Links/Rechtsseitiger Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 So 29.05.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Def: Sei [mm] "f:\IR \rightarrow \IR$ [/mm] eine beliebige Funktion. Dann heißt [mm] $y_0^{+}\in\IR\cup\left\{\pm\infty\right\}$ [/mm] rechtsseitiger Grenzwert von $f$ im Punk [mm] $x_0$, [/mm] falls [mm] $y_0^{+}$ [/mm] der Grenzwert der eingeschränkten Funktion [mm] $f|_{x_0,\infty}$ [/mm] im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] ist. Wir schreiben [mm] $y_0^{+}=\limes_{x\rightarrow x_0^{+}}f(x)$. [/mm] Analog definieren wir den linksseitigen Grenzwert [mm] $y_0^{-}\in\IR\cup\left\{\pm\infty\right\}$ [/mm] als Grenzwert der eingeschränkten Funktion [mm] $f|_{-\infty,x_0}$ [/mm] im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] und schreiben [mm] $y_0^{-}=\limes_{x\rightarrow x_0^{-}}f(x)$
[/mm]
Beweisen sie folgende Behauptung:
"Sei [mm] $x_0 \in\IR$. [/mm] Die Funktion [mm] $f:\IR \rightarrow \IR$ [/mm] bestzt genau dann [mm] $y_0\in\IR\cup\left\{\pm\infty\right\}$ [/mm] als Grenzwert im Punkt [mm] $x_0$, [/mm] wenn die recht- bzw linksseitige Grenzwerte von [mm] $\(f$ [/mm] im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] existieren und mit [mm] $y_0$ [/mm] übereinstimmen, d.h., wenn
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0^{-}}f(x)=y_0=\limes_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$
[/mm]
Für die Metrik gilt: [mm] $d_s(x,y)=|x-y|$ [/mm] |
Ich habe jetzt mal alles so detailliert abgeschrieben, damit ihr sehn könnt ob ich auch formal halbwegs korrekt bin, hoffe es ist noch halbwegs übersichtlich:
Also wenn der links/rechtsseitige Grenzwert ex. dann gilt ja:
[mm] "$\rightarrow$"
[/mm]
Für [mm] $f|_{x_0,\infty}$:
[/mm]
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0$ ex. ein [mm] $\hat\delta [/mm] >0$ mit: [mm] $|f|_{x_0,\infty}-y_0|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $|x-x_0|<\hat\delta$
[/mm]
Und für [mm] $f|_{-\infty,x_0}$:
[/mm]
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0$ ex. ein [mm] $\tilde\delta [/mm] >0$ mit: [mm] $|f|_{-\infty,x_0}-y_0|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $|x-x_0|<\tilde\delta^{*}$
[/mm]
Wähle nun [mm] $\delta:=min\left\{\hat\delta^{~},\tilde\delta^{*}\right\}$ [/mm] so gilt für $f(x)$:
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0$ ex. ein [mm] $\delta [/mm] >0$ mit: [mm] $|f(x)-y_0|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $|x-x_0|<\delta$
[/mm]
Was ja gezeigt werden sollte, oder?
Ist es bis hierhin richtig, müsste ich ja noch [mm] "$\leftarrow$" zeigen, aber das ist ja eigentlich offensichtlich oder?
Was haltet ihr davon?
Vielen Dank schonmal für euere Mühe!
[/mm]
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Sieht soweit gut aus.
Nur ein kleiner Punkt:
Bei den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerten musst du mit dem [mm] $\delta$ [/mm] aufpassen.
Es gilt nämlich:
... für alle $0 < x - [mm] x_0 [/mm] < [mm] \delta$
[/mm]
bzw.
... für alle $ 0 < [mm] x_0 [/mm] - x < [mm] \delta$
[/mm]
Du darfst hier also keine Betragsstriche setzen, denn für [mm] $xx_0$ [/mm] ist deine Funktion $f$ garnicht definiert, weil du sie eben entsprechend eingeschränkt hast.
Davon abgesehen sieht das aber so weit gut aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 29.05.2011 | | Autor: | nhard |
Danke für deine schnelle Antwort :)
Nur das mit den Betragsstrichen versteh ich noch nicht ganz.
Ist es nicht egal ob ich sie setze (und dann mein [mm] $\delta$ [/mm] so "ausrechne" wie ich) oder es korrekt ausrechne wie du(dann macht es doch wirklich kein Unterschied, oder?)?
Oder was verändert sich dadurch, dass ich sie setze?
lg!
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Von der Rechnung her ist es ungefähr das gleiche, ja.
Aber es macht von der Definition und vom formalen her einen deutlichen Unterschied.
Nehmen wir mal deinen ersten Fall als Beispiel:
Für $ [mm] f|_{x_0,\infty} [/mm] $:
Für alle $ [mm] \epsilon [/mm] >0 $ ex. ein $ [mm] \delta [/mm] >0 $ mit: $ [mm] |f|_{x_0,\infty}-y_0|<\epsilon [/mm] $ für alle $ [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] $
Zu aller erst merke ich gerade, dass da natürlich [mm] $f|_{x_0,\infty} [/mm] ( x)$ stehen muss und nicht einfach nur das f.^^
Dann wählen wir hier $x = [mm] x_0 [/mm] - [mm] \frac{\delta}{2}$
[/mm]
Dieses erfüllt ja offensichtlich die Bedinung $|x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta$
[/mm]
Somit muss für dieses x also gelten:
[mm] $|f|_{x_0,\infty}(x) [/mm] - [mm] y_0| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
Das Problem ist jetzt, dass $x = [mm] x_0 [/mm] - [mm] \frac{\delta}{2} [/mm] < [mm] x_0$ [/mm] und somit garnicht im Definitionsbereich von deinem eingeschränken f liegt.
Also [mm] $f|_{x_0,\infty} (x_0 [/mm] - [mm] \frac{\delta}{2})$ [/mm] ist für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$ nicht definiert!
Und eben aus diesem Grund musst du beim links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert immer aufpassen und nicht nur die normale Definition mit Betragsstrichen schreiben.
Glaub mir, es ist verdammt ärgerlich wenn man den Beweis an sich richtig hat aber dann Punkte verliert weil man vergessen hat den Definitionsbereich gebührend zu beachten.^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Fr 03.06.2011 | | Autor: | nhard |
Danke für deine ausführlich Erklärung.
Habe es glaube ich einigermaßen verstanden ;)
lg
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