ durch [mm] \red [/mm] $ T(P)=xP' $ [mm] \black [/mm] und dann $ D(P)=P' $ Wobei $ P' $ die Ableitung von $ P $ nach $ x $ bezeichnet.
Ich rede von $T(P)=xP'$
LG mathfunnel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 So 15.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Oh, das ist mir gar nicht aufgefallen!
Ja, der ableitungsstrich gehört da natürlich ganz und gar nicht hin, sorry!!
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Hallo Dudi,
nachdem also die Ungereimtheiten geklärt sind, können wir die Aufgabe lösen.
(Nebenbei: Der Kommutator $[T,D] := TD-DT$ genießt in der Physik eine gewisse Berühmtheit.)
> Es sei [mm]V[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum der Polynome in einer Variablen
> [mm]x[/mm] mit reellen Koeffizienten. Wir definieren die Funktionen
> [mm]T:V\rightarrow V[/mm] und [mm]D:V\rightarrow V[/mm] durch [mm]T(P)=xP'[/mm] und
([mm]T(P)=xP[/mm])
> dann [mm]D(P)=P'[/mm] Wobei [mm]P'[/mm] die Ableitung von [mm]P[/mm] nach [mm]x[/mm]
> bezeichnet.
> a)Zeigen Sie: D und T sind linear auf V. Bestimmen sie
> TD-DT.
> b) Zu [mm]F:V\righarrow V[/mm] heißt [mm]G:V\rightarrow V[/mm] rechtsinvers
> bzw. linksinvers, falls [mm]F\circ G=id[/mm] bzw. [mm]G\circ F = id[/mm].
> Entscheiden Sie (mit Beweis) ob D und T Rechts oder
> Linksinverse besitzen.
> c)Entscheiden Sie nun, ob die in b) gefundene(n)
> Umkehrfunktion(en) linear sind.
> Ich habe hier oben nochmals die komplette Aufgabe
> gepostet, vllt schafft das etwas klarheit.
> >
> > > Hallo Angela!
> > >
> > > Eine winzige Anmerkung:
> >
> > Hallo,
> >
> > vielen Dank für Deinen Hinweis.
> > Ich hatte ja schon ein etwas ungutes Gefühl...
> >
> > >
> > > Hier ist [mm]Y[/mm] bisher nur auf [mm]xV[/mm] definiert.
> >
> > Oder bildet halt, sofern man Y auf V definiert, nicht in
> > die Menge V ab.
> > Daß ich das übersehen konnte!
>
>
> Was bedeutet das denn dann für meine Lösung?
> Dass Sie falsch ist?
Völlig korrekt ist sie nicht.
>
> Vielen Dank
> LG Dudi
> >
> >
> > LG Angela
> >
> >
> > > Es wird aber wohl eher ein linksinverses Element in [mm]V^V[/mm]
> > > bzw. sogar in [mm]End_\mathbb R(V) \subseteq V^V[/mm] gesucht.
> > >
> > > Die verbleibende Frage ist also: Wie sollte [mm]Y[/mm] auf (ganz) [mm]V[/mm]
> > > erweitert werden?
> >
Wir zerlegen $V$ in eine direkte Summe:
$V = xV [mm] \oplus [/mm] W$ (wie wählen wir $W$?) und betrachten eine zu dieser Zerlegung gehörige geeignete Projektion [mm] $\phi$ [/mm] von $V$.
Dann lässt sich ein zu $T$ linksinverses Element $Y$ definieren durch:
$Y: [mm] V\rightarrow [/mm] V$, [mm] $P\mapsto [/mm] Q$, mit $xQ = [mm] \phi(P)$. [/mm]
Das ist deinem Lösungsversuch nicht ganz unähnlich.
Ist der Rest der Aufgabe klar?
LG mathfunnel
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> Hallo Dudi,
>
> nachdem also die Ungereimtheiten geklärt sind, können wir
> die Aufgabe lösen.
>
> (Nebenbei: Der Kommutator [mm][T,D] := TD-DT[/mm] genießt in der
> Physik eine gewisse Berühmtheit.)
>
> > Es sei [mm]V[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum der Polynome in einer Variablen
> > [mm]x[/mm] mit reellen Koeffizienten. Wir definieren die Funktionen
> > [mm]T:V\rightarrow V[/mm] und [mm]D:V\rightarrow V[/mm] durch [mm]T(P)=xP'[/mm] und
>
> ([mm]T(P)=xP[/mm])
>
> > dann [mm]D(P)=P'[/mm] Wobei [mm]P'[/mm] die Ableitung von [mm]P[/mm] nach [mm]x[/mm]
> > bezeichnet.
> > a)Zeigen Sie: D und T sind linear auf V. Bestimmen sie
> > TD-DT.
> > b) Zu [mm]F:V\righarrow V[/mm] heißt [mm]G:V\rightarrow V[/mm]
> rechtsinvers
> > bzw. linksinvers, falls [mm]F\circ G=id[/mm] bzw. [mm]G\circ F = id[/mm].
> > Entscheiden Sie (mit Beweis) ob D und T Rechts oder
> > Linksinverse besitzen.
> > c)Entscheiden Sie nun, ob die in b) gefundene(n)
> > Umkehrfunktion(en) linear sind.
> > Ich habe hier oben nochmals die komplette Aufgabe
> > gepostet, vllt schafft das etwas klarheit.
> > >
> > > > Hallo Angela!
> > > >
> > > > Eine winzige Anmerkung:
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > vielen Dank für Deinen Hinweis.
> > > Ich hatte ja schon ein etwas ungutes Gefühl...
> > >
> > > >
> > > > Hier ist [mm]Y[/mm] bisher nur auf [mm]xV[/mm] definiert.
> > >
> > > Oder bildet halt, sofern man Y auf V definiert, nicht in
> > > die Menge V ab.
> > > Daß ich das übersehen konnte!
> >
> >
> > Was bedeutet das denn dann für meine Lösung?
> > Dass Sie falsch ist?
>
> Völlig korrekt ist sie nicht.
>
> >
> > Vielen Dank
> > LG Dudi
> > >
> > >
> > > LG Angela
> > >
> > >
> > > > Es wird aber wohl eher ein linksinverses Element in [mm]V^V[/mm]
> > > > bzw. sogar in [mm]End_\mathbb R(V) \subseteq V^V[/mm] gesucht.
> > > >
> > > > Die verbleibende Frage ist also: Wie sollte [mm]Y[/mm] auf (ganz) [mm]V[/mm]
> > > > erweitert werden?
> > >
> Wir zerlegen [mm]V[/mm] in eine direkte Summe:
>
> [mm]V = xV \oplus W[/mm] (wie wählen wir [mm]W[/mm]?) und betrachten eine zu
> dieser Zerlegung gehörige geeignete Projektion [mm]\phi[/mm] von
> [mm]V[/mm].
Also bis zur direkten Summe klingt es für mich durchaus logisch, aber danach komme ich irgendwie nicht gant mit!
Also die Elemente von V haben ja die Form:
[mm] $P=\summe_{i=0}^{\infty}a_i x^i$
[/mm]
und somit hat xP die Form:
[mm] $xP=\summe_{i=0}^{\infty}a_i x^{i+1}$
[/mm]
Somit fehlen ja, um den ganzen Vektorraum auszudrücken, [mm] a_0x^0, [/mm] oder?
>
> Dann lässt sich ein zu [mm]T[/mm] linksinverses Element [mm]Y[/mm]
> definieren durch:
>
> [mm]Y: V\rightarrow V[/mm], [mm]P\mapsto Q[/mm], mit [mm]xQ = \phi(P)[/mm].
>
Aber eine konkrete inverse haben wir so doch nun nicht bestimmt, sondern nur eine allgemeine Projektion, oder?
> Das ist deinem Lösungsversuch nicht ganz unähnlich.
>
> Ist der Rest der Aufgabe klar?
>
> LG mathfunnel
>
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Hallo Dudi!
> > Hallo Dudi,
> >
> > nachdem also die Ungereimtheiten geklärt sind, können wir
> > die Aufgabe lösen.
> >
> > (Nebenbei: Der Kommutator [mm][T,D] := TD-DT[/mm] genießt in der
> > Physik eine gewisse Berühmtheit.)
> >
> > > Es sei [mm]V[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum der Polynome in einer Variablen
> > > [mm]x[/mm] mit reellen Koeffizienten. Wir definieren die Funktionen
> > > [mm]T:V\rightarrow V[/mm] und [mm]D:V\rightarrow V[/mm] durch [mm]T(P)=xP'[/mm] und
> >
> > ([mm]T(P)=xP[/mm])
> >
> > > dann [mm]D(P)=P'[/mm] Wobei [mm]P'[/mm] die Ableitung von [mm]P[/mm] nach [mm]x[/mm]
> > > bezeichnet.
> > > a)Zeigen Sie: D und T sind linear auf V. Bestimmen
> sie
> > > TD-DT.
> > > b) Zu [mm]F:V\righarrow V[/mm] heißt [mm]G:V\rightarrow V[/mm]
> > rechtsinvers
> > > bzw. linksinvers, falls [mm]F\circ G=id[/mm] bzw. [mm]G\circ F = id[/mm].
> > > Entscheiden Sie (mit Beweis) ob D und T Rechts oder
> > > Linksinverse besitzen.
> > > c)Entscheiden Sie nun, ob die in b) gefundene(n)
> > > Umkehrfunktion(en) linear sind.
> > > Ich habe hier oben nochmals die komplette Aufgabe
> > > gepostet, vllt schafft das etwas klarheit.
> > > >
> > > > > Hallo Angela!
> > > > >
> > > > > Eine winzige Anmerkung:
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > vielen Dank für Deinen Hinweis.
> > > > Ich hatte ja schon ein etwas ungutes Gefühl...
> > > >
> > > > >
> > > > > Hier ist [mm]Y[/mm] bisher nur auf [mm]xV[/mm] definiert.
> > > >
> > > > Oder bildet halt, sofern man Y auf V definiert, nicht in
> > > > die Menge V ab.
> > > > Daß ich das übersehen konnte!
> > >
> > >
> > > Was bedeutet das denn dann für meine Lösung?
> > > Dass Sie falsch ist?
> >
> > Völlig korrekt ist sie nicht.
> >
> > >
> > > Vielen Dank
> > > LG Dudi
> > > >
> > > >
> > > > LG Angela
> > > >
> > > >
> > > > > Es wird aber wohl eher ein linksinverses Element in [mm]V^V[/mm]
> > > > > bzw. sogar in [mm]End_\mathbb R(V) \subseteq V^V[/mm] gesucht.
> > > > >
> > > > > Die verbleibende Frage ist also: Wie sollte [mm]Y[/mm] auf (ganz) [mm]V[/mm]
> > > > > erweitert werden?
> > > >
> > Wir zerlegen [mm]V[/mm] in eine direkte Summe:
> >
> > [mm]V = xV \oplus W[/mm] (wie wählen wir [mm]W[/mm]?) und betrachten eine zu
> > dieser Zerlegung gehörige geeignete Projektion [mm]\phi[/mm] von
> > [mm]V[/mm].
>
> Also bis zur direkten Summe klingt es für mich durchaus
> logisch, aber danach komme ich irgendwie nicht gant mit!
> Also die Elemente von V haben ja die Form:
> [mm]P=\summe_{i=0}^{\infty}a_i x^i[/mm]
Wie schachuzipus schon sagte, ist hier die Bedingung, dass [mm] $a_i [/mm] = 0$ für fast alle (bis auf endlich viele) [mm] $i\in \mathbb [/mm] N$, zu berücksichtigen.
> und somit hat xP die
> Form:
> [mm]xP=\summe_{i=0}^{\infty}a_i x^{i+1}[/mm]
> Somit fehlen ja, um
> den ganzen Vektorraum auszudrücken, [mm]a_0x^0,[/mm] oder?
Du wählst also für $W$ den Unterraum der Polynome vom Grad $0$?
> >
> > Dann lässt sich ein zu [mm]T[/mm] linksinverses Element [mm]Y[/mm]
> > definieren durch:
> >
> > [mm]Y: V\rightarrow V[/mm], [mm]P\mapsto Q[/mm], mit [mm]xQ = \phi(P)[/mm].
> >
>
> Aber eine konkrete inverse haben wir so doch nun nicht
> bestimmt, sondern nur eine allgemeine Projektion, oder?
Wir wählen die spezielle Projektion [mm] $\phi: V\rightarrow [/mm] V$ mit Bild [mm] $(\phi)= [/mm] xV$ und Kern [mm] $(\phi) [/mm] = W$.
Rechne doch mal $Y(T(P))$ und $Y(P)$ beispielsweise für $P = x+1$ aus. ($Y(P) := Q$ ist durch $P$ und [mm] $\phi$ [/mm] eindeutig bestimmt!)
>
> > Das ist deinem Lösungsversuch nicht ganz unähnlich.
> >
> > Ist der Rest der Aufgabe klar?
> >
> > LG mathfunnel
> >
>
LG mathfunnel
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> Hallo Dudi!
>
> > > Hallo Dudi,
> > >
> > > nachdem also die Ungereimtheiten geklärt sind, können wir
> > > die Aufgabe lösen.
> > >
> > > (Nebenbei: Der Kommutator [mm][T,D] := TD-DT[/mm] genießt in der
> > > Physik eine gewisse Berühmtheit.)
> > >
> > > > Es sei [mm]V[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum der Polynome in einer Variablen
> > > > [mm]x[/mm] mit reellen Koeffizienten. Wir definieren die Funktionen
> > > > [mm]T:V\rightarrow V[/mm] und [mm]D:V\rightarrow V[/mm] durch [mm]T(P)=xP'[/mm] und
> > >
> > > ([mm]T(P)=xP[/mm])
> > >
> > > > dann [mm]D(P)=P'[/mm] Wobei [mm]P'[/mm] die Ableitung von [mm]P[/mm] nach [mm]x[/mm]
> > > > bezeichnet.
> > > > a)Zeigen Sie: D und T sind linear auf V.
> Bestimmen
> > sie
> > > > TD-DT.
> > > > b) Zu [mm]F:V\righarrow V[/mm] heißt [mm]G:V\rightarrow V[/mm]
> > > rechtsinvers
> > > > bzw. linksinvers, falls [mm]F\circ G=id[/mm] bzw. [mm]G\circ F = id[/mm].
> > > > Entscheiden Sie (mit Beweis) ob D und T Rechts oder
> > > > Linksinverse besitzen.
> > > > c)Entscheiden Sie nun, ob die in b) gefundene(n)
> > > > Umkehrfunktion(en) linear sind.
> > > > Ich habe hier oben nochmals die komplette Aufgabe
> > > > gepostet, vllt schafft das etwas klarheit.
> > > > >
> > > > > > Hallo Angela!
> > > > > >
> > > > > > Eine winzige Anmerkung:
> > > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > vielen Dank für Deinen Hinweis.
> > > > > Ich hatte ja schon ein etwas ungutes
> Gefühl...
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Hier ist [mm]Y[/mm] bisher nur auf [mm]xV[/mm] definiert.
> > > > >
> > > > > Oder bildet halt, sofern man Y auf V definiert, nicht in
> > > > > die Menge V ab.
> > > > > Daß ich das übersehen konnte!
> > > >
> > > >
> > > > Was bedeutet das denn dann für meine Lösung?
> > > > Dass Sie falsch ist?
> > >
> > > Völlig korrekt ist sie nicht.
> > >
> > > >
> > > > Vielen Dank
> > > > LG Dudi
> > > > >
> > > > >
> > > > > LG Angela
> > > > >
> > > > >
> > > > > > Es wird aber wohl eher ein linksinverses Element in [mm]V^V[/mm]
> > > > > > bzw. sogar in [mm]End_\mathbb R(V) \subseteq V^V[/mm] gesucht.
> > > > > >
> > > > > > Die verbleibende Frage ist also: Wie sollte [mm]Y[/mm] auf (ganz) [mm]V[/mm]
> > > > > > erweitert werden?
> > > > >
> > > Wir zerlegen [mm]V[/mm] in eine direkte Summe:
> > >
> > > [mm]V = xV \oplus W[/mm] (wie wählen wir [mm]W[/mm]?) und betrachten eine zu
> > > dieser Zerlegung gehörige geeignete Projektion [mm]\phi[/mm] von
> > > [mm]V[/mm].
> >
> > Also bis zur direkten Summe klingt es für mich durchaus
> > logisch, aber danach komme ich irgendwie nicht gant mit!
> > Also die Elemente von V haben ja die Form:
> > [mm]P=\summe_{i=0}^{\infty}a_i x^i[/mm]
>
> Wie schachuzipus schon sagte, ist hier die Bedingung, dass
> [mm]a_i = 0[/mm] für fast alle (bis auf endlich viele) [mm]i\in \mathbb N[/mm],
> zu berücksichtigen.
>
> > und somit hat xP die
> > Form:
> > [mm]xP=\summe_{i=0}^{\infty}a_i x^{i+1}[/mm]
> > Somit fehlen
> ja, um
> > den ganzen Vektorraum auszudrücken, [mm]a_0x^0,[/mm] oder?
>
> Du wählst also für [mm]W[/mm] den Unterraum der Polynome vom Grad
> [mm]0[/mm]?
Nein, ich glaub das ist nicht ganz richtig, aber letztendlich muss ja ein Element in W sein, wenn ein [mm] $x^0$ [/mm] vorkommt, oder?
>
> > >
> > > Dann lässt sich ein zu [mm]T[/mm] linksinverses Element [mm]Y[/mm]
> > > definieren durch:
> > >
> > > [mm]Y: V\rightarrow V[/mm], [mm]P\mapsto Q[/mm], mit [mm]xQ = \phi(P)[/mm].
> > >
> >
> > Aber eine konkrete inverse haben wir so doch nun nicht
> > bestimmt, sondern nur eine allgemeine Projektion, oder?
>
> Wir wählen die spezielle Projektion [mm]\phi: V\rightarrow V[/mm]
> mit Bild [mm](\phi)= xV[/mm] und Kern [mm](\phi) = W[/mm].
>
> Rechne doch mal [mm]Y(T(P))[/mm] und [mm]Y(P)[/mm] beispielsweise für [mm]P = x+1[/mm]
> aus. ([mm]Y(P) := Q[/mm] ist durch [mm]P[/mm] und [mm]\phi[/mm] eindeutig bestimmt!)
Okay, also ich versuche mal mit zu kommen:
Der Kern einer Linearen Abbildung ist ja die Menge, die auf den Nullvektor abgebildet wird.
Und da $P=x+1$, so muss P in W liegen, also gilt: $Y(P)=Y(x+1)=0$
Und somit gilt dann für $T(Y(P))=T(0)=0$!
Stimmt das, oder bin ich auf dem Holzweg?
LG
Dudi
Und danke für die Geduld :)
>
> >
> > > Das ist deinem Lösungsversuch nicht ganz unähnlich.
> > >
> > > Ist der Rest der Aufgabe klar?
> > >
> > > LG mathfunnel
> > >
> >
>
> LG mathfunnel
>
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Hallo Dudi!
> > Hallo Dudi!
> >
> > > > Hallo Dudi,
> > > >
> > > > nachdem also die Ungereimtheiten geklärt sind, können wir
> > > > die Aufgabe lösen.
> > > >
> > > > (Nebenbei: Der Kommutator [mm][T,D] := TD-DT[/mm] genießt in der
> > > > Physik eine gewisse Berühmtheit.)
> > > >
> > > > > Es sei [mm]V[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum der Polynome in einer Variablen
> > > > > [mm]x[/mm] mit reellen Koeffizienten. Wir definieren die Funktionen
> > > > > [mm]T:V\rightarrow V[/mm] und [mm]D:V\rightarrow V[/mm] durch [mm]T(P)=xP'[/mm] und
> > > >
> > > > ([mm]T(P)=xP[/mm])
> > > >
> > > > > dann [mm]D(P)=P'[/mm] Wobei [mm]P'[/mm] die Ableitung von [mm]P[/mm] nach [mm]x[/mm]
> > > > > bezeichnet.
> > > > > a)Zeigen Sie: D und T sind linear auf V.
> > Bestimmen
> > > sie
> > > > > TD-DT.
> > > > > b) Zu [mm]F:V\righarrow V[/mm] heißt [mm]G:V\rightarrow V[/mm]
> > > > rechtsinvers
> > > > > bzw. linksinvers, falls [mm]F\circ G=id[/mm] bzw. [mm]G\circ F = id[/mm].
> > > > > Entscheiden Sie (mit Beweis) ob D und T Rechts oder
> > > > > Linksinverse besitzen.
> > > > > c)Entscheiden Sie nun, ob die in b)
> gefundene(n)
> > > > > Umkehrfunktion(en) linear sind.
> > > > > Ich habe hier oben nochmals die komplette
> Aufgabe
> > > > > gepostet, vllt schafft das etwas klarheit.
> > > > > >
> > > > > > > Hallo Angela!
> > > > > > >
> > > > > > > Eine winzige Anmerkung:
> > > > > >
> > > > > > Hallo,
> > > > > >
> > > > > > vielen Dank für Deinen Hinweis.
> > > > > > Ich hatte ja schon ein etwas ungutes
> > Gefühl...
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Hier ist [mm]Y[/mm] bisher nur auf [mm]xV[/mm] definiert.
> > > > > >
> > > > > > Oder bildet halt, sofern man Y auf V definiert, nicht in
> > > > > > die Menge V ab.
> > > > > > Daß ich das übersehen konnte!
> > > > >
> > > > >
> > > > > Was bedeutet das denn dann für meine Lösung?
> > > > > Dass Sie falsch ist?
> > > >
> > > > Völlig korrekt ist sie nicht.
> > > >
> > > > >
> > > > > Vielen Dank
> > > > > LG Dudi
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > LG Angela
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > > Es wird aber wohl eher ein linksinverses Element in [mm]V^V[/mm]
> > > > > > > bzw. sogar in [mm]End_\mathbb R(V) \subseteq V^V[/mm] gesucht.
> > > > > > >
> > > > > > > Die verbleibende Frage ist also: Wie sollte [mm]Y[/mm] auf (ganz) [mm]V[/mm]
> > > > > > > erweitert werden?
> > > > > >
> > > > Wir zerlegen [mm]V[/mm] in eine direkte Summe:
> > > >
> > > > [mm]V = xV \oplus W[/mm] (wie wählen wir [mm]W[/mm]?) und betrachten eine zu
> > > > dieser Zerlegung gehörige geeignete Projektion [mm]\phi[/mm] von
> > > > [mm]V[/mm].
> > >
> > > Also bis zur direkten Summe klingt es für mich durchaus
> > > logisch, aber danach komme ich irgendwie nicht gant mit!
> > > Also die Elemente von V haben ja die Form:
> > > [mm]P=\summe_{i=0}^{\infty}a_i x^i[/mm]
> >
> > Wie schachuzipus schon sagte, ist hier die Bedingung, dass
> > [mm]a_i = 0[/mm] für fast alle (bis auf endlich viele) [mm]i\in \mathbb N[/mm],
> > zu berücksichtigen.
> >
> > > und somit hat xP die
> > > Form:
> > > [mm]xP=\summe_{i=0}^{\infty}a_i x^{i+1}[/mm]
> > > Somit
> fehlen
> > ja, um
> > > den ganzen Vektorraum auszudrücken, [mm]a_0x^0,[/mm] oder?
> >
> > Du wählst also für [mm]W[/mm] den Unterraum der Polynome vom Grad
> > [mm]0[/mm]?
>
> Nein, ich glaub das ist nicht ganz richtig,
Doch, das ist eine geschickte Wahl für $W$.
> aber
> letztendlich muss ja ein Element in W sein, wenn ein [mm]x^0[/mm]
> vorkommt, oder?
Diese Argumentation ist seltsam. $W$ ist wegen [mm] $0\in [/mm] W$ trivialerweise nicht leer.
>
>
> >
> > > >
> > > > Dann lässt sich ein zu [mm]T[/mm] linksinverses Element [mm]Y[/mm]
> > > > definieren durch:
> > > >
> > > > [mm]Y: V\rightarrow V[/mm], [mm]P\mapsto Q[/mm], mit [mm]xQ = \phi(P)[/mm].
> > > >
> > >
> > > Aber eine konkrete inverse haben wir so doch nun nicht
> > > bestimmt, sondern nur eine allgemeine Projektion, oder?
> >
> > Wir wählen die spezielle Projektion [mm]\phi: V\rightarrow V[/mm]
> > mit Bild [mm](\phi)= xV[/mm] und Kern [mm](\phi) = W[/mm].
> >
> > Rechne doch mal [mm]Y(T(P))[/mm] und [mm]Y(P)[/mm] beispielsweise für [mm]P = x+1[/mm]
> > aus. ([mm]Y(P) := Q[/mm] ist durch [mm]P[/mm] und [mm]\phi[/mm] eindeutig bestimmt!)
>
> Okay, also ich versuche mal mit zu kommen:
> Der Kern einer Linearen Abbildung ist ja die Menge, die
> auf den Nullvektor abgebildet wird.
Wir betrachten hier den Kern von [mm] $\phi$.
[/mm]
> Und da [mm]P=x+1[/mm], so muss P in W liegen,
Das ist natürlich Unsinn, oder?
> also gilt:
> [mm]Y(P)=Y(x+1)=0[/mm]
> Und somit gilt dann für [mm]T(Y(P))=T(0)=0[/mm]!
> Stimmt das, oder bin ich auf dem Holzweg?
Holzweg! 
Es gilt z.B. für [mm] $a,b\in \mathbb [/mm] R $, dass $Y(T(ax+b)) = ax+b$ und $Y(ax+b)=a$.
>
> LG
> Dudi
>
> Und danke für die Geduld :)
>
> >
> > >
> > > > Das ist deinem Lösungsversuch nicht ganz unähnlich.
> > > >
> > > > Ist der Rest der Aufgabe klar?
> > > >
> > > > LG mathfunnel
> > > >
> > >
> >
> > LG mathfunnel
> >
>
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Mo 16.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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